QCM : Trigonométrie dans le cercle (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une mesure de 150∘150^\circ est convertie en radians. Quelles propositions sont exactes ?

La mesure obtenue est 5π6\frac{5\pi}{6} radians, après multiplication par π180\frac{\pi}{180}.
Un angle de 180∘180^\circ correspond à π\pi radians sur un tour complet.
La conversion de 150∘150^\circ donne 3π4\frac{3\pi}{4} radians avec la relation de conversion.
La conversion en radians s’effectue en multipliant les degrés par 180π\frac{180}{\pi}.
Sur un tour complet, 360∘360^\circ correspondent à π\pi radians.

La mesure obtenue est $$\frac{5\pi}{6}$$ radians, après multiplication par $$\frac{\pi}{180}$$. · Un angle de $$180^\circ$$ correspond à $$\pi$$ radians sur un tour complet.

Explication

La conversion donne 150×π180=5π6150\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}, et un demi-tour vaut 180∘=π180^\circ=\pi radians. 3π4\frac{3\pi}{4} correspond à 135∘135^\circ ; un tour complet vaut 2π2\pi radians, et le facteur de conversion proposé est inversé.

2. Concernant les correspondances entre angles remarquables en degrés et en radians, cochez la (les) proposition(s) exacte(s) :

L’angle π\pi radians correspond à 90∘90^\circ.
L’angle 2π2\pi radians correspond à 270∘270^\circ.
L’angle π2\frac{\pi}{2} radians correspond à 90∘90^\circ.
L’angle 00 radians correspond à 360∘360^\circ.
L’angle 3π2\frac{3\pi}{2} radians correspond à 180∘180^\circ.

L’angle $$\frac{\pi}{2}$$ radians correspond à $$90^\circ$$.

Explication

Les correspondances sont 0↔0∘0\leftrightarrow0^\circ, π2↔90∘\frac{\pi}{2}\leftrightarrow90^\circ, π↔180∘\pi\leftrightarrow180^\circ, 3π2↔270∘\frac{3\pi}{2}\leftrightarrow270^\circ et 2π↔360∘2\pi\leftrightarrow360^\circ. Les autres propositions associent ces mesures à un angle décalé.

3. Sur le cercle trigonométrique, on compare les angles π6\frac{\pi}{6}, 13π6\frac{13\pi}{6} et −11π6-\frac{11\pi}{6}. Quelles propositions sont exactes ?

La différence entre 13π6\frac{13\pi}{6} et π6\frac{\pi}{6} est un multiple entier de 2π2\pi.
Les angles −11π6-\frac{11\pi}{6} et π3\frac{\pi}{3} ont le même point image.
Les angles π6\frac{\pi}{6} et 13π6\frac{13\pi}{6} ont le même point image.
Les angles π6\frac{\pi}{6} et −11π6-\frac{11\pi}{6} ont le même point image.
Les angles π6\frac{\pi}{6} et 7π6\frac{7\pi}{6} ont le même point image.

La différence entre $$\frac{13\pi}{6}$$ et $$\frac{\pi}{6}$$ est un multiple entier de $$2\pi$$. · Les angles $$\frac{\pi}{6}$$ et $$\frac{13\pi}{6}$$ ont le même point image. · Les angles $$\frac{\pi}{6}$$ et $$-\frac{11\pi}{6}$$ ont le même point image.

Explication

Deux angles ont le même point image lorsque leur différence est un multiple entier de 2π2\pi. Ici, 13π6−π6=2π\frac{13\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=2\pi et π6−(−11π6)=2π\frac{\pi}{6}-(-\frac{11\pi}{6})=2\pi ; les deux dernières paires ne diffèrent pas d’un multiple entier de 2π2\pi.

4. À propos du cercle trigonométrique et du cosinus, quelles propositions sont exactes ?

Le cosinus d’un angle correspond à l’ordonnée du point image sur le cercle.
Le cercle trigonométrique est centré en O(0;0)O(0;0) et possède un rayon égal à 11.
Le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point image sur le cercle.
Le cercle trigonométrique est centré en O(0;0)O(0;0) et possède un rayon égal à 22.
Le cercle trigonométrique est orienté selon le sens inverse du sens trigonométrique.

Le cercle trigonométrique est centré en $$O(0;0)$$ et possède un rayon égal à $$1$$. · Le cosinus d’un angle correspond à l’abscisse du point image sur le cercle.

