QCM : Thalès et partage de segments (4 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Dans un triangle ABCABC, les points MM et NN sont situés respectivement sur les droites (AB)(AB) et (AC)(AC), du même côté de AA que BB et CC. On a AM=4AM=4 cm, AB=10AB=10 cm, AN=6AN=6 cm et AC=15AC=15 cm. Quelle conclusion découle de la réciproque du théorème de Thalès ?

Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont sécantes en un point distinct de MM.
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont perpendiculaires.
Les droites (MN)(MN) et (BC)(BC) sont parallèles.
Les droites (AM)(AM) et (AN)(AN) sont parallèles.

Les droites $$(MN)$$ et $$(BC)$$ sont parallèles.

Explication

Les rapports correspondants sont égaux : AMAB=410=25\frac{AM}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} et ANAC=615=25\frac{AN}{AC}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}; avec les points placés de la même manière, la réciproque établit le parallélisme de (MN)(MN) et (BC)(BC). La perpendicularité, le parallélisme de (AM)(AM) et (AN)(AN) et leur intersection distincte ne sont pas les conclusions de cette règle.

2. Quel est le rôle de la réciproque de la propriété de Thalès lorsqu’on connaît des rapports de longueurs dans une configuration triangulaire ?

Justifier que deux droites sont perpendiculaires.
Calculer une longueur à partir de droites parallèles.
Justifier que deux droites sont parallèles.
Établir que deux segments ont la même longueur.

Justifier que deux droites sont parallèles.

Explication

La réciproque utilise l’égalité de rapports pour justifier le parallélisme; le théorème direct part, lui, du parallélisme pour établir des rapports. Le calcul d’une longueur par le théorème direct, la perpendicularité et l’égalité de deux segments correspondent à d’autres conclusions.

3. Pour construire sur [AB][AB] un point MM tel que AM=27ABAM=\frac{2}{7}AB, quelle construction auxiliaire convient ?

Depuis AA, tracer une demi-droite ne contenant pas BB, y placer AM′=2AM'=2 et AB′=7AB'=7, puis tracer par B′B' la parallèle à (MM′)(MM').
Depuis AA, tracer une demi-droite contenant BB, y placer AM′=2AM'=2 et AB′=7AB'=7, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').
Depuis AA, tracer une demi-droite ne contenant pas BB, y placer AM′=7AM'=7 et AB′=2AB'=2, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').
Depuis AA, tracer une demi-droite ne contenant pas BB, y placer AM′=2AM'=2 et AB′=7AB'=7, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').

Depuis $$A$$, tracer une demi-droite ne contenant pas $$B$$, y placer $$AM'=2$$ et $$AB'=7$$, puis tracer par $$M'$$ la parallèle à $$(BB')$$.

Explication

La construction reporte le numérateur sur AM′AM' et le dénominateur sur AB′AB', puis utilise la parallèle à (BB′)(BB') passant par M′M' pour obtenir le rapport demandé sur [AB][AB]. L’inversion des mesures échange le rapport, la parallèle par B′B' ne suit pas la procédure, et la demi-droite auxiliaire doit ne pas contenir BB.

4. Pour construire un point MM vérifiant AM=35ABAM=\frac{3}{5}AB, quelles longueurs faut-il reporter sur la demi-droite auxiliaire issue de AA avant de tracer la parallèle ?

AM′=5AM'=5 et AB′=3AB'=3, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').
AM′=3AM'=3 et AB′=2AB'=2, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').
AM=3AM=3 et AB=5AB=5, puis tracer par MM la parallèle à (BB′)(BB').
AM′=3AM'=3 et AB′=5AB'=5, puis tracer par M′M' la parallèle à (BB′)(BB').

$$AM'=3$$ et $$AB'=5$$, puis tracer par $$M'$$ la parallèle à $$(BB')$$.

Explication

Pour obtenir le rapport 35\frac{3}{5}, on place M′M' et B′B' sur la demi-droite auxiliaire avec AM′=3AM'=3 et AB′=5AB'=5, puis on trace par M′M' la parallèle à (BB′)(BB'). L’inversion produit le rapport réciproque, utiliser 22 remplace à tort le dénominateur par la différence, et les mesures doivent être reportées sur la demi-droite auxiliaire.

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Mémorisez les réponses avec 7 flashcards sur Thalès et partage de segments.

Quelle égalité permet de conclure au parallélisme dans la réciproque de Thalès ?

AMAB=ANAC\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}

Quelle relation entre M et N permet d’appliquer la réciproque de Thalès dans ABC ?

M et N sont situés de la même manière par rapport à A, B et C.

Comment construire M tel que AM=abABAM=\frac{a}{b}AB à l’aide d’une demi-droite auxiliaire ?

Placer M’ et B’ sur cette demi-droite avec AM′=aAM'=a et AB′=bAB'=b, puis tracer par M’ la parallèle à (BB’), qui coupe (AB) en M.

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