Fiche de révision : Cinématique dans un référentiel mobile

📋 Plan du Cours

1. Coordonnées cylindriques et sphériques
2. Vitesse et accélération cylindriques
3. Mouvement circulaire du point
4. Référentiels en translation
5. Référentiels en rotation uniforme

📖 1. Coordonnées cylindriques et sphériques

★ À maîtriser

• En coordonnées cylindriques, les paramètres sont le rayon à l’axe $r=HM$, l’angle $\theta\in[0{,}2\pi]$ et la hauteur $z=OH$, où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz.

• En coordonnées sphériques, les paramètres sont $r=OM$, $\theta\in[0,\pi]$ et $\varphi\in[0{,}2\pi]$.

Compléments

• En coordonnées cylindriques, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z$ et le déplacement élémentaire a pour composantes $\mathrm d\vec l=(\mathrm dr,r\,\mathrm d\theta,\mathrm dz)$ dans la base cylindrique.

• En coordonnées sphériques, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$ et le déplacement élémentaire a pour composantes $\mathrm d\vec l=(\mathrm dr,r\,\mathrm d\theta,r\sin\theta\,\mathrm d\varphi)$ dans la base sphérique.

💡 Astuce mémo

Cylindrique : distance à l’axe et hauteur ; sphérique : distance au centre.

📖 2. Vitesse et accélération cylindriques

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, la vitesse de M est $\vec v(M)=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, l’accélération de M est $\vec a(M)=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z$.

Compléments

• Dans la base cylindrique, $\frac{\mathrm d\vec e_r}{\mathrm dt}=\dot\theta\vec e_\theta$ et $\frac{\mathrm d\vec e_\theta}{\mathrm dt}=-\dot\theta\vec e_r$.

📖 3. Mouvement circulaire du point

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire de rayon R dans le plan Oxy, $\overrightarrow{OM}=R\vec e_r$, $\vec v(M)=R\dot\theta\vec e_\theta$ et $\vec a(M)=-R\dot\theta^2\vec e_r+R\ddot\theta\vec e_\theta$.

📐 Formule - Pour un mouvement circulaire uniforme de vitesse angulaire constante $\vec\omega=\omega\vec e_z$, la vitesse est $\vec v(M)=R\omega\vec e_\theta=\vec\omega\wedge\overrightarrow{OM}$.

📐 Formule - En mouvement circulaire uniforme, l’accélération est centripète et vérifie $\vec a(M)=-R\omega^2\vec e_r=-\frac{v^2}{R}\vec e_r=-\omega^2\overrightarrow{OM}$.

💡 Astuce mémo

Vitesse angulaire constante → accélération centripète.

📖 4. Référentiels en translation

★ À maîtriser

• Dans une translation de R′ par rapport à R, les axes de R′ gardent une direction fixe par rapport à ceux de R et tous les points du solide associé à R′ ont la même vitesse à un instant donné.

📐 Formule - Pour une translation de R′ par rapport à R, la vitesse absolue vérifie $\vec v(M/R)=\vec v(M/R')+\vec v(O'/R)$.

📐 Formule - Pour une translation de R′ par rapport à R, l’accélération absolue vérifie $\vec a(M/R)=\vec a(M/R')+\vec a(O'/R)$.

Compléments

• En translation rectiligne uniforme de R′ par rapport à R, la vitesse d’entraînement est constante et l’accélération d’entraînement est nulle.

• En translation rectiligne, les points du solide associé à R′ décrivent des trajectoires rectilignes, tandis qu’en translation circulaire ils décrivent des trajectoires circulaires.

📖 5. Référentiels en rotation uniforme

📝 Points essentiels

• Lors d’une rotation uniforme de R′ autour d’un axe fixe Δ, les axes de R′ tournent et chaque point du solide associé décrit un cercle autour de Δ avec le même vecteur vitesse angulaire, constant dans le temps.

📐 Formule - En rotation uniforme de R′ autour de Δ, la vitesse angulaire d’entraînement est constante et la vitesse absolue vérifie $\vec v(M/R)=\vec v(M/R')+\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM}$, où H est le projeté orthogonal de M sur Δ.

📐 Formule - En rotation uniforme de R′ autour de Δ, l’accélération absolue vérifie $\vec a(M/R)=\vec a(M/R')-\omega_{R'/R}^{2}\overrightarrow{HM}+2\vec\omega_{R'/R}\wedge\vec v(M/R')$.

📊 Tableaux de synthèse

Translation et rotation des référentiels