Explication

Le cercle trigonométrique est de centre O(0;0)O(0;0), de rayon 11 et orienté dans le sens trigonométrique ; le cosinus est l’abscisse du point image. Les propositions erronées modifient respectivement le rayon, la coordonnée associée au cosinus et le sens d’orientation.

5. Un angle α\alpha vérifie cos⁡(α)=35\cos(\alpha)=\frac{3}{5} et sin⁡(α)=45\sin(\alpha)=\frac{4}{5}. Quelles propositions sont exactes ?

Le sinus de α\alpha est l’ordonnée du point image de cet angle sur le cercle.
La somme des carrés vaut 925+1625=1\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1.
Le point image de α\alpha a pour coordonnées (35;45)\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right).
Le carré du sinus vaut 1625\frac{16}{25} pour les valeurs indiquées.
La relation cos⁡2(α)+sin⁡2(α)=1\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1 est vérifiée pour cet angle.

Le sinus de $$\alpha$$ est l’ordonnée du point image de cet angle sur le cercle. · La somme des carrés vaut $$\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$. · Le point image de $$\alpha$$ a pour coordonnées $$\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right)$$. · Le carré du sinus vaut $$\frac{16}{25}$$ pour les valeurs indiquées. · La relation $$\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1$$ est vérifiée pour cet angle.

Explication

Sur le cercle, le sinus est l’ordonnée et le cosinus l’abscisse : le point image a donc pour coordonnées (35;45)\left(\frac{3}{5};\frac{4}{5}\right). Les carrés valent 925\frac{9}{25} et 1625\frac{16}{25}, dont la somme est 11, conformément à l’identité trigonométrique.

6. Pour un angle α\alpha, on considère α+2π\alpha+2\pi et α−2π\alpha-2\pi. Quelles propositions sont exactes ?

La période du cosinus est 2π2\pi radians.
Le sinus de α\alpha et son cosinus appartiennent chacun à [−1;1][-1;1].
Le cosinus peut prendre une valeur négative, comme −12-\frac{1}{2}.
Le cosinus de α+2π\alpha+2\pi est égal au cosinus de α\alpha.
Le cosinus de α−2π\alpha-2\pi est égal au cosinus de α\alpha.

La période du cosinus est $$2\pi$$ radians. · Le sinus de $$\alpha$$ et son cosinus appartiennent chacun à $$[-1;1]$$. · Le cosinus peut prendre une valeur négative, comme $$-\frac{1}{2}$$. · Le cosinus de $$\alpha+2\pi$$ est égal au cosinus de $$\alpha$$. · Le cosinus de $$\alpha-2\pi$$ est égal au cosinus de $$\alpha$$.

Explication

La périodicité de période 2π2\pi implique que le cosinus ne change pas lorsqu’on ajoute ou retranche 2π2\pi. Le sinus et le cosinus restent dans [−1;1][-1;1], et le cosinus peut être négatif, notamment pour des angles dont le point image est dans la moitié gauche du cercle.

7. Pour un angle de mesure xx, quelles relations entre ses fonctions trigonométriques et celles de −x-x sont exactes ?

Le sinus de l’angle opposé à xx est égal à celui de xx.
Le cosinus de l’angle opposé à xx est égal à celui de xx.
Le sinus de l’angle opposé à xx est l’opposé de celui de xx.
Le cosinus est une fonction paire, tandis que le sinus est une fonction impaire.
Le cosinus de l’angle opposé à xx est l’opposé de celui de xx.

Le cosinus de l’angle opposé à $$x$$ est égal à celui de $$x$$. · Le sinus de l’angle opposé à $$x$$ est l’opposé de celui de $$x$$. · Le cosinus est une fonction paire, tandis que le sinus est une fonction impaire.

Explication

Le cosinus vérifie cos⁡(−x)=cos⁡(x)\cos(-x)=\cos(x) : il est pair. Le sinus vérifie sin⁡(−x)=−sin⁡(x)\sin(-x)=-\sin(x) : il est impair, ce qui invalide les deux relations inversées.

8. Pour traiter l’inéquation cos⁡(x+π/3)≥2/2\cos(x+\pi/3)\geq\sqrt{2}/2 sur un intervalle donné, quelles démarches ou propriétés sont exactes ?

Pour une équation trigonométrique, on repère les angles sur le cercle, puis on ajoute les périodes compatibles.
Après avoir trouvé l’intervalle de l’argument, on ajoute π/3\pi/3 pour obtenir les valeurs de xx.
On cherche d’abord les valeurs admissibles de l’argument x+π/3x+\pi/3, puis on isole xx.
Après le changement d’argument, on conserve les solutions appartenant à l’intervalle demandé.
Sur [0;2π][0;2\pi], l’équation sin⁡(x)=−2/2\sin(x)=-\sqrt{2}/2 admet les solutions 5π/45\pi/4 et 7π/47\pi/4.

