QCM : Cinématique dans un référentiel mobile (9 questions)

Question 1

1. Un point M est repéré en coordonnées cylindriques, et H est son projeté orthogonal sur l’axe Oz. Que représentent les paramètres r et z ?

r = HM et z = OH

r = HM et z = OM

r = OM et z = OH

r = OH et z = HM

Explication

En coordonnées cylindriques, r est la distance de M à l’axe, soit HM, tandis que z est la hauteur OH. Prendre OM pour r confond le rayon cylindrique avec la distance à l’origine; intervertir HM et OH confond rayon et hauteur; employer OM pour z confond hauteur et distance à l’origine.

Answer

r = HM et z = OH

Question 2

2. Pour décrire la position d’un point en coordonnées sphériques, quelles sont les plages des angles θ et φ ?

θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π]

θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, π]

θ ∈ [0, 2π] et φ ∈ [0, 2π]

θ ∈ [0, 2π] et φ ∈ [0, π]

Explication

En coordonnées sphériques, l’angle θ varie de 0 à π et l’angle φ de 0 à 2π. Donner à θ la plage azimutale inverse les rôles des angles, tandis que donner à φ la plage polaire ou la plage cylindrique aux deux angles modifie leurs domaines respectifs.

Answer

θ ∈ [0, π] et φ ∈ [0, 2π]

Question 3

3. Un point suit une trajectoire cylindrique avec r = 2 m, ż = 0, et, à l’instant considéré, ṙ = 3 m·s⁻¹ et θ̇ = 4 s⁻¹. Quelles sont les composantes de sa vitesse dans la base cylindrique ?

3 m·s⁻¹ selon eᵣ, 8 m·s⁻¹ selon eθ, 0 selon e𝓏

3 m·s⁻¹ selon eᵣ, 4 m·s⁻¹ selon eθ, 0 selon e𝓏

3 m·s⁻¹ selon eᵣ, 8 m·s⁻¹ selon eθ, 2 m·s⁻¹ selon e𝓏

4 m·s⁻¹ selon eᵣ, 8 m·s⁻¹ selon eθ, 0 selon e𝓏

Explication

La vitesse cylindrique vaut ṙeᵣ + rθ̇eθ + że𝓏 : ici, la composante angulaire est 2 × 4 = 8 m·s⁻¹, avec les autres composantes égales à 3 et 0. La valeur 4 omet le facteur r, l’échange des composantes radiale et angulaire confond ṙ avec rθ̇, et la valeur verticale 2 confond la position z avec sa dérivée.

Answer

3 m·s⁻¹ selon eᵣ, 8 m·s⁻¹ selon eθ, 0 selon e𝓏

Question 4

4. À un instant, un point a r = 2 m, ṙ = 1 m·s⁻¹, θ̇ = 3 s⁻¹, θ̈ = 2 s⁻², r̈ = 0 et z̈ = 0. Quelle est la composante de son accélération selon eθ ?

−18 m·s⁻²

8 m·s⁻²

4 m·s⁻²

10 m·s⁻²

Explication

La composante selon eθ est rθ̈ + 2ṙθ̇; en remplaçant les valeurs, on obtient 2 × 2 + 2 × 1 × 3 = 10 m·s⁻². La valeur 4 omet le terme croisé, 8 omet le facteur r, et −18 correspond ici à la composante radiale centripète plutôt qu’à la composante tangentielle.

Answer

10 m·s⁻²

Question 5

5. Dans un mouvement circulaire uniforme, que signifie le caractère centripète de l’accélération du point ?

Elle est tangente au cercle et orientée dans le sens du mouvement du point.

Elle est nulle puisque la vitesse angulaire reste constante.

Elle est dirigée vers le centre du cercle, à l’opposé du vecteur radial sortant.

Elle est dirigée vers l’extérieur du cercle, dans le sens du vecteur radial sortant.

Explication

Une accélération centripète pointe vers le centre du cercle, ce qui correspond à $\vec a(M)=-R\omega^2\vec e_r$ . Une vitesse angulaire constante maintient la norme de la vitesse, mais ne rend pas l’accélération nulle puisque sa direction change.

Answer

Elle est dirigée vers le centre du cercle, à l’opposé du vecteur radial sortant.

Question 6

6. Lors d’une translation de référentiel, quelle relation relie l’accélération absolue de M à son accélération relative et à celle de l’origine O′ ?

L’accélération absolue est la somme de l’accélération relative et d’un terme de Coriolis.

L’accélération absolue est la différence entre l’accélération relative et celle de O′.

L’accélération absolue est la somme de l’accélération relative et de celle de O′.

L’accélération absolue est égale à l’accélération de O′, indépendamment du mouvement relatif de M.

Explication

En translation, l’accélération absolue s’obtient en additionnant l’accélération de M dans R′ et celle de l’origine O′ dans R. Le terme de Coriolis intervient dans la relation d’accélération en rotation, pas dans celle d’une translation.

Answer

L’accélération absolue est la somme de l’accélération relative et de celle de O′.

Question 7

7. Dans la relation de vitesse en rotation uniforme, quel rôle joue le terme $\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM}$ ?

Il représente la vitesse relative de M mesurée dans le référentiel en rotation.

Il décrit la vitesse de translation de l’origine O′ par rapport au référentiel R.

Il corrige l’accélération relative de M par un terme lié à la rotation du référentiel.

