Fiche de révision : Équations et inéquations du second degré

📋 Plan du Cours

1. Formes et propriétés des polynômes quadratiques
2. Résolution et relations entre racines
3. Signe des polynômes du second degré
4. Conséquences de l’indépendance probabiliste
5. Indépendance de deux événements
6. Partition et probabilités totales

📖 1. Formes et propriétés des polynômes quadratiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$, où $a,b,c\in\mathbb{R}$ et $a\ne0$.
• Discriminant : Réel $\Delta=b^2-4ac$ associé au polynôme du second degré $f(x)=ax^2+bx+c$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La forme canonique d’un polynôme du second degré est $f(x)=a\left(\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{\Delta}{4a^2}\right)$.

Compléments

• La représentation graphique de $f(x)=ax^2+bx+c$ est une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$.

• Le sommet de la parabole associée à $f(x)=ax^2+bx+c$ est $S\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta}{4a}\right)$, et son axe de symétrie a pour équation $x=-\frac{b}{2a}$.

• Si $a>0$, la fonction décroît jusqu’à $x=-\frac{b}{2a}$, où elle atteint $-\frac{\Delta}{4a}$, puis croît.

📖 2. Résolution et relations entre racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Réel $x$ tel que $f(x)=0$.

★ À maîtriser

• Le nombre de solutions réelles de $f(x)=0$ dépend du signe de $\Delta$ : aucune si $\Delta<0$, une solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ si $\Delta=0$, et deux solutions distinctes $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$ et $x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$ si $\Delta>0$.

📐 Formule - Si $\Delta>0$ et si $x_1,x_2$ sont les racines, la forme factorisée est $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$.

Compléments

📐 Formule - Pour deux racines réelles $x_1,x_2$ d’un polynôme $ax^2+bx+c$, leur somme vaut $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$.

📐 Formule - Pour deux racines réelles $x_1,x_2$ d’un polynôme $ax^2+bx+c$, leur produit vaut $x_1x_2=\frac{c}{a}$.

• L’équation $x^2-5x+4=0$ a pour discriminant 9 et pour solutions 1 et 4.

• Pour $f(x)=x^2+2x-3$, si 1 est une racine connue, l’autre racine est −3, car le produit des racines vaut $-3$.

📖 3. Signe des polynômes du second degré

★ À maîtriser

📌 Si $\Delta>0$, le trinôme est du signe de $a$ à l’extérieur des deux racines et du signe de $-a$ entre elles; il s’annule aux racines.

📌 Si $\Delta<0$, le trinôme est partout du signe de $a$ et ne s’annule pas sur ℝ.

Compléments

📌 Si $\Delta=0$, alors $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2$ et le trinôme est du signe de $a$, avec une annulation en $x=-\frac{b}{2a}$.

• L’inéquation $-2x^2+3x-1\ge0$ a pour ensemble de solutions $\left[\frac12;1\right]$.

💡 Astuce mémo

À l’extérieur des racines, le signe suit a ; à l’intérieur, il suit −a.

📖 4. Conséquences de l’indépendance probabiliste

★ À maîtriser

📌 Si les événements $A$ et $B$ sont indépendants, leurs complémentaires $\bar A$ et $\bar B$ sont également indépendants.

Compléments

• Pour des événements indépendants $A$ et $B$, la relation $p(A\cap B)=p(A)p(B)$ permet d’écrire $p(A\cap B)=p(B)p_B(A)=p(B)(1-p_B(\bar A))=p(B)(1-p(\bar A))=p(B)p(A)$.

📖 5. Indépendance de deux événements

🔑 Notions clés & Définitions

• Événements indépendants : Deux événements A et B d’un même univers sont indépendants lorsque $p(A\cap B)=p(A)p(B)$.

★ À maîtriser

📌 Pour des événements A et B de probabilités non nulles, l’indépendance équivaut à $p_A(B)=p(B)$ et $p_B(A)=p(A)$.

Compléments

📌 Si A et B sont indépendants, alors leurs événements contraires $\bar A$ et $\bar B$ sont également indépendants.

📖 6. Partition et probabilités totales

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition de l’univers : Les événements $B_1,\ldots,B_n$ forment une partition de $\Omega$ s’ils sont non vides, si leur union est $\Omega$ et s’ils sont deux à deux disjoints.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une partition $B_1,\ldots,B_n$ de probabilités non nulles, la formule des probabilités totales est $p(A)=\sum_{i=1}^{n}p(B_i)p_{B_i}(A)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un événement B de probabilité non nulle, $p(A)=p(A\cap B)+p(A\cap\bar B)$.