Fiche de révision : Cinématique et dynamique en référentiels mobiles

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées cylindriques et sphériques
2. Vitesse et accélération circulaires
3. Composition des mouvements relatifs
4. Dynamique en référentiel non galiléen
5. Référentiels et effets terrestres
6. Théorèmes de l’énergie cinétique
7. Énergies potentielles et équilibre
8. Énergie mécanique en référentiel mobile

📖 1. Coordonnées cylindriques et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques d’un point M sont r = HM, θ ∈ [0, 2π] et z = OH, où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz.
• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques d’un point M sont r = OM, θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π].

★ À maîtriser

📐 Formule - En base cylindrique, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$ et le déplacement élémentaire a pour composantes $(dr,\,r\,d\theta,\,dz).$

Compléments

📐 Formule - En base sphérique, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$ et le déplacement élémentaire a pour composantes $(dr,\,r\,d\theta,\,r\sin\theta\,d\varphi).$

💡 Astuce mémo

Cylindrique : deux coordonnées angulaires absentes du déplacement axial ; sphérique : l’angle azimutal est pondéré par sin θ.

📖 2. Vitesse et accélération circulaires

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, la vitesse de M est $\vec v=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z.$

• En coordonnées cylindriques, l’accélération de M est $(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z.$

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon R dans le plan Oxy, $\overrightarrow{OM}=R\vec e_r,\quad \vec v=R\dot\theta\vec e_\theta,\quad \vec a=-R\dot\theta^2\vec e_r+R\ddot\theta\vec e_\theta.$

Compléments

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire constante ω, $\vec v=R\omega\vec e_\theta=\vec\omega\wedge\overrightarrow{OM}$ et $\vec a=-R\omega^2\vec e_r=-\frac{v^2}{R}\vec e_r=-\omega^2\overrightarrow{OM}.$

💡 Astuce mémo

La variation de θ produit une vitesse tangentielle ; la variation de θ̇ ajoute une accélération tangentielle.

📖 3. Composition des mouvements relatifs

★ À maîtriser

📌 Dans une translation de R′ par rapport à R, les axes de R′ gardent une direction fixe et tous les points du solide fictif associé ont la même vitesse d’entraînement.

📐 Formule - Pour une translation de R′, la composition des vitesses et des accélérations s’écrit $\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec v_{O'/R},\qquad \vec a_{M/R}=\vec a_{M/R'}+\vec a_{O'/R}.$

📐 Formule - Pour une rotation uniforme de R′ autour de l’axe fixe Δ, $\vec v_{M/R}=\vec v_{M/R'}+\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM},$ où H est le projeté orthogonal de M sur Δ.

📐 Formule - Pour une rotation uniforme de R′ autour de Δ, $\vec a_{M/R}=\vec a_{M/R'}-\omega^2\overrightarrow{HM}+2\vec\omega_{R'/R}\wedge\vec v_{M/R'}.$

Compléments

• Dans une translation rectiligne uniforme de R′ par rapport à R, la vitesse d’entraînement est constante et l’accélération d’entraînement est nulle.

• En translation rectiligne, les points du solide fictif associé à R′ décrivent des trajectoires rectilignes, tandis qu’en translation circulaire ils décrivent des trajectoires circulaires.

💡 Astuce mémo

Translation : entraînement commun à tous les points ; rotation : entraînement dépendant de la position.

📖 4. Dynamique en référentiel non galiléen

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans un référentiel R′ en translation par rapport à un référentiel galiléen R, le PFD s’écrit $m\vec a_{M/R'}=\sum\vec F_{\rm gal}+\vec F_{\rm ie},\qquad \vec F_{\rm ie}=-m\vec a_{O'/R}.$

📐 Formule - Dans R′ en rotation uniforme autour de Δ, $\vec F_{\rm ie}=m\omega^2\overrightarrow{HM}$ et $\vec F_{\rm ic}=-2m\vec\omega_{R'/R}\wedge\vec v_{M/R'}.$

Compléments

📐 Formule - Dans R′ en rotation uniforme, le moment cinétique par rapport à O′ fixe dans R′ vérifie $\left(\frac{d\vec L_{O'}}{dt}\right)_{R'}=\sum\vec{\mathcal M}_{O'}(\vec F_{\rm gal})+\vec{\mathcal M}_{O'}(\vec F_{\rm ie})+\vec{\mathcal M}_{O'}(\vec F_{\rm ic}),$ avec $\vec L_{O'}=\overrightarrow{O'M}\wedge m\vec v_{M/R'}.$

💡 Astuce mémo

Translation : force d’inertie d’entraînement seule ; rotation : forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis.

📖 5. Référentiels et effets terrestres

🔑 Notions clés & Définitions

• Poids : Le poids d’un objet est la force qui s’oppose à la tension d’un ressort auquel l’objet est accroché lorsque l’ensemble est à l’équilibre ; sa direction, appelée verticale du lieu, est indiquée par un fil à plomb.

★ À maîtriser

• Le référentiel de Copernic a pour origine le centre de gravité du système solaire et des axes dirigés vers des étoiles suffisamment lointaines pour être considérées fixes ; il sert de référentiel galiléen de référence.

• Le référentiel géocentrique est centré sur le centre de la Terre, possède des axes de direction fixe par rapport à Copernic et est a priori non galiléen en raison de la translation elliptique de la Terre.

• Le référentiel terrestre, centré au centre de la Terre avec des axes liés à celle-ci, est a priori non galiléen car il tourne par rapport au référentiel géocentrique ; il peut être considéré pseudo-galiléen si l’expérience dure peu devant 24 h.

