Thalès et partage de segments

📋 Plan du Cours

1. Réciproque du théorème de Thalès
2. Partage d’un segment proportionnel

📖 1. Réciproque du théorème de Thalès

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle ABC, si M appartient à la droite (AB), N à la droite (AC) et si M et N sont situés de la même manière par rapport à A et aux sommets B et C, alors l’égalité $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$ entraîne le parallélisme de (MN) et (BC).

Compléments

• Dans un triangle ABC, si AB = 3 cm, AP = 2 cm, AC = 6 cm et AQ = 4 cm, alors $\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}=\frac{2}{3}$ et la réciproque de Thalès permet de conclure que (PQ) est parallèle à (BC).

• La réciproque de la propriété de Thalès permet de justifier que deux droites sont parallèles.

📖 2. Partage d’un segment proportionnel

★ À maîtriser

• Pour construire sur [AB] un point M tel que $AM=\frac{a}{b}AB$, avec a et b deux entiers naturels non nuls, on trace depuis A une demi-droite ne contenant pas B, on y place deux points M’ et B’ tels que AM’ = a et AB’ = b, puis on trace par M’ la parallèle à (BB’), qui coupe (AB) en M.

Compléments

• Pour construire un point M tel que $AM=\frac{3}{5}AB$, on place M’ et B’ sur la demi-droite auxiliaire de sorte que AM’ = 3 et AB’ = 5, puis on trace par M’ la parallèle à (BB’).

💡 Astuce mémo

Demi-droite graduée, parallèle tracée, point obtenu.