Fiche de révision : Théorie des ensembles et des nombres

📋 Plan du Cours

1. Définitions et représentations des ensembles
2. Inclusion, égalité et complément
3. Opérations entre ensembles
4. Produit cartésien et notations
5. Ensembles de nombres réels
6. Structure et ordre des réels
7. Infini, intervalles et approximation
8. Applications et démonstrations

📖 1. Définitions et représentations des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets qui sont ses éléments.

★ À maîtriser

📌 La description en extension énumère les éléments entre accolades, tandis que la description en compréhension définit un critère d’appartenance à partir d’un ensemble universel ou de référence.

Compléments

• Les ensembles A={a,b,c,d} et A={x:x est entier et x>5} illustrent respectivement une description en extension et une description en compréhension.

💡 Astuce mémo

Extension = citer les éléments ; compréhension = définir le critère d’appartenance.

📖 2. Inclusion, égalité et complément

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ne contient aucun élément et se note ∅.
• Inclusion : Ensemble dont tout élément est aussi élément de B.
• Complémentaire : Ensemble des éléments de U qui n’appartiennent pas à A.

📝 Points essentiels

📌 La relation A⊈B est vraie s’il existe au moins un élément x tel que x∈A et x∉B.

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A⊆B et B⊆A.

💡 Astuce mémo

Deux inclusions réciproques → égalité des ensembles.

📖 3. Opérations entre ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : Ensemble des éléments qui appartiennent à au moins l’un des ensembles A et B.
• Intersection : Ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B.
• Différence d’ensembles : La différence A∖B est l’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à B, et vérifie A∖B=A∩B̄.

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de Morgan donnent $\overline{A\cap B}=\overline{A}\cup\overline{B}$ et $\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}$.

Compléments

📌 Deux ensembles sont disjoints si leur intersection est vide, c’est-à-dire si A∩B=∅.

💡 Astuce mémo

Union = au moins un ensemble ; intersection = les deux ensembles.

📖 4. Produit cartésien et notations

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit cartésien : Ensemble des couples ordonnés (x,y) tels que x∈A et y∈B.

★ À maîtriser

📌 Un ensemble {a1,…,an} contient des éléments distincts sans ordre, tandis qu’un n-uplet (a1,…,an) respecte l’ordre et peut contenir des éléments répétés.

Compléments

• Si A contient 3 éléments et B en contient 2, alors A×B contient 3×2=6 couples.

💡 Astuce mémo

Un ensemble ignore l’ordre ; un n-uplet respecte l’ordre.

📖 5. Ensembles de nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : L’ensemble des entiers naturels est N={0,1,2,3,…}.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire comme le quotient p/q de deux entiers p et q avec q≠0.
• Nombres irrationnels : Les nombres irrationnels ont une écriture décimale illimitée et non périodique et n’appartiennent pas à Q.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon les inclusions N⊂Z⊂Q⊂R.

Compléments

• Les nombres décimaux finis et les nombres décimaux infinis périodiques sont rationnels.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R : naturels, entiers, rationnels, réels.

📖 6. Structure et ordre des réels

★ À maîtriser

📌 Dans R, l’addition et la multiplication sont associatives, commutatives et distributives, avec 0 et 1 comme éléments neutres respectifs.

📌 Tout réel x possède un opposé −x, et tout réel non nul x possède un inverse 1/x.

📌 L’ordre réel est réflexif, transitif et antisymétrique, et il est total car pour tous x et y, x≤y ou y≤x.

Compléments

📌 Si x≤y, alors x+z≤y+z, et si 0≤z, alors xz≤yz.

• Les notations désignent respectivement:
  • les réels non nuls
  • les réels positifs non nuls
  • les réels positifs ou nuls
  • les réels négatifs non nuls
  • les réels négatifs ou nuls
  • les entiers naturels positifs non nuls

💡 Astuce mémo

A-N-I-C-D : associativité, neutres, inverses, commutativité, distributivité.

📖 7. Infini, intervalles et approximation

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble dénombrable : En correspondance bijective avec l’ensemble des entiers naturels.
• Intervalle : Ensemble des nombres réels situés entre deux extrémités a et b avec a<b.
• Valeur approchée : Si a<x<b et b−a=ε avec ε>0, alors a est une valeur approchée par défaut de x à ε près et b une valeur approchée par excès à ε près.

★ À maîtriser

• L’ensemble des nombres rationnels Q est dénombrable, car ses fractions peuvent être numérotées en parcourant un tableau en diagonale.

• L’intervalle [0,1] des nombres réels n’est pas dénombrable, comme le montre l’argument diagonal de Cantor.

Compléments

• La longueur de l’intervalle entre a et b est $b-a$.

💡 Astuce mémo

Q est dénombrable, tandis que [0,1] ne l’est pas.

📖 8. Applications et démonstrations

★ À maîtriser

• Pour A={x:2x=6}, on obtient A={3}, donc A n’est pas égal au nombre b=3 car A est un ensemble et b est un réel.

• Pour encadrer π au millième près, on utilise 3,141<π<3,142, avec une largeur d’intervalle de 0,001=10⁻³.

• Une valeur approchée par défaut de √227 au centième près est 3,14, car 3,14<√227<3,15 et 3,15−3,14=0,01.

Compléments

• Pour montrer que A={2,3,4,5} n’est pas inclus dans l’ensemble des nombres impairs, il suffit d’exhiber 2∈A et 2∉B.

• Le produit cartésien est:

  • (1,0)
  • (1,5)
  • (2,0)
  • (2,5)
  • (3,0)
  • (3,5)

• Dans le problème des trois cours, le nombre d’étudiants suivant uniquement le cours de statistique est 14−2−4−7=1.

💡 Astuce mémo

Identifier l’ensemble, traduire la condition, puis vérifier l’appartenance.

📊 Tableaux de synthèse

Types d’ensembles de nombres