QCM : Suites et récurrence (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer une somme portant sur des entiers consécutifs ou des puissances, quelles propositions sont exactes ?

La somme des entiers de 00 à 2020 vaut 220220 en appliquant la formule n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}.
La somme des entiers de 00 à 5050 vaut 12751275.
La somme des entiers de 00 à 2020 vaut 210210 selon la formule quadratique.
La somme des termes de rang 00 à 7070 d’une suite de premier terme 55 et de raison 0,80,8 vaut environ 25,825,8.
Pour q≠1q\neq1, la somme de q0q^0 à qnq^n vaut 1−qn1−q\frac{1-q^n}{1-q}.

La somme des entiers de $$0$$ à $$50$$ vaut $$1275$$. · La somme des entiers de $$0$$ à $$20$$ vaut $$210$$ selon la formule quadratique.

Explication

La formule donne 20×212=210\frac{20\times21}{2}=210, et le cas des entiers de 00 à 5050 donne 12751275. La somme géométrique comprend le terme qnq^n, donc son numérateur est 1−qn+11-q^{n+1} ; pour la suite donnée, la somme vaut environ 24,99999624,999996.

2. Une suite géométrique a pour terme de rang 22 la valeur 1212 et pour raison q=2q=2. Parmi les propositions suivantes concernant cette suite, lesquelles sont exactes ?

Le terme de rang 44 vaut 4848 après deux multiplications successives par 22.
Chaque terme se déduit du précédent par multiplication par une même constante.
Le terme de rang 33 s’obtient en ajoutant 22 au terme de rang 22.
Le terme de rang 33 s’obtient en multipliant le terme de rang 22 par 22.
Le terme de rang 44 vaut 2424 après une seule multiplication par 22 depuis le rang 22.

Le terme de rang $$4$$ vaut $$48$$ après deux multiplications successives par $$2$$. · Chaque terme se déduit du précédent par multiplication par une même constante. · Le terme de rang $$3$$ s’obtient en multipliant le terme de rang $$2$$ par $$2$$.

Explication

La définition d’une suite géométrique impose la multiplication par la raison : ainsi, u3=24u_3=24 et u4=48u_4=48. L’ajout de 22 décrit un mécanisme arithmétique, et une seule multiplication depuis le rang 22 ne suffit pas pour atteindre le rang 44.

3. On étudie les suites un=n2−nu_n=n^2-n et vn=35nv_n=\frac{3}{5^n} pour n∈Nn\in\mathbb{N}. Cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

La différence vn+1−vn=−125n+1v_{n+1}-v_n=-\frac{12}{5^{n+1}} est négative, donc vnv_n décroît strictement.
Une suite décroissante vérifie un<un+1u_n<u_{n+1} pour tout entier naturel nn.
La différence un+1−un=2nu_{n+1}-u_n=2n est positive ou nulle, donc unu_n est croissante.
Une suite croissante vérifie un≤un+1u_n\leq u_{n+1} pour tout entier naturel nn.
Pour la suite un=n2−nu_n=n^2-n, la différence entre deux termes consécutifs vaut 2n+12n+1.

La différence $$v_{n+1}-v_n=-\frac{12}{5^{n+1}}$$ est négative, donc $$v_n$$ décroît strictement. · La différence $$u_{n+1}-u_n=2n$$ est positive ou nulle, donc $$u_n$$ est croissante. · Une suite croissante vérifie $$u_n\leq u_{n+1}$$ pour tout entier naturel $$n$$.

Explication

Pour un=n2−nu_n=n^2-n, la différence vaut 2n≥02n\geq0, ce qui établit sa croissance ; une suite croissante satisfait bien un≤un+1u_n\leq u_{n+1}. Pour vnv_n, la différence donnée est négative, donc la suite est strictement décroissante ; l’inégalité un<un+1u_n<u_{n+1} caractérise la croissance stricte, et non la décroissance, tandis que la différence de la suite unu_n est 2n2n.

4. Que signifie l’hérédité dans un raisonnement par récurrence ?

Conclure que la proposition est vraie pour tous les rangs après avoir vérifié quelques cas.
Établir que la proposition est fausse pour au moins un rang naturel.
Vérifier que la proposition est vraie au rang initial choisi.
Montrer que si la proposition est vraie à un rang donné, elle l’est aussi au rang suivant.

