Cinématique dans un référentiel mobile

Extrait de la fiche de révision

Plan du Cours

  1. Coordonnées cylindriques et sphériques
  2. Vitesse et accélération cylindriques
  3. Mouvement circulaire du point
  4. Référentiels en translation
  5. Référentiels en rotation uniforme

1. Coordonnées cylindriques et sphériques

★ À maîtriser

  • En coordonnées cylindriques, les paramètres sont le rayon à l’axe r=HMr=HM, l’angle θ∈[0,2π]\theta\in[0{,}2\pi] et la hauteur z=OHz=OH, où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz.

  • En coordonnées sphériques, les paramètres sont r=OMr=OM, θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] et φ∈[0,2π]\varphi\in[0{,}2\pi].

Compléments

  • En coordonnées cylindriques, OM→=re⃗r+ze⃗z\overrightarrow{OM}=r\vec e_r+z\vec e_z et le déplacement élémentaire a pour composantes dl⃗=(dr,r dθ,dz)\mathrm d\vec l=(\mathrm dr,r\,\mathrm d\theta,\mathrm dz) dans la base cylindrique.

  • En coordonnées sphériques, OM→=re⃗r\overrightarrow{OM}=r\vec e_r et le déplacement élémentaire a pour composantes dl⃗=(dr,r dθ,rsin⁡θ dφ)\mathrm d\vec l=(\mathrm dr,r\,\mathrm d\theta,r\sin\theta\,\mathrm d\varphi) dans la base sphérique.

Astuce mémo

Cylindrique : distance à l’axe et hauteur ; sphérique : distance au centre.

2. Vitesse et accélération cylindriques

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Aperçu du QCM

1. Un point M est repéré en coordonnées cylindriques, et H est son projeté orthogonal sur l’axe Oz. Que représentent les paramètres r et z ?

2. Pour décrire la position d’un point en coordonnées sphériques, quelles sont les plages des angles θ et φ ?

3. Un point suit une trajectoire cylindrique avec r = 2 m, ż = 0, et, à l’instant considéré, ṙ = 3 m·s⁻¹ et θ̇ = 4 s⁻¹. Quelles sont les composantes de sa vitesse dans la base cylindrique ?

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Aperçu des flashcards

Quelles sont les trois coordonnées cylindriques du point M ?

r=HMr=HM, θ∈[0,2π]\theta\in[0,2\pi] et z=OHz=OH, où H est le projeté orthogonal de M sur l’axe Oz.

Quelles sont les trois coordonnées sphériques du point M ?

r=OMr=OM, θ∈[0,π]\theta\in[0,\pi] et φ∈[0,2π]\varphi\in[0,2\pi].

Quelle est l’expression de la vitesse de M en coordonnées cylindriques ?

v⃗(M)=r˙e⃗r+rθ˙e⃗θ+z˙e⃗z\vec v(M)=\dot r\vec e_r+r\dot\theta\vec e_\theta+\dot z\vec e_z

Quelle est l’expression de l’accélération de M en coordonnées cylindriques ?

a⃗(M)=(r¨−rθ˙2)e⃗r+(rθ¨+2r˙θ˙)e⃗θ+z¨e⃗z\vec a(M)=(\ddot r-r\dot\theta^2)\vec e_r+(r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta)\vec e_\theta+\ddot z\vec e_z

Quelles sont les expressions de la position, de la vitesse et de l’accélération en mouvement circulaire dans le plan Oxy ?

OM→=Re⃗r\overrightarrow{OM}=R\vec e_r, v⃗(M)=Rθ˙e⃗θ\vec v(M)=R\dot\theta\vec e_\theta et a⃗(M)=−Rθ˙2e⃗r+Rθ¨e⃗θ\vec a(M)=-R\dot\theta^2\vec e_r+R\ddot\theta\vec e_\theta.

Comment s’exprime la vitesse en mouvement circulaire uniforme avec ω⃗=ωe⃗z\vec\omega=\omega\vec e_z ?

v⃗(M)=Rωe⃗θ=ω⃗∧OM→\vec v(M)=R\omega\vec e_\theta=\vec\omega\wedge\overrightarrow{OM}.

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Questions fréquentes

Que contient la fiche de révision sur Cinématique dans un référentiel mobile ?

La fiche de révision couvre les notions essentielles de Cinématique dans un référentiel mobile. Elle est structurée par thématiques pour faciliter l'apprentissage et la mémorisation, avec des définitions clés, des explications et des synthèses.

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Combien de questions contient le QCM sur Cinématique dans un référentiel mobile ?

Le QCM contient 9 questions à choix multiples avec corrections détaillées et explications pour chaque réponse. Idéal pour tester tes connaissances et identifier tes lacunes.

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Comment réviser Cinématique dans un référentiel mobile avec les flashcards ?

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