Fiche de révision : Théorème de Pythagore

📋 Plan du Cours

1. Origines du théorème de Pythagore
2. Égalité de Pythagore
3. Corde à treize nœuds
4. Calculer une longueur inconnue
5. Réciproque de Pythagore

📖 1. Origines du théorème de Pythagore

📝 Points essentiels

• Pythagore de Samos aurait vécu dans la Grèce antique, dans une région aujourd’hui située en Italie du Sud, mais son existence individuelle n’est pas certaine.

• Le théorème était connu avant l’époque de Pythagore, notamment chez les Chinois et les Babyloniens, environ 1 000 ans auparavant.

• L’école pythagoricienne aurait formalisé le théorème de Pythagore.

📖 2. Égalité de Pythagore

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure A et les deux autres côtés B et C, $A^2 = B^2 + C^2$.

Compléments

• Dans un triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5, on vérifie que $5^2 = 3^2 + 4^2$, car 25 = 9 + 16.

💡 Astuce mémo

Le grand côté seul s’oppose aux deux autres côtés additionnés

📖 3. Corde à treize nœuds

★ À maîtriser

• Une corde à 13 nœuds régulièrement espacés permet de former un triangle 3-4-5 et donc de construire un angle droit.

Compléments

• Le triangle 3-4-5 était apprécié parce que ses trois longueurs sont des entiers consécutifs et qu’il permet de former un angle droit.

• La corde à 13 nœuds était utilisée par les maçons du XXe siècle pour vérifier la perpendicularité des murs.

💡 Astuce mémo

Une corde nouée forme un triangle 3-4-5 pour tracer un grand angle droit

📖 4. Calculer une longueur inconnue

★ À maîtriser

• Pour calculer un côté inconnu d’un triangle rectangle avec Pythagore, on écrit l’égalité des carrés, on calcule la somme nécessaire puis on utilise une racine carrée si le côté inconnu est au carré.

Compléments

• Dans le triangle ABC rectangle en A avec AB = 6 cm et AC = 9 cm, $BC^2 = 6^2 + 9^2 = 117$, donc $BC = \sqrt{117} \approx 10{,}8$ cm au dixième près.

• La racine carrée de 117 n’a pas d’écriture décimale finie.

💡 Astuce mémo

Égalité des carrés, somme, puis racine carrée

📖 5. Réciproque de Pythagore

🔑 Notions clés & Définitions

• Réciproque de Pythagore : Dans un triangle, si le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres côtés, alors le triangle est rectangle.

★ À maîtriser

• Pour appliquer la réciproque de Pythagore, il faut connaître les longueurs des trois côtés du triangle.

• Pour appliquer la réciproque, on identifie le plus grand côté, on compare son carré à la somme des carrés des deux autres côtés, puis on conclut que le triangle est rectangle si les deux valeurs sont égales.

Compléments

• Pour un triangle de côtés 5, 12 et 13, on a $13^2 = 12^2 + 5^2 = 169$, donc le triangle est rectangle et son angle droit est en A si BC = 13, AB = 12 et AC = 5.

📌 Si le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres côtés, la réciproque ne permet pas de conclure que le triangle est rectangle.

💡 Astuce mémo

Théorème : triangle rectangle donc égalité ; réciproque : égalité donc triangle rectangle