Fiche de révision : Théorie du contact entre solides

📋 Plan du Cours

1. Enjeux du dimensionnement des contacts
2. Contraintes mécaniques et principales
3. Contraintes de contact et cisaillement
4. Fatigue sous sollicitations cycliques
5. Torseur des actions de contact
6. Lois de Coulomb et frottement

📖 1. Enjeux du dimensionnement des contacts

★ À maîtriser

• La transmission d’un effort entre deux solides se fait par les surfaces de contact au niveau de leur liaison.

📌 Un contact surfacique s’étend sur une surface importante, tandis qu’un contact linéique ou ponctuel s’effectue sur une petite surface.

Compléments

📌 Le dimensionnement d’un contact nécessite de déterminer correctement l’aire de contact et la pression de contact.

💡 Astuce mémo

Contact surfacique étendu contre contact linéique ou ponctuel réduit

📖 2. Contraintes mécaniques et principales

🔑 Notions clés & Définitions

• Contrainte mécanique : Représente les forces élémentaires $d\vec{f}$ exercées entre les particules d’un milieu par unité de surface $ds$ et s’exprime en pascals ou mégapascals.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Dans la base principale, le tenseur des contraintes est diagonal et s’écrit $\boldsymbol{\sigma}=\begin{bmatrix}\sigma_1&0&0\\0&\sigma_2&0\\0&0&\sigma_3\end{bmatrix}$.

📖 3. Contraintes de contact et cisaillement

★ À maîtriser

📌 En surface, les contraintes normales sont égales à la pression de contact.

📌 Le critère de dimensionnement en surface impose $P_{\max}\leq P_{\mathrm{admissible}}$.

• Les pressions admissibles indiquées sont:
  • 4200 MPa pour les roulements et butées à billes
  • 4500 MPa pour les roulements à rotule
  • 4000 MPa pour les roulements et butées à rouleaux

📐 Formule - Dans le cas courant des aciers, le critère de Tresca impose $\tau_{\max}\leq\frac{\sigma_{\mathrm{admissible}}}{2}$, ce qui conduit à $P_{\max}\leq1{,}7\,\sigma_{\mathrm{admissible}}$.

📐 Formule - Pour un contact linéique, la contrainte de cisaillement maximale vaut $\tau_{\max}=0{,}3P_{\max}$ et se situe à environ $0{,}4b$ de profondeur.

Compléments

• La profondeur de cisaillement maximal dépend de l’excentration de l’ellipse de contact et du coefficient de Poisson, avec environ $\nu\approx0{,}3$ pour les matériaux métalliques.

• La contrainte de cisaillement maximale est atteinte à $z=0{,}8a$ pour un contact ponctuel et à $z=0{,}4b$ pour un contact linéique.

💡 Astuce mémo

Pression de contact élevée → cisaillement interne → risque de rupture

📖 4. Fatigue sous sollicitations cycliques

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe de Wöhler : Donne l’évolution de la contrainte admissible en fonction du nombre de cycles de fonctionnement et de la probabilité de survie.

📝 Points essentiels

• La fatigue plastique concerne moins de $10^3$ cycles, avec une déformation plastique importante et des contraintes proches de la limite de rupture statique.

• Dans la zone de fatigue limitée, la rupture survient après un nombre de cycles d’autant plus élevé que l’amplitude de la contrainte est faible.

• Le domaine d’endurance illimitée existe uniquement pour les matériaux ferreux et correspond à une contrainte inférieure à un seuil sous laquelle la rupture par fatigue ne se produit pas.

💡 Astuce mémo

Fatigue plastique → fatigue limitée → endurance illimitée

📖 5. Torseur des actions de contact

📝 Points essentiels

📐 Formule - L’action de contact du solide 2 sur le solide 1 est modélisée par le torseur $\{T(2/1)\}_A=\left\{\vec{R}(2/1),\vec{M}_A(2/1)\right\}$, où $\vec{R}(2/1)=\int_S\!\vec{df}_{21}$ et $\vec{M}_A(2/1)=\int_S\!\overrightarrow{AM}\times\vec{df}_{21}$.

📐 Formule - La force élémentaire surfacique s’écrit $\vec{df}_{21}=df_n\vec{n}+df_t\vec{t}$, avec une composante normale et une composante tangentielle.

📌 Sans frottement, $df_t\vec{t}=\vec{0}$ et la force élémentaire est uniquement normale, soit $\vec{df}_{21}=df_n\vec{n}$.

📌 Avec frottement, la force élémentaire combine les composantes normale et tangentielle, soit $\vec{df}_{21}=df_n\vec{n}+df_t\vec{t}$.

💡 Astuce mémo

Sans frottement : normale seule ; avec frottement : normale et tangentielle

📖 6. Lois de Coulomb et frottement

🔑 Notions clés & Définitions

• Adhérence : Lorsqu’il n’existe pas de mouvement relatif entre les solides 1 et 2, soit $\vec{V}_{M\in1/2}=\vec{0}$.
• Glissement : Lorsqu’un mouvement relatif existe entre les solides 1 et 2, soit $\vec{V}_{M\in1/2}\neq\vec{0}$.

★ À maîtriser

📌 En adhérence, il n’y a pas de glissement tant que la résultante reste dans le cône d’adhérence, c’est-à-dire lorsque $|F_t|\leq f_0|F_n|$ avec $f_0=\tan\varphi_0$.

📌 En glissement, la force tangentielle s’oppose au mouvement relatif et vérifie $|F_t|=f|F_n|$ avec $f=\tan\varphi$.

Compléments

• Le frottement entre deux solides en mouvement relatif entraîne une dissipation d’énergie, généralement recherchée à la baisse mais parfois recherchée pour transmettre un mouvement par adhérence.

📌 Pour étudier l’équilibre des solides à la limite du glissement, on assimile le coefficient de frottement au coefficient d’adhérence, soit $f=f_0$.

💡 Astuce mémo

Adhérence sans mouvement relatif contre glissement avec mouvement relatif

📊 Tableaux de synthèse

Adhérence et glissement