Fiche de révision : Trigonométrie dans le triangle rectangle

📋 Plan du Cours

1. Types de triangles et angles
2. Repérage des côtés du triangle rectangle
3. Rapports trigonométriques
4. Relations entre fonctions trigonométriques
5. Théorème de Pythagore
6. Résolution du triangle rectangle
7. Fonctions trigonométriques inverses

📖 1. Types de triangles et angles

★ À maîtriser

• Dans tout triangle, la somme des angles est égale à 180°.

Compléments

📐 Formule - Dans un triangle équilatéral, les trois angles égaux vérifient $\alpha+\alpha+\alpha=180^\circ$.

📐 Formule - Dans un triangle isocèle dont les angles égaux valent α, on a $\alpha+\alpha+\beta=180^\circ$.

📐 Formule - Dans un triangle scalène, les angles vérifient $\alpha+\beta+\theta=180^\circ$.

📖 2. Repérage des côtés du triangle rectangle

🔑 Notions clés & Définitions

• Hypoténuse : L’hypoténuse est le côté opposé à l’angle droit et c’est le côté le plus long d’un triangle rectangle.
• Côté opposé : Le côté opposé à un angle donné est le côté non hypoténuse situé en face de cet angle.
• Côté adjacent : Le côté adjacent à un angle donné est le côté non hypoténuse situé à côté de cet angle.

💡 Astuce mémo

L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; opposé et adjacent se repèrent par rapport à l’angle choisi.

📖 3. Rapports trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\sin(\alpha)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{a}{c}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\cos(\alpha)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{b}{c}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\tan(\alpha)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\frac{a}{b}$.

Compléments

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\sin(\beta)=\frac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}=\frac{b}{c}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\cos(\beta)=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}=\frac{a}{c}$.

📐 Formule - Dans un triangle rectangle, $\tan(\beta)=\frac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}=\frac{b}{a}$.

💡 Astuce mémo

SOH–CAH–TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse, Cosinus = Adjacent/Hypoténuse, Tangente = Opposé/Adjacent.

📖 4. Relations entre fonctions trigonométriques

★ À maîtriser

📐 Formule - Les angles α et β d’un triangle rectangle sont complémentaires : $\alpha+\beta+90^\circ=180^\circ$, donc $\alpha=90^\circ-\beta$ et $\beta=90^\circ-\alpha$.

📐 Formule - Les fonctions sinus et cosinus sont cofonctions pour deux angles complémentaires : $\sin(\alpha)=\cos(90^\circ-\alpha)$ et $\cos(\alpha)=\sin(90^\circ-\alpha)$.

Compléments

📐 Formule - Pour les deux angles α et β d’un triangle rectangle, $\sin(\alpha)=\cos(\beta)$ et $\cos(\alpha)=\sin(\beta)$.

📐 Formule - La tangente d’un angle est le quotient de son sinus par son cosinus : $\tan(\alpha)=\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$ et $\tan(\beta)=\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}$.

💡 Astuce mémo

Sinus et cosinus échangent leurs rôles pour deux angles complémentaires.

📖 5. Théorème de Pythagore

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un triangle rectangle de côtés a, b et d’hypoténuse c, le théorème de Pythagore donne $c^2=a^2+b^2$.

Compléments

📐 Formule - L’hypoténuse se calcule par $c=\sqrt{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Un côté de l’angle droit se calcule par $a=\sqrt{c^2-b^2}$ ou $b=\sqrt{c^2-a^2}$.

• Pour un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent 3 et 4, l’hypoténuse vaut $\sqrt{3^2+4^2}=5$.

📖 6. Résolution du triangle rectangle

★ À maîtriser

📐 Formule - Connaissant l’hypoténuse c et l’angle α, on obtient $a=c\sin(\alpha)$ et $b=c\cos(\alpha)$.

Compléments

📐 Formule - Connaissant l’hypoténuse c et l’angle β, on obtient $b=c\sin(\beta)$ et $a=c\cos(\beta)$.

• La résolution d’un triangle rectangle peut consister à trouver un côté connaissant l’hypoténuse et l’autre côté.

• La résolution d’un triangle rectangle peut consister à trouver les deux côtés de l’angle droit connaissant l’hypoténuse et un angle aigu.

📖 7. Fonctions trigonométriques inverses

★ À maîtriser

📐 Formule - Connaissant les trois côtés, l’angle α se calcule par $\alpha=\sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\right)$, $\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)$ ou $\alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$.

📌 Les notations $\sin^{-1}(x)$ et $\arcsin(x)$ désignent la fonction réciproque du sinus, tandis que $\frac{1}{\sin(x)}$ est l’inverse multiplicatif de $\sin(x)$.

Compléments

📐 Formule - Connaissant les trois côtés, l’angle β se calcule par $\beta=\sin^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)$, $\beta=\cos^{-1}\left(\frac{a}{c}\right)$ ou $\beta=\tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)$.

📌 De même, $\cos^{-1}(x)=\arccos(x)$ désigne la fonction réciproque du cosinus, tandis que $\frac{1}{\cos(x)}$ est son inverse multiplicatif.

📌 De même, $\tan^{-1}(x)=\arctan(x)$ désigne la fonction réciproque de la tangente, tandis que $\frac{1}{\tan(x)}$ est son inverse multiplicatif.

💡 Astuce mémo

Une fonction inverse retrouve l’angle ; le réciproque multiplicatif donne l’inverse du rapport.