Fiche de révision : Triangle rectangle et trigonométrie

📋 Plan du Cours

1. Théorème de Pythagore
2. Réciproque de Pythagore
3. Vocabulaire du triangle rectangle
4. Rapports trigonométriques
5. Calculer une longueur
6. Calculer un angle

📖 1. Théorème de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle ABC rectangle en A, le carré de l’hypoténuse vérifie $BC^2 = AB^2 + AC^2$.

Compléments

• Dans un triangle rectangle en A où AB = 3 et AC = 4, le théorème de Pythagore donne BC = 5.

• Pour calculer un côté de l’angle droit, on isole son carré dans l’égalité de Pythagore, puis on prend la racine carrée positive ; par exemple, avec BC = 5 et AB = 3, AC = 4.

📖 2. Réciproque de Pythagore

★ À maîtriser

📌 Dans un triangle ABC, si $AB^2 + AC^2 = BC^2$, alors le triangle ABC est rectangle en A.

• Pour tester si un triangle est rectangle en A, on compare $AB^2 + AC^2$ à $BC^2$ : l’égalité confirme l’angle droit en A, tandis que l’inégalité permet de conclure que le triangle n’est pas rectangle en A.

Compléments

• Pour AB = 3 cm, AC = 4 cm et BC = 5 cm, on obtient 3² + 4² = 5², donc le triangle est rectangle en A.

💡 Astuce mémo

Pythagore calcule un côté dans un triangle déjà rectangle ; sa réciproque vérifie si le triangle est rectangle.

📖 3. Vocabulaire du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : Le côté le plus long d’un triangle rectangle et elle est opposée à l’angle droit.
• Côté opposé : Le côté situé en face de cet angle.
• Côté adjacent : Touche cet angle sans être l’hypoténuse.

📖 4. Rapports trigonométriques

★ À maîtriser

• Les rapports trigonométriques sont :
  • Le sinus : côté opposé / hypoténuse.
  • Le cosinus : côté adjacent / hypoténuse.
  • La tangente : côté opposé / côté adjacent.

Compléments

• Dans le triangle ABC rectangle en A, $\sin B = \frac{AC}{BC}$, $\cos B = \frac{AB}{BC}$ et $\tan B = \frac{AC}{AB}$.

💡 Astuce mémo

SOH-CAH-TOA : sinus = opposé/hypoténuse, cosinus = adjacent/hypoténuse, tangente = opposé/adjacent.

📖 5. Calculer une longueur

★ À maîtriser

• Pour calculer une longueur dans un triangle rectangle, on choisit le rapport trigonométrique qui relie le côté connu, le côté recherché et l’angle connu, puis on isole la longueur recherchée.

Compléments

• Dans un triangle ABC rectangle en A, si BC et l’angle B sont connus, alors $AC = BC \times \sin B$.

📖 6. Calculer un angle

★ À maîtriser

• Pour calculer un angle à partir de deux côtés d’un triangle rectangle, on applique la fonction inverse correspondant au rapport utilisé : sinus inverse, cosinus inverse ou tangente inverse.

Compléments

• Dans un triangle ABC rectangle en A, $B = \sin^{-1}\left(\frac{AC}{BC}\right)$, $B = \cos^{-1}\left(\frac{AB}{BC}\right)$ ou $B = \tan^{-1}\left(\frac{AC}{AB}\right)$ selon le rapport connu.