Fiche de révision : Thalès et triangles semblables

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Thalès et calculs
2. Contraposée et parallélisme
3. Réciproque de Thalès
4. Triangles semblables
5. Agrandissements et réductions

📖 1. Théorème de Thalès et calculs

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour les triangles ABC et AMN avec (MN) parallèle à (BC) et les sommets alignés selon la configuration de Thalès, on a $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

Compléments

• Dans la configuration où (AC) est parallèle à (BD), avec OB = 3 cm, OA = 2,5 cm, OC = 2 cm et BD = 3,6 cm, le théorème de Thalès donne OD = 2,4 cm et AC = 3 cm.

• Pour calculer avec Thalès, on établit d’abord le parallélisme, on identifie les deux triangles et les côtés correspondants, puis on écrit l’égalité des rapports et on résout l’équation obtenue.

📖 2. Contraposée et parallélisme

★ À maîtriser

📌 La contraposée d’un théorème est vraie : si une égalité de rapports nécessaire à Thalès est fausse pour deux triangles ayant des droites sécantes en leur sommet commun, les droites considérées ne sont pas parallèles.

• Pour montrer que deux droites ne sont pas parallèles, on compare les rapports des côtés correspondants des triangles concernés ; s’ils sont différents, la contraposée de Thalès conclut que les droites ne sont pas parallèles.

Compléments

• Dans l’exemple de longueurs 12 cm, 20 cm, 24 cm et 15 cm, les rapports comparés valent 12/20 < 1 et 24/15 > 1 ; ils sont donc différents.

📖 3. Réciproque de Thalès

★ À maîtriser

📌 Si deux triangles ont des côtés correspondants proportionnels et si leurs points sont alignés dans le même ordre sur les deux droites sécantes, alors les côtés correspondants sont parallèles.

• Pour démontrer que deux droites sont parallèles par la réciproque de Thalès, on identifie les triangles, on vérifie l’alignement dans le même ordre, on compare les rapports correspondants et on conclut au parallélisme si ces rapports sont égaux.

Compléments

• Dans l’exemple, $\frac{UL}{IL}=\frac{7}{4}=1{,}75$ et $\frac{IP}{IO}=\frac{10{,}5}{6}=1{,}75$ ; avec les alignements dans le même ordre, la réciproque établit que (OL) est parallèle à (UP).

• Dans l’autre exemple, $\frac{OP}{OI}=\frac{5{,}6}{13{,}3}=\frac{8}{19}$ et $\frac{OR}{OE}=\frac{8{,}8}{20{,}9}=\frac{8}{19}$ ; avec les alignements dans le même ordre, (PR) est parallèle à (EI).

📖 4. Triangles semblables

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangles semblables : Deux triangles sont semblables lorsque leurs angles sont égaux deux à deux ; les angles égaux, leurs sommets et les côtés opposés à ces angles sont homologues.

★ À maîtriser

📌 Si deux triangles ont deux angles égaux deux à deux, alors ils sont semblables.

📌 Si deux triangles sont semblables, alors leurs côtés homologues sont proportionnels deux à deux.

Compléments

• Dans l’exemple où AB = 5 cm, AC = 6 cm, BC = AD = 2 cm et les angles ADE et ABC sont égaux, les triangles ABC et DAE sont semblables ; on obtient DE = 0,8 cm et AE = 2,4 cm.

📖 5. Agrandissements et réductions

★ À maîtriser

📌 Dans un agrandissement de coefficient k > 1 ou une réduction de coefficient k < 1, les longueurs sont multipliées par k, les aires par k² et les volumes par k³.

Compléments

• Toute configuration de Thalès correspond à une situation d’agrandissement ou de réduction.

• Deux triangles semblables sont en situation d’agrandissement ou de réduction.

• Dans l’exercice du triangle AHC avec AH = 3,5 cm et AB = 7 cm, le coefficient de réduction de ABC vers AHC est $\frac{AH}{AB}=\frac{1}{2}$.

• Lors d’un agrandissement ou d’une réduction de coefficient k, l’aire est multipliée par $k^2$.

• Pour une réduction de coefficient 1/2 appliquée à un triangle d’aire 14,16 cm², l’aire obtenue est 3,54 cm² au centième près.

💡 Astuce mémo

Longueurs : k ; aires : k² ; volumes : k³.