Fiche de révision : Suites et récurrence

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques et géométriques
2. Sommes et variations des suites
3. Raisonnement par récurrence
4. Limites des suites
5. Encadrement et convergence monotone
6. Opérations sur les limites
7. Comparaison et puissances géométriques
8. Dérivation et variations des fonctions
9. Calculs de dérivées composées
10. Convexité, concavité et points d’inflexion
11. Vecteurs de l’espace
12. Coplanarité des vecteurs
13. Caractérisation des droites et plans
14. Positions relatives et parallélisme
15. Bases et repères de l’espace

📖 1. Suites arithmétiques et géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite est arithmétique si un même réel r est ajouté à chaque terme, de sorte que $u_{n+1}=u_n+r$.
• Suite géométrique : Une suite est géométrique si chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un même réel q, de sorte que $u_{n+1}=qu_n$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r, $u_n=u_0+nr$ et $u_n=u_p+(n-p)r$.

💡 Astuce mémo

L’arithmétique ajoute r ; la géométrique multiplie par q.

📖 2. Sommes et variations des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite croissante : Une suite est croissante lorsque, pour tout n, $u_n\leq u_{n+1}$.
• Suite décroissante : Une suite est décroissante lorsque, pour tout n, $u_n\geq u_{n+1}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des entiers de 0 à n vaut $\sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}2$.

📐 Formule - Pour q≠1, la somme géométrique de 1 à qⁿ vaut $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$.

Compléments

• Pour u_n=n²−n, la différence u_{n+1}−u_n=2n est positive ou nulle sur ℕ, donc la suite est croissante.

• Pour v_n=3/5ⁿ, la différence v_{n+1}−v_n=−12/5ⁿ⁺¹ est négative, donc la suite est strictement décroissante.

• La somme des entiers de 0 à 50 vaut 1275.

• Pour une suite géométrique de premier terme 5 et de raison 0,8, la somme des termes de rang 0 à 70 vaut environ 24,999996.

📖 3. Raisonnement par récurrence

★ À maîtriser

• Le raisonnement par récurrence établit une proposition à partir d’un rang initial en vérifiant son initialisation et son hérédité.

Compléments

• La notation $\forall n\in\mathbb{N}$ signifie « pour tout entier naturel n ».

• Pour u₀=2 et uₙ₊₁=3uₙ−2, une récurrence permet d’établir que uₙ=3ⁿ+1 pour tout n∈ℕ.

💡 Astuce mémo

Initialisation, hérédité, conclusion : vérifier un rang, transmettre au suivant, puis généraliser.

📖 4. Limites des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite infinie : Une suite a pour limite +∞ si, pour tout réel A, ses termes dépassent A à partir d’un certain rang ; on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty$.
• Limite finie : Une suite converge vers le réel l si ses termes appartiennent à tout intervalle ouvert contenant l à partir d’un certain rang ; on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=l$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La définition formelle de la convergence vers l est $\forall\varepsilon>0\;\exists N\in\mathbb{N}\;\forall n\geq N,\ |u_n-l|<\varepsilon$.

📐 Formule - La définition formelle de la limite +∞ est $\forall A\in\mathbb{R}\;\exists N\in\mathbb{N}\;\forall n\geq N,\ u_n>A$.

• Quand n tend vers +∞, n, n², √n, nᵏ pour k∈ℕ* et eⁿ tendent vers +∞.

• Si q>1, alors $q^n\to+\infty$ quand n tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Diverger vers l’infini, c’est dépasser tout seuil ; converger vers l, c’est rester arbitrairement proche de l.

📖 5. Encadrement et convergence monotone

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite majorée : Une suite est majorée par M si, pour tout n, $u_n\leq M$.
• Suite minorée : Une suite est minorée par m si, pour tout n, $u_n\geq m$.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois minorée et majorée.

★ À maîtriser

📌 Si uₙ≤vₙ≤wₙ à partir d’un certain rang et si uₙ et wₙ tendent vers le même réel l, alors vₙ converge vers l.

📌 Toute suite croissante et majorée converge vers une limite finie.

Compléments

• Pour uₙ=cos(n)/n, l’encadrement −1/n≤uₙ≤1/n montre que uₙ tend vers 0.

📌 Toute suite décroissante et minorée converge vers une limite finie.

📌 Une suite croissante non majorée tend vers +∞, tandis qu’une suite décroissante non minorée tend vers −∞.

