Fiche de révision : Techniques de calcul et analyse

📋 Plan du Cours

1. Opérations et priorités de calcul
2. Développement et binôme de Newton
3. Polynômes et factorisation
4. Fractions, racines et puissances
5. Équations et inéquations
6. Construction des nombres
7. Fonctions et nombres hyperréels
8. Limites, continuité et dérivées
9. Fonctions réciproques et logarithmes
10. Plans et espaces euclidiens
11. Fonctions réciproques et hyperboliques
12. Formule de Leibniz
13. Espaces euclidiens et vecteurs
14. Trigonométrie et projections
15. Droites, plans et coordonnées
16. Nombres complexes
17. Intégrale de Riemann
18. Techniques d’intégration

📖 1. Opérations et priorités de calcul

📝 Points essentiels

• Les trois opérations élémentaires de l’arithmétique sont l’addition, la multiplication et la puissance.

• L’addition et la multiplication sont commutatives et associatives, tandis que la soustraction et la division ne sont ni commutatives ni associatives.

• Dans une expression, les puissances sont prioritaires sur les multiplications et divisions, elles-mêmes prioritaires sur les additions et soustractions.

• La puissance zéro vérifie $a^0=1$ pour $a\ne0$, tandis que $0^0$ n’est pas défini.

💡 Astuce mémo

Addition et multiplication s’associent et se commutent, soustraction et division non

📖 2. Développement et binôme de Newton

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : Compte les parties à $k$ éléments d’un ensemble à $n$ éléments et se note $\binom{n}{k}$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📐 Formule — Pour $k,n\in\mathbb N$, on a $\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ et $\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}$.

📐 Formule — La formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

💡 Astuce mémo

Développer, compter, puis sommer avec Pascal

📖 3. Polynômes et factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Fonction réelle qui s’écrit $P(X)=a_nX^n+\cdots+a_1X+a_0$ avec $a_n\ne0$.
• Racine d’un polynôme : Réel $a$ tel que $P(a)=0$.

📝 Points essentiels

📌 Si $a$ est une racine de $P$, alors $P$ est factorisable par $X-a$.

📐 Formule — Pour $P(X)=aX^2+bX+c$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$; si $\Delta<0$, il n’existe aucune racine réelle, et si $\Delta\ge0$, les racines sont $\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ et $\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$.

💡 Astuce mémo

Racine du polynôme → facteur X−a

📖 4. Fractions, racines et puissances

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de fractions vérifie $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}$, tandis que leur quotient vérifie $\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$.

📐 Formule — Les puissances vérifient $a^{m+n}=a^ma^n$, $(a^m)^n=a^{mn}$ et $a^{-n}=\frac1{a^n}$ pour $a\ne0$.

Compléments

📐 Formule — Les racines vérifient $\sqrt[n]{a}=a^{1/n}$ et $\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$ lorsque les expressions sont définies.

📖 5. Équations et inéquations

📝 Points essentiels

• Un produit est nul si et seulement si au moins un de ses facteurs est nul.

• Pour résoudre $x^n=a$, si $n$ est pair et $a\ge0$, il existe deux solutions opposées, si $n$ est pair et $a<0$, il n’existe aucune solution réelle, et si $n$ est impair, il existe une seule solution réelle.

• Multiplier ou diviser une inégalité par un nombre négatif inverse le sens de l’inégalité.

• Un produit est positif si et seulement si le nombre de ses facteurs négatifs est pair.

💡 Astuce mémo

Multiplier par positif conserve le signe, par négatif l’inverse

📖 6. Construction des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre de la forme $\frac{a}{b}$ avec $a,b\in\mathbb Z$ et $b\ne0$.
• Division euclidienne : La division euclidienne de $a$ par $b$ fournit un quotient $q$ et un reste $r$ tels que $a=bq+r$ et $0\le r\le b-1$.

★ À maîtriser

• Un entier est premier si ses seuls diviseurs sont 1 et lui-même, et il existe une infinité de nombres premiers.

📌 Un nombre rationnel possède une écriture en base donnée qui est cyclique, tandis qu’un nombre à écriture non cyclique est irrationnel.

Compléments

• Les nombres $\sqrt2$, $\sqrt3$, la racine carrée de tout entier qui n’est pas un carré, ainsi que $\pi$, sont des réels non rationnels.

💡 Astuce mémo

Naturels → relatifs → rationnels → réels

📖 7. Fonctions et nombres hyperréels

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction réelle : Association à chaque élément $x$ de son ensemble de définition d’un unique réel $y=f(x)$.
• Infinitésimal : Un hyperréel est infinitésimal positif s’il est strictement positif et plus petit que tout réel strictement positif; il est infinitésimal négatif s’il est négatif et plus grand que tout réel strictement négatif.
• Partie standard : Tout hyperréel fini possède un unique réel qui lui est infiniment proche, appelé sa partie standard et noté $st(a)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — La pente d’une droite passant par $A=(x_A,y_A)$ et $B=(x_B,y_B)$ est $a=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ lorsque $x_B\ne x_A$.

