QCM : Équations et inéquations du second degré (10 questions)

Question 1

1. Pour le polynôme $f(x)=2x^2-3x+1$ , quelle valeur obtient-on pour son discriminant ?

-7

5

17

1

Explication

Le discriminant vaut $b^2-4ac$ : ici, $(-3)^2-4\times2\times1=9-8=1$ . La valeur $9$ omet $-4ac$ , $5$ utilise $b$ à la place de $b^2$ , et $17$ additionne au lieu de soustraire $4ac$ .

Answer

$$2((x+2)^2-\frac{5}{2})$$

Answer

$$x_0=\frac{3}{2}$$

Answer

$$3(x+1)(x-4)$$

Answer

Il garde partout le signe de son coefficient dominant et ne s’annule pas sur ℝ.

Answer

$$\bar A$$ et $$\bar B$$ sont indépendants.

Answer

À vérifier si les événements $$A$$ et $$B$$ sont indépendants

Answer

Elle additionne les probabilités de plusieurs branches d’une partition, pondérées par des probabilités conditionnelles.

Answer

Elle décroît jusqu’à l’abscisse de son sommet, puis croît.

Answer

$$3(x-2)(x-5)$$

Question 2

2. Pour $f(x)=2x^2+8x+3$ , quelle expression est sa forme canonique ?

2((x+2)^2-\frac{5}{2})

2((x-2)^2-\frac{5}{2})

(x+2)^2-\frac{5}{2}

2((x+2)^2+3)

Explication

Avec $a=2$ et $b=8$ , le carré est centré en $x=-\frac{b}{2a}=-2$ , et la forme canonique vaut $2((x+2)^2-\frac{5}{2})$ . L’expression sans facteur oublie $a$ , celle avec $x-2$ inverse le décalage, et celle avec $+3$ reprend directement le terme constant.

Question 3

3. Une équation du second degré a un discriminant $\Delta=0$ et des coefficients $a=2$ et $b=-6$ . Quelle solution réelle possède-t-elle ?

x_0=\frac{3}{2}

x_0=3

Aucune solution réelle

Deux solutions réelles distinctes

Explication

Lorsque $\Delta=0$ , l’équation possède une solution $x_0=-\frac{b}{2a}$ ; ici, $x_0=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$ . La valeur $3$ omet le facteur $2$ du dénominateur, tandis que deux solutions distinctes ou aucune solution correspondent respectivement à $\Delta>0$ et $\Delta<0$ .

Question 4

4. Un polynôme du second degré de coefficient dominant $a=3$ a pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa forme factorisée ?

3(x+1-4)

(x+1)(x-4)

3(x-1)(x+4)

3(x+1)(x-4)

Explication

Avec des racines $x_1=-1$ et $x_2=4$ , la forme factorisée est $a(x-x_1)(x-x_2)=3(x+1)(x-4)$ . L’expression sans $3$ omet le coefficient dominant, les signes inversés ne donnent pas ces racines, et une somme de facteurs ne constitue pas la forme factorisée.

Question 5

5. Que signifie le fait qu’un trinôme du second degré ait un discriminant négatif ?

Il est du signe opposé à son coefficient dominant sur tout ℝ et ne s’annule pas.

Il garde partout le signe de son coefficient dominant et ne s’annule pas sur ℝ.

Il garde le signe du coefficient dominant à l’extérieur de deux racines réelles et le signe opposé entre elles.

Il change de signe à une racine double et garde le signe du coefficient dominant ailleurs.

Explication

Avec un discriminant négatif, le trinôme ne possède aucune racine réelle et son signe est partout celui de son coefficient dominant. Le changement de signe autour d’une racine double correspond au contraire au cas où le discriminant est nul.

Question 6

6. Si $A$ et $B$ sont indépendants, quelle propriété s’applique à leurs événements complémentaires ?

\bar A

et

\bar B

ont la même probabilité.

\bar A

et

\bar B

sont équiprobables à

A

et

B

.

\bar A

et

B

sont incompatibles.

\bar A

et

\bar B

sont indépendants.

Explication

L’indépendance de $A$ et $B$ entraîne celle de leurs complémentaires $\bar A$ et $\bar B$ . En revanche, elle n’implique ni que les complémentaires soient incompatibles ni qu’ils aient la même probabilité.

Question 7

7. À quoi sert le critère $p(A\cap B)=p(A)p(B)$ pour deux événements ?

À calculer la probabilité de leur réunion

À vérifier si les événements

A

et

B

sont indépendants

À déterminer la probabilité conditionnelle de

A

sachant

B

À établir si

A

et

B

sont incompatibles

Explication

Ce critère permet de reconnaître l’indépendance en comparant la probabilité de l’intersection au produit des probabilités des deux événements. L’incompatibilité concerne une intersection de probabilité nulle, ce qui n’est pas le rôle général de cette égalité.

Question 8

8. En quoi la formule des probabilités totales diffère-t-elle de la décomposition en deux événements complémentaires ?

Elle multiplie les probabilités de deux événements indépendants pour obtenir leur intersection.

Elle calcule la probabilité d’un événement en soustrayant celle de son contraire à 1.