Pour une équation trigonométrique, on repère les angles sur le cercle, puis on ajoute les périodes compatibles. · On cherche d’abord les valeurs admissibles de l’argument $$x+\pi/3$$, puis on isole $$x$$. · Après le changement d’argument, on conserve les solutions appartenant à l’intervalle demandé. · Sur $$[0;2\pi]$$, l’équation $$\sin(x)=-\sqrt{2}/2$$ admet les solutions $$5\pi/4$$ et $$7\pi/4$$.

Explication

L’inéquation se résout d’abord pour l’argument décalé, puis on soustrait π/3\pi/3 et on retient les valeurs dans l’intervalle demandé. Pour une équation, les angles du cercle sont complétés par les périodes compatibles ; l’équation de sinus indiquée a bien pour solutions 5π/45\pi/4 et 7π/47\pi/4.

9. Pour un angle xx, quelles égalités sont des formules de duplication ou des identités reliant cos⁡(2x)\cos(2x) aux carrés des fonctions trigonométriques ?

On a 1+cos⁡(2x)=2sin⁡2(x)1+\cos(2x)=2\sin^2(x).
Le cosinus du double angle est 2sin⁡(x)cos⁡(x)2\sin(x)\cos(x).
On a 1+cos⁡(2x)=2cos⁡2(x)1+\cos(2x)=2\cos^2(x).
Le cosinus du double angle est cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos^2(x)-\sin^2(x).
Le sinus du double angle est 2sin⁡(x)cos⁡(x)2\sin(x)\cos(x).

On a $$1+\cos(2x)=2\cos^2(x)$$. · Le cosinus du double angle est $$\cos^2(x)-\sin^2(x)$$. · Le sinus du double angle est $$2\sin(x)\cos(x)$$.

Explication

Les formules de duplication donnent cos⁡(2x)=cos⁡2(x)−sin⁡2(x)\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x) et sin⁡(2x)=2sin⁡(x)cos⁡(x)\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x). L’identité avec le signe plus relie 1+cos⁡(2x)1+\cos(2x) à 2cos⁡2(x)2\cos^2(x) ; le carré du sinus correspond au signe moins.

10. Pour un angle xx, quelles relations décrivent les fonctions trigonométriques de l’angle π+x\pi+x ?

Le cosinus de π+x\pi+x est l’opposé du cosinus de xx.
Le cosinus de π+x\pi+x est égal au cosinus de xx.
Le cosinus de π+x\pi+x est l’opposé du sinus de xx.
Le sinus de π+x\pi+x est égal au sinus de xx.
Le sinus de π+x\pi+x est l’opposé du cosinus de xx.

Le cosinus de $$\pi+x$$ est l’opposé du cosinus de $$x$$.

Explication

Les identités sont cos⁡(π+x)=−cos⁡(x)\cos(\pi+x)=-\cos(x) et sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(\pi+x)=-\sin(x). Les autres propositions changent le signe du sinus ou confondent les fonctions sinus et cosinus.

11. On résout 2X2−3X−2=02X^2-3X-2=0 pour traiter une équation en cos⁡(x)\cos(x). Concernant le calcul algébrique :

La formule des racines utilise le dénominateur 44.
Les racines algébriques sont −2-2 et 12\frac{1}{2}.
Le discriminant du trinôme vaut 2525.
Le discriminant du trinôme vaut 11.
Les racines algébriques sont 22 et −12-\frac{1}{2}.

La formule des racines utilise le dénominateur $$4$$. · Le discriminant du trinôme vaut $$25$$. · Les racines algébriques sont $$2$$ et $$-\frac{1}{2}$$.

Explication

Le discriminant vaut (−3)2−4×2×(−2)=25(-3)^2-4\times2\times(-2)=25, et la formule donne X=2X=2 ou X=−12X=-\frac{1}{2}. Le dénominateur est 2a=42a=4; le discriminant et les racines proposés dans les autres cas résultent d’erreurs de calcul.

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À combien de radians correspond un tour complet ?

2π2\pi radians.

À combien de degrés correspondent π\pi radians ?

180°.

Quelle relation convertit un angle en degrés en radians ?

θrad=θdegπ180\theta_{\mathrm{rad}}=\theta_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180}

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