Compléments

📐 Formule — Pour des hyperréels finis $x$ et $y$, on a $st(x+y)=st(x)+st(y)$, $st(xy)=st(x)st(y)$ et $st(x/y)=st(x)/st(y)$ si $st(y)\ne0$.

💡 Astuce mémo

Infinitésimal plus petit que tout réel positif, infini plus grand que tout réel

📖 8. Limites, continuité et dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite : La limite $l$ de $f$ en $a$ est définie par $f(x)\approx l$ dès que $x\approx a$.
• Continuité : Lorsque, pour tout infinitésimal $\epsilon$, on a $f(x+\epsilon)\approx f(x)$.
• Dérivée : La dérivée de $f$ en $x$ est $f'(x)=st\left(\frac{f(x+\epsilon)-f(x)}{\epsilon}\right)$ lorsque cette partie standard existe et est indépendante de l’infinitésimal non nul $\epsilon$.

★ À maîtriser

📌 Toute fonction dérivable est continue, mais une fonction continue n’est pas nécessairement dérivable.

📐 Formule — Les règles de dérivation comprennent $(u+v)'=u'+v'$, $(uv)'=u'v+v'u$ et $(u\circ v)'=(u'\circ v)v'$.

Compléments

📌 Les sommes, différences, produits, quotients et compositions de fonctions continues sont continues lorsqu’elles sont définies.

💡 Astuce mémo

Dérivable → continue, mais continue ↛ dérivable

📖 9. Fonctions réciproques et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Bijection : Fonction dont tout élément de l’ensemble d’arrivée possède un unique antécédent dans l’ensemble de définition.
• Exponentielle : L’exponentielle est définie par $\exp(x)=e^x$, où $e=\exp(1)\simeq2{,}71827$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour $a>0$ et $a\ne1$, le logarithme vérifie $\log_a(xy)=\log_a(x)+\log_a(y)$ et $\log_a(x/y)=\log_a(x)-\log_a(y)$.

📐 Formule — Les dérivées usuelles vérifient $(e^x)'=e^x$, $(\ln x)'=1/x$ et $(a^x)'=(\ln a)a^x$ pour $a>0$.

Compléments

📌 Le graphe d’une fonction réciproque est le symétrique du graphe de la fonction initiale par rapport à la droite $y=x$.

💡 Astuce mémo

Base exponentielle supérieure à 1 : croissance ; inférieure à 1 : décroissance

📖 10. Plans et espaces euclidiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Dans $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$, les couples et triplets munis de l’addition et de la multiplication par un réel peuvent être considérés comme des vecteurs.

★ À maîtriser

• $\mathbb R^2$ est un espace vectoriel de dimension 2, tandis que $\mathbb R^3$ est un espace vectoriel de dimension 3.

📌 Les éléments de $\mathbb R^2$ et $\mathbb R^3$ peuvent être interprétés comme des vecteurs dans un espace vectoriel ou comme des points dans un espace affine.

Compléments

📐 Formule — L’addition dans $\mathbb R^2$ est définie par $(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$, et dans $\mathbb R^3$ par $(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$.

💡 Astuce mémo

Même objet vu comme vecteur ou comme point

📖 11. Fonctions réciproques et hyperboliques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les fonctions hyperboliques sont définies par $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ et $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$.

📐 Formule — Les fonctions hyperboliques vérifient $\cosh'(x)=\sinh(x)$, $\sinh'(x)=\cosh(x)$ et $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$.

📌 La fonction $\sinh$ est une bijection de $\mathbb R$ vers $\mathbb R$, tandis que $\cosh$ est une bijection de $[0,+\infty[$ vers $[1,+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Une réciproque échange x et y ; une fonction hyperbolique relie exponentielles croissantes et décroissantes

📖 12. Formule de Leibniz

★ À maîtriser

📐 Formule — La dérivée n-ième d’un produit vérifie $(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}v^{(n-k)}.$

Compléments

• Pour calculer la dérivée cinquième de $f(x)=\ln(x)e^x$, on applique la formule de Leibniz avec $n=5$.

💡 Astuce mémo

Produit : dériver le premier, puis le second, en répartissant les dérivées

📖 13. Espaces euclidiens et vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Opération qui associe un réel à deux vecteurs et qui est commutative, linéaire et positive.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme d’un vecteur vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{\langle\vec u\mid\vec u\rangle}$ et représente sa longueur.

📌 Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul, tandis qu’ils sont colinéaires lorsque l’un est un multiple réel de l’autre.

