Fiche de révision : Théorème de Thalès et homothétie

📋 Plan du Cours

1. Configurations et théorème de Thalès
2. Réciproque et contraposée
3. Réductions et agrandissements
4. Applications numériques et algébriques

📖 1. Configurations et théorème de Thalès

🔑 Notions clés & Définitions

• Théorème de Thalès : Si deux droites sécantes en A sont coupées par deux droites parallèles, alors les longueurs correspondantes sont proportionnelles : $\frac{PA}{AM}=\frac{SA}{AT}=\frac{PS}{TM}$.

★ À maîtriser

📌 Dans la configuration où M appartient à (AB), N appartient à (AC) et (MN) est parallèle à (BC), on a $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}$.

Compléments

📌 Le triangle AMN est une réduction ou un agrandissement du triangle ABC lorsque leurs longueurs correspondantes sont proportionnelles.

💡 Astuce mémo

Sécantes → parallèles → longueurs proportionnelles

📖 2. Réciproque et contraposée

★ À maîtriser

📌 Si les rapports de longueurs correspondantes sont égaux, la réciproque de Thalès permet de conclure que les deux droites concernées sont parallèles : $\frac{PA}{AM}=\frac{SA}{AT}=\frac{PS}{TM}$.

📌 Si deux rapports correspondants sont différents, les droites concernées ne sont pas parallèles : $\frac{PA}{AM}\ne\frac{SA}{AT}$.

Compléments

• Dans un exemple, $\frac{44}{121}\ne\frac{52}{121}$, donc les droites (UD) et (QA) ne sont pas parallèles.

💡 Astuce mémo

Réciproque : rapports égaux → parallélisme ; contraposée : rapports différents → non-parallélisme

📖 3. Réductions et agrandissements

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans une configuration d'homothétie, les rapports correspondants sont égaux : $\frac{AL}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{EO}{CB}$.

Compléments

📐 Formule — Le rapport de réduction ou d'agrandissement peut s'écrire $\frac{OB}{OR}=\frac{1}{2}$.

• Avec $\frac{30}{28{,}4}=\frac{60}{CB}$, on obtient $CB=56{,}8$.

💡 Astuce mémo

Rapport inférieur à 1 : réduction ; rapport supérieur à 1 : agrandissement

📖 4. Applications numériques et algébriques

★ À maîtriser

• L'équation $5+\frac{1}{2}=3x$ se transforme en $2x+5=3x$, puis donne $x=5$.

Compléments

• Dans une configuration de Thalès, avec RZ = 6,6 cm, PT = 4,4 cm, RF = 4 cm et PR = 8 cm, les rapports permettent d'obtenir $\frac{PT}{PZ}=\frac{2}{3}$.

• Dans une autre configuration, $\frac{TU}{TO}=\frac{TL}{TS}=\frac{1736}{1500000}$, avec LU = 1736 km et TS = 150 000 000 km.

📊 Tableaux de synthèse

Thalès direct, réciproque et contraposée