Montrer que si la proposition est vraie à un rang donné, elle l’est aussi au rang suivant.

Explication

L’hérédité consiste à transmettre la validité de la proposition d’un rang au rang suivant. La vérification au rang initial relève de l’initialisation, et ne suffit pas à établir cette transmission.

5. Quelle condition formelle caractérise la convergence d’une suite vers un réel ℓ\ell ?

Les termes sont dans un intervalle fermé contenant ℓ\ell dès le premier rang.
La différence entre deux termes consécutifs tend vers ℓ\ell.
Pour tout ε>0\varepsilon>0, les termes sont à distance inférieure à ε\varepsilon de ℓ\ell à partir d’un certain rang.
Pour tout réel AA, les termes dépassent AA à partir d’un certain rang.

Pour tout $$\varepsilon>0$$, les termes sont à distance inférieure à $$\varepsilon$$ de $$\ell$$ à partir d’un certain rang.

Explication

La convergence vers ℓ\ell signifie que, pour chaque précision ε>0\varepsilon>0, tous les termes à partir d’un certain rang vérifient ∣un−ℓ∣<ε|u_n-\ell|<\varepsilon. La condition de dépassement de tout réel AA caractérise plutôt une limite égale à +∞+\infty.

6. Quel est le rôle du théorème de convergence monotone pour une suite croissante et majorée ?

Il permet de déterminer la limite finie sans connaître les termes de la suite.
Il garantit que la suite tend vers plus l’infini.
Il garantit que la suite converge vers une limite finie.
Il établit que la suite est décroissante à partir d’un certain rang.

Il garantit que la suite converge vers une limite finie.

Explication

La croissance associée à une majoration entraîne l’existence d’une limite finie. Une suite croissante mais non majorée tend vers plus l’infini, ce qui distingue la convergence monotone du cas où aucune borne supérieure n’est connue.

7. Si une suite est la somme de deux suites qui tendent respectivement vers +∞+\infty et −∞-\infty, comment caractérise-t-on l’opération sur leurs limites ?

Elle donne une forme indéterminée qu’il faut lever en transformant l’expression.
Elle converge vers une limite finie égale à la différence des deux limites.
Elle tend vers +∞+\infty parce que l’une des deux suites diverge vers cette limite.
Elle tend vers −∞-\infty parce que l’addition conserve la limite négative.

Elle donne une forme indéterminée qu’il faut lever en transformant l’expression.

Explication

Les limites +∞+\infty et −∞-\infty dans une somme constituent une forme indéterminée, et l’expression doit être transformée avant de conclure. Contrairement à une somme d’une limite finie et de −∞-\infty, le signe de cette somme ne peut pas être déterminé directement.

8. Si la dérivée d’une fonction dérivable est négative sur un intervalle, quel effet cela a-t-il sur les variations de la fonction ?

La fonction est strictement croissante sur cet intervalle.
La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.
La fonction admet un extremum local en chaque point de cet intervalle.
La fonction est constante sur cet intervalle.

La fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.

Explication

Une dérivée négative sur un intervalle entraîne une décroissance stricte de la fonction sur cet intervalle. Une dérivée nulle partout caractériserait plutôt une fonction constante.

9. Pour dériver f(x)=3x2+1f(x)=\sqrt{3x^2+1}, quelle expression obtient-on en appliquant la règle de dérivation d’une fonction composée ?

3x23x2+1\frac{3x}{2\sqrt{3x^2+1}}
123x2+1\frac{1}{2\sqrt{3x^2+1}}
3x3x2+1\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}}
6x3x2+16x\sqrt{3x^2+1}

$$\frac{3x}{2\sqrt{3x^2+1}}$$

Explication

La dérivée de la racine composée est la dérivée de l’expression intérieure, 6x6x, divisée par deux fois sa racine. L’expression 3x3x2+1\frac{3x}{\sqrt{3x^2+1}} omet le facteur 22 au dénominateur.

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Mémorisez les réponses avec 10 flashcards sur Suites et récurrence.

Comment caractérise-t-on une suite arithmétique de raison rr ?

On ajoute le même réel rr à chaque terme.

Quelle formule donne unu_n à partir de u0u_0 et de la raison rr ?

un=u0+nru_n=u_0+nr.

Quelle est la somme des entiers de 0 à nn ?

n(n+1)2\frac{n(n+1)}{2}

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