📐 Formule — Dans les bases canoniques, les produits scalaires sont $\langle(x_1,y_1)\mid(x_2,y_2)\rangle=x_1x_2+y_1y_2$ dans $\mathbb R^2$ et $\langle(x_1,y_1,z_1)\mid(x_2,y_2,z_2)\rangle=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ dans $\mathbb R^3$.

💡 Astuce mémo

Vecteur = déplacement ; point = position

📖 14. Trigonométrie et projections

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit scalaire s’exprime géométriquement par $\langle\vec u\mid\vec v\rangle=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos(\widehat{\vec u,\vec v}).$

📐 Formule — Si $\vec u$ est normalisé, le projeté orthogonal de $\vec v$ sur $\vec u$ est $\vec p=\langle\vec v\mid\vec u\rangle\vec u$.

📐 Formule — Pour un vecteur directeur quelconque $\vec u$, le projeté orthogonal de $\vec v$ sur $\vec u$ est $\vec p=\frac{\langle\vec v\mid\vec u\rangle}{\|\vec u\|^2}\vec u.$

📐 Formule — Les dérivées trigonométriques fondamentales sont $\cos'(x)=-\sin(x)$, $\sin'(x)=\cos(x)$ et $\tan'(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x).$

💡 Astuce mémo

Un vecteur unitaire tourne sur le cercle, tandis que sa projection tombe perpendiculairement sur un axe

📖 15. Droites, plans et coordonnées

★ À maîtriser

• Une droite affine passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec u$ est l’ensemble des points $A+k\vec u$ pour $k\in\mathbb R$.

📐 Formule — Dans le plan, une droite affine de vecteur normal $(a,b)$ possède une équation cartésienne $ax+by=c.$

📐 Formule — Dans l’espace, un plan affine de vecteur normal $(a,b,c)$ possède une équation cartésienne $ax+by+cz=d.$

📐 Formule — En coordonnées polaires, les relations de passage sont $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ et $r=\sqrt{x^2+y^2}.$

Compléments

📐 Formule — En coordonnées sphériques, les relations de passage sont $x=r\cos\theta\cos\delta$, $y=r\sin\theta\cos\delta$ et $z=r\sin\delta.$

💡 Astuce mémo

Point et directions → normale → équation → projection

📖 16. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : S’écrit de manière unique sous la forme $z=a+ib$, où $a$ et $b$ sont réels et où $i^2=-1$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Si $z=a+ib$, son module est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et son conjugué est $\overline z=a-ib.$

📐 Formule — Tout nombre complexe non nul s’écrit sous forme exponentielle $z=re^{i\theta}$, où $r=|z|$ est son module et $\theta$ un argument.

📐 Formule — Les formules d’Euler sont $\cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}$ et $\sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}.$

📐 Formule — L’équation $X^n=z$, où $z=re^{i\theta}\neq0$, possède exactement $n$ solutions complexes distinctes $X_k=\sqrt[n]{r}e^{i(\theta+2k\pi)/n}$ pour $k=0,\ldots,n-1$.

Compléments

📐 Formule — La partie réelle et la partie imaginaire vérifient $\operatorname{Re}(z)=\frac{z+\overline z}{2}$ et $\operatorname{Im}(z)=\frac{z-\overline z}{2i}.$

💡 Astuce mémo

Forme algébrique pour additionner ; forme exponentielle pour multiplier

📖 17. Intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale de Riemann : Réel vers lequel tend sa somme de rectangles lorsque le nombre de rectangles devient hyper-entier infini.

📝 Points essentiels

📌 Toute fonction continue sur un intervalle fermé $[a,b]$ est intégrable au sens de Riemann sur cet intervalle.

📐 Formule — L’intégrale est linéaire et vérifie $\int_a^b(kf+lg)=k\int_a^b f+l\int_a^b g.$

📐 Formule — Si $F$ est une primitive continue de $f$, alors $\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$

💡 Astuce mémo

Sommes de rectangles → intégrale → primitive

📖 18. Techniques d’intégration

★ À maîtriser

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie $\int_a^b f'(x)g(x)\,dx=[f(x)g(x)]_a^b-\int_a^b f(x)g'(x)\,dx.$

📐 Formule — Pour le changement de variable $X=\varphi(x)$, on a $\int_A^B f(X)\,dX=\int_a^b f(\varphi(x))\varphi'(x)\,dx$ avec $A=\varphi(a)$ et $B=\varphi(b)$.

📐 Formule — L’aire du disque défini par $x^2+y^2\le r^2$ se calcule par intégration et vaut $\pi r^2.$

Compléments

• Les règles de Bioche proposent le changement $X=\cos(x)$ si l’expression est paire en $x$, $X=\sin(x)$ si elle est symétrique par rapport à $\pi/2$, $X=\tan(x)$ si elle est $\pi$-périodique, et sinon $X=\tan(x/2)$.

💡 Astuce mémo

Primitive usuelle → parties → changement de variable → Bioche