• Pour u₀=1 et uₙ₊₁=0,2uₙ(10−uₙ), la suite est croissante et majorée par 5, donc convergente ; sa limite est 5.

💡 Astuce mémo

Encadrement serré vers l → convergence vers l ; monotonie avec borne → limite finie.

📖 6. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

📌 La somme de deux suites de limites finies L et L′ tend vers L+L′ ; l’addition d’une limite finie à +∞ ou −∞ conserve respectivement +∞ ou −∞.

📌 Le produit de deux limites finies tend vers leur produit, et le signe d’un facteur fini non nul détermine le signe de la limite infinie du produit.

Compléments

• La somme de suites tendant respectivement vers +∞ et −∞ est une forme indéterminée.

• Le quotient se traite selon les limites du numérateur et du dénominateur, en tenant compte du signe et du fait que le dénominateur ne s’annule pas.

• Une forme indéterminée doit être levée en transformant l’expression avant de conclure sur sa limite.

• La suite 2/(3n+5) tend vers 0 lorsque n tend vers +∞.

• La transformation n−√n=√n(√n−1) permet de conclure que n−√n tend vers +∞.

📖 7. Comparaison et puissances géométriques

★ À maîtriser

📌 Si uₙ≥vₙ à partir d’un certain rang et si vₙ tend vers +∞, alors uₙ tend vers +∞.

Compléments

• La suite n+sin(n) tend vers +∞, car elle est minorée par n−1, qui tend vers +∞.

• La suite (−1)ⁿ−n² tend vers −∞, car elle est majorée par 1−n², qui tend vers −∞.

📌 Pour tout réel a>0 et tout entier naturel n, l’inégalité de Bernoulli donne $(1+a)^n\geq1+na$.

• Pour q=1, la suite qⁿ tend vers 1.

• Pour q≤−1, la suite qⁿ n’a pas de limite.

• La suite (−1)ⁿ alterne entre 1 et −1 et n’a pas de limite.

📖 8. Dérivation et variations des fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point : Une fonction f est dérivable en a si son taux d’accroissement admet une limite finie lorsque h tend vers 0 ; cette limite est le nombre dérivé f′(a), donné par $\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h=f'(a)$.

★ À maîtriser

📌 Une fonction dérivable est constante sur un intervalle si et seulement si sa dérivée y est nulle partout.

📌 Une fonction dérivable est strictement croissante sur un intervalle si sa dérivée est positive partout, sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule.

Compléments

• Le nombre dérivé f′(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a.

• Une fonction dérivable est strictement décroissante sur un intervalle si sa dérivée est négative partout, sauf éventuellement en des points isolés où elle s’annule.

• Si une fonction dérivable présente un extremum local en x₀, alors f′(x₀)=0.

• Si la dérivée s’annule en x₀ en changeant de signe, alors la fonction présente un extremum local en x₀.

💡 Astuce mémo

Dérivée positive : fonction croissante ; dérivée négative : fonction décroissante.

📖 9. Calculs de dérivées composées

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : Fonction définie par (g∘u)(x)=g(u(x)).

★ À maîtriser

📌 Si u est dérivable en a et g est dérivable en u(a), alors g∘u est dérivable en a ; sur un intervalle où g∘u est dérivable, sa dérivée est (g∘u)'(x)=u'(x)g'(u(x)).

Compléments

📐 Formule - Les dérivées usuelles de composées sont $(e^u)'=u'e^u$, $(u^m)'=mu'u^{m-1}$ et $(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$.

• Pour f(x)=e^{x^2+7}, la dérivée est f'(x)=2xe^{x^2+7}.

• Pour g(x)=\sqrt{5x-2}, le domaine est [0,4 ; +∞[ et g'(x)=\frac{5}{2\sqrt{5x-2}}.

📖 10. Convexité, concavité et points d’inflexion

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction convexe : Fonction telle que, pour deux points distincts de sa courbe, le segment qui les relie est au-dessus de la courbe entre eux.
• Fonction concave : Fonction telle que, pour deux points distincts de sa courbe, le segment qui les relie est en dessous de la courbe entre eux.
• Point d’inflexion : Point de la courbe où la tangente la traverse.

★ À maîtriser

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, les conditions suivantes sont équivalentes : f est convexe, f' est croissante, sa courbe est au-dessus de ses tangentes et f''≥0.

📌 Si f'' s’annule en a en changeant de signe, alors le point de la courbe d’abscisse a est un point d’inflexion.

Compléments

📌 Pour une fonction deux fois dérivable sur un intervalle, les conditions suivantes sont équivalentes : f est concave, f' est décroissante, sa courbe est en dessous de ses tangentes et f''≤0.

