Une collection d’objets appelés éléments
Explication
Un ensemble est une collection d’objets, lesquels sont appelés ses éléments.
A={x : x est un entier pair inférieur à 10}
Explication
La compréhension définit un critère que les éléments doivent vérifier, tandis que l’extension énumère directement les éléments entre accolades.
Tout élément de A appartient aussi à B
Explication
A⊆B signifie que chaque élément de A est également un élément de B. L’inclusion ne demande pas nécessairement que les deux ensembles soient égaux.
Il existe un élément de A qui n’appartient pas à B
Explication
A⊈B est vraie lorsqu’il existe au moins un élément x tel que x∈A et x∉B. Cet élément constitue un contre-exemple à l’inclusion de A dans B.
Lorsqu'A⊆B et B⊆A
Explication
Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre : A⊆B et B⊆A.
Les éléments de U qui n’appartiennent pas à A
Explication
Le complémentaire de A dans U rassemble les éléments de U qui ne sont pas dans A. Il dépend donc de l’ensemble de référence U.
À l’union A∪B
Explication
L’union contient les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles. L’intersection exige, elle, une appartenance simultanée à A et à B.
{3}
Explication
L’intersection contient les éléments communs aux deux ensembles. Ici, seul 3 appartient à la fois à A et à B.
\overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}
Explication
Les lois de Morgan donnent notamment \overline{A\cup B}=\overline{A}\cap\overline{B}. Le complémentaire d’une union se transforme donc en intersection des complémentaires.
{1,2}
Explication
A∖B contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B. Les éléments 1 et 2 conviennent, tandis que 3 et 4 appartiennent aussi à B.
L’ensemble des couples ordonnés (x,y) avec x∈A et y∈B
Explication
Par définition, A×B regroupe les couples ordonnés dont le premier élément appartient à A et le second à B. L’ordre des composantes est donc essentiel.
{a,b} ne dépend pas de l’ordre, tandis que (a,b) dépend de l’ordre
Explication
Un ensemble est non ordonné, donc {a,b}={b,a}. Un couple ordonné respecte l’ordre, ainsi (a,b)≠(b,a) lorsqu'a≠b.
N={0,1,2,3,…}
Explication
L’ensemble N contient 0 ainsi que tous les entiers positifs. L’ensemble des entiers relatifs correspondrait à Z, qui comprend aussi les entiers négatifs.
−7/3
Explication
−7/3 est le quotient de deux entiers dont le dénominateur est non nul, il appartient donc à Q. Les autres nombres proposés ont une écriture décimale illimitée non périodique.
Il possède une écriture décimale infinie non périodique
Explication
Un nombre irrationnel possède une écriture décimale illimitée et non périodique et n’appartient pas à Q. Les écritures décimales finies ou périodiques correspondent à des nombres rationnels.
N⊂Z⊂Q⊂R
Explication
Les inclusions correctes sont N⊂Z⊂Q⊂R : tout naturel est entier, tout entier est rationnel, et tout rationnel est réel. L’inclusion inverse entre ces ensembles n’est pas générale.
0 pour l’addition et 1 pour la multiplication
Explication
Ajouter 0 ne change pas un réel, tandis que multiplier par 1 ne le change pas non plus. Ainsi, 0 est l’élément neutre additif et 1 l’élément neutre multiplicatif.
0
Explication
Tout réel possède un opposé, mais l’inverse multiplicatif 1/x n’existe que lorsque x est non nul. L’inverse de 0 n’est donc pas défini.
Parce que pour tous réels x et y, on a x≤y ou y≤x
Explication
L’ordre sur R est total puisque deux réels quelconques sont toujours comparables : x≤y ou y≤x. Cette propriété s’ajoute à la réflexivité, la transitivité et l’antisymétrie.
Il est en bijection avec l’ensemble des entiers naturels
Explication
Un ensemble est dénombrable lorsqu’il peut être mis en correspondance bijective avec l’ensemble des entiers naturels. Cette propriété ne signifie pas qu’il est fini ni qu’il contient uniquement des rationnels.
Ses fractions peuvent être numérotées en parcourant un tableau en diagonale
Explication
Les fractions rationnelles peuvent être disposées dans un tableau puis parcourues en diagonale afin d’être numérotées. Ainsi, Q est dénombrable, contrairement à l’intervalle réel [0,1].
L’intervalle [0,1] des réels n’est pas dénombrable
Explication
L’argument diagonal de Cantor montre qu’il est impossible de numéroter tous les réels de [0,1] avec les entiers naturels. Cet intervalle n’est donc pas dénombrable.
L’ensemble des nombres réels situés entre les extrémités a et b
Explication
Un intervalle est constitué des nombres réels situés entre deux extrémités a et b, avec a<b. La différence b−a représente sa longueur, et non l’intervalle lui-même.
3,141<π<3,142
Explication
L’encadrement 3,141<π<3,142 possède une largeur de 0,001, soit 10⁻³. Il correspond donc à une approximation au millième près.
3,14
Explication
On a 3,14<√227<3,15 et l’écart entre les deux bornes vaut 0,01. La borne inférieure 3,14 est donc une valeur approchée par défaut au centième près.
Un élément de A qui n’appartient pas à B
Explication
Un seul élément de A situé hors de B suffit à montrer qu'A n’est pas inclus dans B. Pour démontrer une inclusion, il faudrait au contraire vérifier que chaque élément de A appartient à B.
Mémorisez les réponses avec 49 flashcards sur Théorie des ensembles et des nombres.
Qu'est-ce qu'un ensemble en mathématiques ?
Une collection d’objets appelés éléments.
Que fait la description en extension d'un ensemble ?
Elle énumère les éléments entre accolades.
Comment la description en compréhension définit-elle un ensemble ?
Par un critère d’appartenance à partir d’un ensemble universel.
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