Fiche de révision : Techniques de calcul et nombres complexes

📋 Plan du Cours

1. Continuité et dérivabilité
2. Dérivées et primitives usuelles
3. Fonctions circulaires et asymptotes
4. Parité et identités trigonométriques
5. Nombres complexes

📖 1. Continuité et dérivabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité en un point : Une fonction f est continue en a si $\lim_{x\to a^+}f(x)=\lim_{x\to a^-}f(x)=f(a)$.
• Dérivabilité en un point : Si $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)$ existe et est finie.

📝 Points essentiels

📌 Toute fonction dérivable est continue, mais toute fonction continue n'est pas nécessairement dérivable.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur I, alors f est une bijection de I vers J et, pour tout y∈J, il existe un unique x∈I tel que y=f(x).

💡 Astuce mémo

Dérivabilité → continuité, mais continuité ↛ dérivabilité

📖 2. Dérivées et primitives usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les dérivées usuelles sont $\left(x^n\right)'=nx^{n-1}$, $\left(\frac1x\right)'=-\frac1{x^2}$, $\left(e^x\right)'=e^x$ et $\left(\ln x\right)'=\frac1x$.

📐 Formule — Les dérivées trigonométriques usuelles sont $(\sin x)'=\cos x$, $(\cos x)'=-\sin x$ et $(\tan x)'=1+\tan^2x=\frac1{\cos^2x}$.

📐 Formule — La dérivée d'une composée vérifie $\left(f(g(x))\right)'=g'(x)f'(g(x))$.

📐 Formule — Une primitive de x^n est $\frac{x^{n+1}}{n+1}$, une primitive de 1/x est $\ln|x|$, une primitive de e^x est e^x, une primitive de cos x est sin x et une primitive de sin x est -cos x.

📐 Formule — Pour une primitive F de f, $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a)$.

📖 3. Fonctions circulaires et asymptotes

🔑 Notions clés & Définitions

• Asymptote oblique : Si $\lim_{x\to+\infty}\left(f(x)-(ax+b)\right)=0$.
• Asymptote verticale : Si $\lim_{x\to a}f(x)=+\infty$, alors la droite x=a est une asymptote verticale de f.
• Asymptote horizontale : Si $\lim_{x\to+\infty}f(x)=a$ ou $\lim_{x\to-\infty}f(x)=a$, alors y=a est une asymptote horizontale.

📝 Points essentiels

📐 Formule — L'équation $\cos(a)=\cos(b)$ équivaut à $a=b+2k\pi$ ou $a=-b+2k\pi$, avec k∈ℤ.

📐 Formule — L'équation de la tangente à f au point d'abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

💡 Astuce mémo

Verticale : x=a ; horizontale : y=a

📖 4. Parité et identités trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Si, pour tout x, $f(x)=f(-x)$.
• Fonction impaire : Si, pour tout x, $f(-x)=-f(x)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les identités fondamentales sont $\cos^2x+\sin^2x=1$, $\cos(2a)=2\cos^2a-1$ et $\sin(2a)=2\sin a\cos a$.

Compléments

📐 Formule — Les formules d'addition sont $\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ et $\sin(a+b)=\sin a\cos b+\sin b\cos a$.

💡 Astuce mémo

Cosinus pair, sinus impair

📖 5. Nombres complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme algébrique : $z=x+iy$, où x est sa partie réelle et y sa partie imaginaire.
• Conjugué complexe : Le conjugué de $z=x+iy$ est $\bar z=x-iy$.
• Forme exponentielle : $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)=re^{i\theta}$, avec $\cos\theta=\frac{\operatorname{Re}(z)}r$ et $\sin\theta=\frac{\operatorname{Im}(z)}r$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le module d'un nombre complexe vérifie $|z|=\sqrt{z\bar z}=\sqrt{x^2+y^2}$.

• Les racines n-ièmes de $z=Re^{i\varphi}$ sont les nombres $y=re^{i\theta}$ tels que $r=R^{1/n}$ et $\theta=\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}$, avec k∈{0,1,…,n-1}.

📐 Formule — Les formules d'Euler sont $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2$ et $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$.

Compléments

• Les racines n-ièmes de l'unité sont $y=e^{i2k\pi/n}$ pour k∈{0,1,…,n-1}, et leur somme vaut $\sum_{k=0}^{n-1}e^{i2k\pi/n}=0$.

💡 Astuce mémo

Algébrique → exponentielle → module → racines