Il représente la vitesse d’entraînement de M due à la rotation du référentiel autour de l’axe Δ.

Explication

Le produit vectoriel de la vitesse angulaire par $\overrightarrow{HM}$ donne la contribution de la rotation du référentiel à la vitesse de M. La vitesse relative est plutôt mesurée dans R′ et apparaît séparément dans la relation.

Answer

Il représente la vitesse d’entraînement de M due à la rotation du référentiel autour de l’axe Δ.

Question 8

8. Quelle différence distingue principalement les coordonnées cylindriques des coordonnées sphériques pour mesurer la distance associée à un point M ?

En cylindriques, r mesure la distance au centre O ; en sphériques, r mesure la distance à l’axe Oz.

Dans les deux systèmes, r mesure la distance à l’axe Oz, mais les angles ont des plages différentes.

En cylindriques, r mesure la distance à l’axe Oz ; en sphériques, r mesure la distance au centre O.

Dans les deux systèmes, r mesure la distance au centre O, mais seule la coordonnée cylindrique inclut une hauteur.

Explication

Le rayon cylindrique est la distance de M à l’axe Oz, tandis que le rayon sphérique est la distance OM au centre. La hauteur z appartient au repérage cylindrique, mais elle ne remplace pas la définition du rayon sphérique.

Answer

En cylindriques, r mesure la distance à l’axe Oz ; en sphériques, r mesure la distance au centre O.

Question 9

9. Si le rayon cylindrique reste constant tandis que la vitesse angulaire augmente, quelle conséquence apparaît dans la composante azimutale de l’accélération ?

Elle devient négative dans le sens de er, sous l’effet de la vitesse angulaire.

Elle devient égale à l’accélération verticale, sous l’effet du mouvement angulaire.

Elle devient positive dans le sens de eθ, sous l’effet de l’accélération angulaire.

Elle reste nulle, car le rayon cylindrique ne varie pas.

Explication

La composante azimutale vaut $r\ddot\theta+2\dot r\dot\theta$ ; avec un rayon constant, le terme lié à la variation de la vitesse angulaire est $r\ddot\theta$ . La composante selon $\vec e_r$ dépend notamment de $-r\dot\theta^2$ et ne décrit donc pas cet effet azimutal.

Answer

Elle devient positive dans le sens de eθ, sous l’effet de l’accélération angulaire.

QCM : Cinématique dans un référentiel mobile (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point M est repéré en coordonnées cylindriques, et H est son projeté orthogonal sur l’axe Oz. Que représentent les paramètres r et z ?

2. Pour décrire la position d’un point en coordonnées sphériques, quelles sont les plages des angles θ et φ ?

3. Un point suit une trajectoire cylindrique avec r = 2 m, ż = 0, et, à l’instant considéré, ṙ = 3 m·s⁻¹ et θ̇ = 4 s⁻¹. Quelles sont les composantes de sa vitesse dans la base cylindrique ?

4. À un instant, un point a r = 2 m, ṙ = 1 m·s⁻¹, θ̇ = 3 s⁻¹, θ̈ = 2 s⁻², r̈ = 0 et z̈ = 0. Quelle est la composante de son accélération selon eθ ?

5. Dans un mouvement circulaire uniforme, que signifie le caractère centripète de l’accélération du point ?

6. Lors d’une translation de référentiel, quelle relation relie l’accélération absolue de M à son accélération relative et à celle de l’origine O′ ?

7. Dans la relation de vitesse en rotation uniforme, quel rôle joue le terme $\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM}$ ?

8. Quelle différence distingue principalement les coordonnées cylindriques des coordonnées sphériques pour mesurer la distance associée à un point M ?

9. Si le rayon cylindrique reste constant tandis que la vitesse angulaire augmente, quelle conséquence apparaît dans la composante azimutale de l’accélération ?

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QCM : Cinématique dans un référentiel mobile (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un point M est repéré en coordonnées cylindriques, et H est son projeté orthogonal sur l’axe Oz. Que représentent les paramètres r et z ?

2. Pour décrire la position d’un point en coordonnées sphériques, quelles sont les plages des angles θ et φ ?

3. Un point suit une trajectoire cylindrique avec r = 2 m, ż = 0, et, à l’instant considéré, ṙ = 3 m·s⁻¹ et θ̇ = 4 s⁻¹. Quelles sont les composantes de sa vitesse dans la base cylindrique ?

4. À un instant, un point a r = 2 m, ṙ = 1 m·s⁻¹, θ̇ = 3 s⁻¹, θ̈ = 2 s⁻², r̈ = 0 et z̈ = 0. Quelle est la composante de son accélération selon eθ ?

5. Dans un mouvement circulaire uniforme, que signifie le caractère centripète de l’accélération du point ?

6. Lors d’une translation de référentiel, quelle relation relie l’accélération absolue de M à son accélération relative et à celle de l’origine O′ ?

7. Dans la relation de vitesse en rotation uniforme, quel rôle joue le terme ω⃗R′/R∧HM→\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM}ωR′/R​∧HM ?

8. Quelle différence distingue principalement les coordonnées cylindriques des coordonnées sphériques pour mesurer la distance associée à un point M ?

9. Si le rayon cylindrique reste constant tandis que la vitesse angulaire augmente, quelle conséquence apparaît dans la composante azimutale de l’accélération ?

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