Fiche de révision : Trigonométrie dans le cercle

📋 Plan du Cours

1. Angles et cercle trigonométrique
2. Cosinus et sinus sur le cercle
3. Équations et inéquations trigonométriques
4. Identités et formules trigonométriques
5. Équations trigonométriques du second degré

📖 1. Angles et cercle trigonométrique

★ À maîtriser

• Sur un tour complet, 360° correspondent à 2π radians, donc 180° correspondent à π radians.

📐 Formule - La conversion des degrés en radians s’effectue par la relation $\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180}$.

📌 Deux angles qui diffèrent d’un multiple entier de 2π ont le même point image sur le cercle trigonométrique.

Compléments

• Les angles 0, π/2, π, 3π/2 et 2π correspondent respectivement à 0°, 90°, 180°, 270° et 360°.

💡 Astuce mémo

Un tour vaut 2π radians, tandis qu’un angle négatif se parcourt dans le sens opposé.

📖 2. Cosinus et sinus sur le cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de centre O(0 ; 0) et de rayon 1, orienté selon le sens trigonométrique.
• Cosinus : Abscisse du point image de cet angle sur le cercle trigonométrique.
• Sinus : Ordonnée du point image de cet angle sur le cercle trigonométrique.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout angle α, $\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$.

Compléments

• Pour tout angle α, le sinus et le cosinus appartiennent à l’intervalle [−1 ; 1].

• Le cosinus est périodique de période 2π radians.

📐 Formule - Pour tout angle x, $\cos(-x)=\cos(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.

💡 Astuce mémo

Sur le cercle unité, le cosinus est l’abscisse et le sinus l’ordonnée du point image.

📖 3. Équations et inéquations trigonométriques

★ À maîtriser

• Pour résoudre une équation trigonométrique, on repère sur le cercle les angles dont le sinus ou le cosinus vaut la valeur recherchée, puis on ajoute les périodes compatibles avec l’angle.

• Pour résoudre une inéquation telle que cos(x + π/3) ≥ √2/2, on détermine d’abord les angles vérifiant l’inégalité pour l’argument x + π/3, puis on soustrait π/3 et on conserve les solutions de l’intervalle demandé.

Compléments

• Sur l’intervalle [0 ; 2π], l’équation $\sin(x)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ a pour solutions $x=\frac{5\pi}{4}$ et $x=\frac{7\pi}{4}$.

• Sur l’intervalle ]−π ; π], l’inéquation $\sin\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)\leq-\frac{\sqrt{2}}{2}$ a pour ensemble solution $\left[-\frac{7\pi}{24};-\frac{\pi}{24}\right]\cup\left[\frac{17\pi}{24};\frac{23\pi}{24}\right]$.

• Les solutions de $\sin(2x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$ sont de la forme $x=\frac{\pi}{8}+k\pi$ ou $x=\frac{3\pi}{8}+k\pi$, avec k entier.

💡 Astuce mémo

Transformer l’angle, repérer les arcs sur le cercle, puis revenir à x.

📖 4. Identités et formules trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Les formules d’addition sont $\cos(a+b)=\cos(a)\cos(b)-\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a+b)=\sin(a)\cos(b)+\cos(a)\sin(b)$.

📐 Formule - Les formules de soustraction sont $\cos(a-b)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)$ et $\sin(a-b)=\sin(a)\cos(b)-\cos(a)\sin(b)$.

📐 Formule - Les formules de duplication sont $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)$ et $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout x, $1+\cos(2x)=2\cos^2(x)$ et $1-\cos(2x)=2\sin^2(x)$.

📐 Formule - Pour tout x, $\cos(\pi+x)=-\cos(x)$ et $\sin(\pi+x)=-\sin(x)$.

📖 5. Équations trigonométriques du second degré

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour le trinôme $ax^2+bx+c=0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ et, si $\Delta\geq0$, les racines sont $x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$.

• Pour résoudre une équation du second degré en cos(x) ou sin(x), on pose X égal à cos(x) ou sin(x), résout l’équation quadratique, rejette les valeurs de X hors de [−1 ; 1], puis résout l’équation trigonométrique correspondante.

📌 Une racine algébrique X d’une équation quadratique ne fournit une solution trigonométrique que si X appartient à [−1 ; 1], domaine possible du sinus et du cosinus.

Compléments

• Dans l’équation $\cos^2(x)=2\cos(x)+1$, la substitution X = cos(x) donne les racines $X=1-\sqrt{2}$ et $X=1+\sqrt{2}$, mais seule la première appartient à [−1 ; 1].

📐 Formule - La relation $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ permet de transformer une équation mêlant sinus et cosinus en une équation ne portant que sur le sinus.

💡 Astuce mémo

Poser X = cos(x) ou X = sin(x), résoudre le trinôme, puis vérifier que X appartient à [−1 ; 1].