Elle additionne les probabilités de plusieurs branches d’une partition, pondérées par des probabilités conditionnelles.

Elle compare une probabilité conditionnelle à la probabilité marginale d’un événement.

Explication

La formule des probabilités totales exprime la probabilité de A comme une somme pondérée sur les événements d’une partition. La décomposition en deux événements complémentaires utilise plutôt les deux intersections avec B et son contraire, sans exiger d’écrire une somme sur une partition générale.

Question 9

9. Lorsque le coefficient dominant d’un polynôme du second degré est positif, quelle conséquence cela a-t-il sur les variations de sa fonction ?

Elle croît sur tout son domaine de définition.

Elle décroît sur tout son domaine de définition.

Elle croît jusqu’à l’abscisse de son sommet, puis décroît.

Elle décroît jusqu’à l’abscisse de son sommet, puis croît.

Explication

Un coefficient dominant positif entraîne une diminution de la fonction jusqu’à l’abscisse du sommet, puis une augmentation. Une fonction qui croît d’abord puis décroît correspondrait à un coefficient dominant négatif.

Question 10

10. Un polynôme du second degré a pour racines $2$ et $5$ , et son coefficient dominant vaut $3$ . Comment peut-on le réécrire sous forme factorisée ?

3(x+2)(x+5)

3(x+2)(x-5)

3(x-2)(x+5)

3(x-2)(x-5)

Explication

Chaque racine doit annuler l’un des facteurs, d’où les facteurs $x-2$ et $x-5$ , multipliés par le coefficient dominant $3$ . Des facteurs avec un signe plus correspondraient à des racines négatives.

QCM : Équations et inéquations du second degré (10 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour le polynôme $f(x)=2x^2-3x+1$ , quelle valeur obtient-on pour son discriminant ?

2. Pour $f(x)=2x^2+8x+3$ , quelle expression est sa forme canonique ?

3. Une équation du second degré a un discriminant $\Delta=0$ et des coefficients $a=2$ et $b=-6$ . Quelle solution réelle possède-t-elle ?

4. Un polynôme du second degré de coefficient dominant $a=3$ a pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa forme factorisée ?

5. Que signifie le fait qu’un trinôme du second degré ait un discriminant négatif ?

6. Si $A$ et $B$ sont indépendants, quelle propriété s’applique à leurs événements complémentaires ?

7. À quoi sert le critère $p(A\cap B)=p(A)p(B)$ pour deux événements ?

8. En quoi la formule des probabilités totales diffère-t-elle de la décomposition en deux événements complémentaires ?

9. Lorsque le coefficient dominant d’un polynôme du second degré est positif, quelle conséquence cela a-t-il sur les variations de sa fonction ?

10. Un polynôme du second degré a pour racines $2$ et $5$ , et son coefficient dominant vaut $3$ . Comment peut-on le réécrire sous forme factorisée ?

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Questions et réponses du QCM

1. Pour le polynôme f(x)=2x2−3x+1f(x)=2x^2-3x+1f(x)=2x2−3x+1, quelle valeur obtient-on pour son discriminant ?

2. Pour f(x)=2x2+8x+3f(x)=2x^2+8x+3f(x)=2x2+8x+3, quelle expression est sa forme canonique ?

3. Une équation du second degré a un discriminant Δ=0\Delta=0Δ=0 et des coefficients a=2a=2a=2 et b=−6b=-6b=−6. Quelle solution réelle possède-t-elle ?

4. Un polynôme du second degré de coefficient dominant a=3a=3a=3 a pour racines distinctes −1-1−1 et 444. Quelle est sa forme factorisée ?

5. Que signifie le fait qu’un trinôme du second degré ait un discriminant négatif ?

6. Si AAA et BBB sont indépendants, quelle propriété s’applique à leurs événements complémentaires ?

7. À quoi sert le critère p(A∩B)=p(A)p(B)p(A\cap B)=p(A)p(B)p(A∩B)=p(A)p(B) pour deux événements ?

8. En quoi la formule des probabilités totales diffère-t-elle de la décomposition en deux événements complémentaires ?

9. Lorsque le coefficient dominant d’un polynôme du second degré est positif, quelle conséquence cela a-t-il sur les variations de sa fonction ?

10. Un polynôme du second degré a pour racines 222 et 555, et son coefficient dominant vaut 333. Comment peut-on le réécrire sous forme factorisée ?

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2. Pour $f(x)=2x^2+8x+3$ , quelle expression est sa forme canonique ?

3. Une équation du second degré a un discriminant $\Delta=0$ et des coefficients $a=2$ et $b=-6$ . Quelle solution réelle possède-t-elle ?

4. Un polynôme du second degré de coefficient dominant $a=3$ a pour racines distinctes $-1$ et $4$ . Quelle est sa forme factorisée ?

6. Si $A$ et $B$ sont indépendants, quelle propriété s’applique à leurs événements complémentaires ?

7. À quoi sert le critère $p(A\cap B)=p(A)p(B)$ pour deux événements ?

10. Un polynôme du second degré a pour racines $2$ et $5$ , et son coefficient dominant vaut $3$ . Comment peut-on le réécrire sous forme factorisée ?