📐 Formule - Dans un référentiel terrestre, le poids vaut $\vec P(M)=m\vec G_T(M)+m\omega_T^2\overrightarrow{HM}=m\vec g(M).$

📌 Le référentiel terrestre constitue une excellente approximation galiléenne si l’expérience dure peu devant 24 h, si l’on prend en compte le poids et si l’on néglige la force d’inertie de Coriolis.

Compléments

• Le référentiel héliocentrique a pour origine le centre de gravité du Soleil, des axes dirigés vers des étoiles fixes parallèles à ceux de Copernic et peut être considéré comme galiléen.

• Le référentiel géocentrique peut être considéré pseudo-galiléen si l’expérience dure peu devant un an et si l’influence des autres astres est négligée.

• Le référentiel terrestre local a pour origine un point O repéré par sa latitude λ et sa longitude φ ; si Oz est ascendant et Ox dirigé vers l’Est, Oy est dirigé vers le Nord.

📐 Formule - À l’extérieur de la Terre, $\vec G_T(M)=-\mathcal G M_T\frac{\overrightarrow{TM}}{TM^3}=-\mathcal G M_T\frac{\vec e_r}{r^2},$ et $\vec g(M)=\vec G_T(M)+\omega_T^2\overrightarrow{HM}.$

• La force de Coriolis terrestre peut être négligée sur des durées et distances courtes ; elle intervient notamment dans la déviation vers l’Est d’un corps en chute libre, le tir d’un obus et le pendule de Foucault.

• Le phénomène des marées océaniques est associé à la translation du référentiel géocentrique par rapport au référentiel de Copernic.

💡 Astuce mémo

Copernic → héliocentrique → géocentrique → terrestre → terrestre local.

📖 6. Théorèmes de l’énergie cinétique

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un point matériel, le théorème de l’énergie cinétique s’écrit $\Delta E_c=W_{i\to f}(\text{toutes les forces}),$ avec $E_c=\frac12mv^2.$

📐 Formule - Pour un solide en rotation autour d’un axe fixe Δ, $E_c=\frac12J_\Delta\omega^2$ et la puissance d’un couple de moment Γ est $\mathcal P=\vec\Gamma\cdot\vec\omega.$

Compléments

📐 Formule - Pour un point matériel, le théorème de la puissance cinétique s’écrit $\frac{dE_c}{dt}=\mathcal P(\text{toutes les forces}),$ où la puissance d’une force est $\mathcal P(\vec F)=\vec F\cdot\vec v.$

• Pour un point matériel, le travail d’une force entre i et f est $W_{i\to f}(\vec F)=\int_i^f\vec F\cdot d\vec l.$

📌 Pour un système de solides articulés, les théorèmes de l’énergie et de la puissance cinétiques prennent en compte les actions extérieures et intérieures.

📖 7. Énergies potentielles et équilibre

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour un axe Oz vertical ascendant, l’énergie potentielle de pesanteur est $E_{p,\mathrm{pes}}=mgz+\mathrm{cte}.$

📐 Formule - Pour une masse ponctuelle m₀ placée en P, l’énergie potentielle gravitationnelle d’une masse m est $E_{p,\mathrm{grav}}=-\frac{\mathcal Gmm_0}{PM},$ avec origine à l’infini.

📐 Formule - Pour un ressort d’allongement algébrique $a_{ll}=l_{\mathrm{TOT}}-l_0$ et de raideur k, $E_{p,\mathrm{élast}}=\frac12ka_{ll}^2+\mathrm{cte}.$

📌 Les états d’équilibre se recherchent en annulant la force conservative, soit en annulant la dérivée de l’énergie potentielle par rapport à la variable de position dont elle dépend.

📌 Un équilibre est stable si la dérivée seconde de l’énergie potentielle par rapport à la position est positive, soit $\frac{d^2E_p(X)}{dX^2}>0.$

Compléments

📐 Formule - Pour une charge ponctuelle q₀ placée en P, l’énergie potentielle électrostatique d’une charge q est $E_{p,\mathrm{élec}}=\frac{qq_0}{4\pi\varepsilon_0PM},$ avec origine à l’infini.

📐 Formule - Dans un référentiel en rotation uniforme, l’énergie potentielle axifuge est $E_{p,\mathrm{axi}}=-\frac12m\omega_{R'/R}^2r^2+\mathrm{cte},$ où r est la distance à l’axe de rotation.

📖 8. Énergie mécanique en référentiel mobile

★ À maîtriser

📐 Formule - L’énergie mécanique d’un système est $E_m=E_c+E_p.$

📐 Formule - La variation d’énergie mécanique d’un système est égale au travail des forces non conservatives, $\Delta E_m=W_{i\to f}(\text{forces non conservatives}),$ et sa dérivée temporelle est égale à leur puissance.

📌 L’énergie mécanique se conserve lorsque les forces non conservatives sont absentes ou ne travaillent pas.

• La force d’inertie de Coriolis ne travaille jamais, car sa puissance est nulle, et elle n’intervient donc pas dans les théorèmes de l’énergie.

Compléments

📌 Dans un référentiel non galiléen en translation, le travail de la force d’inertie d’entraînement s’ajoute aux travaux des forces non conservatives dans le théorème de l’énergie mécanique.

📌 Dans un référentiel non galiléen en rotation uniforme, l’énergie potentielle axifuge s’ajoute à l’énergie potentielle totale dans le théorème de l’énergie mécanique.

💡 Astuce mémo

Coriolis ne travaille pas ; l’entraînement peut modifier le bilan énergétique.

📊 Tableaux de synthèse

Référentiels terrestres