• La fonction carrée et la fonction exponentielle sont convexes, tandis que la fonction racine carrée est concave.

• À l’abscisse d’un point d’inflexion, la fonction passe de convexe à concave ou de concave à convexe.

• Pour f(x)=2x^3-3x^2+x+1 sur [-5 ; 10], f''(x)=12x-6 s’annule en x=0,5 ; la fonction est concave avant 0,5 et convexe après.

• Une même fonction peut être convexe sur un intervalle et concave sur un autre, par exemple convexe sur [-4 ; 1] et concave sur [1 ; 5].

• Dans cet exemple, f(0,5)=1 et le point d’inflexion a pour coordonnées (0,5 ; 1).

💡 Astuce mémo

La courbe convexe passe au-dessus de ses cordes, la concave en dessous.

📖 11. Vecteurs de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel k tel que $\vec u=k\vec v$.
• Vecteurs égaux : Deux vecteurs AB et CD sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.
• Combinaison linéaire : Un vecteur est une combinaison linéaire de deux vecteurs s’il peut s’écrire comme une somme de multiples réels de ces deux vecteurs.

★ À maîtriser

📌 La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Dans un parallélogramme ABCD, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}$.

📖 12. Coplanarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs dont les représentants issus d’un même point ont leurs extrémités et ce point dans un même plan.

★ À maîtriser

📌 Si u et v ne sont pas colinéaires, alors u, v et w sont coplanaires si et seulement s’il existe des réels a et b tels que $\vec w=a\vec u+b\vec v$.

Compléments

• Dans l’exemple du cube, $\overrightarrow{JG}=\overrightarrow{AH}+\frac12\overrightarrow{HF}$ montre que AH, HF et JG sont coplanaires.

📖 13. Caractérisation des droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur AB est un vecteur directeur de la droite (AB), qui est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel k.

★ À maîtriser

📌 Si A, B et C ne sont pas alignés, le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$ pour des réels x et y.

Compléments

• Une droite est définie par un point A et un vecteur directeur u et se note d(A ; u).

• Les vecteurs AB et AC sont des vecteurs directeurs du plan (ABC), et un plan se note P(A ; u,v) lorsqu’il est défini par A et deux vecteurs directeurs u et v.

💡 Astuce mémo

Une direction pour une droite, deux pour un plan.

📖 14. Positions relatives et parallélisme

★ À maîtriser

📌 Si un plan contient une droite parallèle à une droite Δ, alors ce plan et Δ sont parallèles.

📌 Si deux droites sécantes d’un plan sont respectivement parallèles à deux droites sécantes d’un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.

Compléments

• Deux droites de l’espace sont coplanaires ou non coplanaires ; les droites coplanaires sont sécantes ou parallèles, et les droites parallèles peuvent être strictement parallèles ou confondues.

• Une droite et un plan de l’espace peuvent être sécants ou parallèles.

• Deux plans de l’espace peuvent être sécants ou parallèles ; des plans parallèles peuvent être strictement parallèles ou confondus.

• Si deux plans sont parallèles, tout plan qui coupe l’un coupe aussi l’autre et leurs droites d’intersection sont parallèles.

• Si le vecteur directeur d’une droite est une combinaison linéaire des deux vecteurs directeurs d’un plan, la droite est soit contenue dans ce plan, soit strictement parallèle à celui-ci.

• Si deux plans sont parallèles, toute droite de l’un est parallèle à l’autre plan.

📖 15. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace si tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est un quadruplet (O ; I ; J ; K) de points non coplanaires ; il peut aussi s’écrire (O ; i,j,k), avec i=OI, j=OJ et k=OK.

📝 Points essentiels

• Les coordonnées d’un vecteur dans une base sont les coefficients de son unique décomposition en combinaison linéaire des vecteurs de cette base.

📌 Dans un repère (O ; i,j,k), tout point M possède un unique triplet de coordonnées (x ; y ; z) tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+z\vec k$ ; x, y et z sont l’abscisse, l’ordonnée et la cote.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, si A(x_A ; y_A ; z_A) et B(x_B ; y_B ; z_B), alors $\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$.

📐 Formule - Dans un repère orthonormé, le milieu I de [AB] a pour coordonnées $\left(\frac{x_A+x_B}{2}\,;\,\frac{y_A+y_B}{2}\,;\,\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

📊 Tableaux de synthèse

Comportement des puissances qⁿ