QCM : Cinématique et dynamique en référentiels mobiles (26 questions)

Explication

En coordonnées cylindriques, r est la distance entre M et sa projection H sur l’axe Oz. La distance OM est le rayon sphérique, OH est la coordonnée z, et l’angle avec Oz n’est pas une longueur.

Explication

En coordonnées cylindriques, une variation angulaire dθ correspond à un déplacement tangent de longueur r dθ, tandis que les composantes radiale et verticale sont dr et dz. Omettre r confond variation angulaire et longueur, supprimer dz néglige l’axe vertical, et le facteur sinθ relève de l’expression sphérique.

Explication

En coordonnées sphériques, le rayon r est la distance de M à l’origine O. HM est la distance à l’axe Oz utilisée comme rayon cylindrique, tandis qu'OH et la distance au plan Oxy décrivent des longueurs différentes.

Explication

La vitesse cylindrique vaut ṙ eᵣ + rθ̇ eθ + ż e_z : ici, rθ̇ = 2 × 4 = 8 m/s. La composante angulaire n’est pas θ̇ seul, et la composante radiale dépend de ṙ, pas de r ni de r̈.

Explication

La composante radiale est r̈ − rθ̇² ; en remplaçant les valeurs, on obtient 1 − 3 × 2² = −11 m/s². Omettre le terme centripète donne r̈ seul, tandis que l’ajouter inverse le signe requis; la composante tangentielle est une autre composante.

Explication

Pour un mouvement circulaire, l’accélération comprend une composante radiale centripète −Rθ̇²eᵣ et une composante tangentielle Rθ̈eθ. L’expression sans terme tangentielle néglige les variations de vitesse angulaire, et les autres formes modifient le signe ou associent les termes aux mauvaises directions.

Explication

En translation, les axes de $R'$ conservent une direction fixe et tous les points du solide fictif associé partagent la même vitesse d’entraînement. La rotation des axes confond translation et rotation, les vitesses différentes contredisent le mouvement d’ensemble, et des trajectoires rectilignes ne sont pas requises.

Explication

Pour une translation, l’accélération observée dans $R$ est la somme de l’accélération relative et de celle de l’origine $O'$. L’absence du terme d’entraînement l’omet, le signe moins inverse la composition, et le terme en vitesse angulaire appartient au cas de la rotation.

Explication

La vitesse d’entraînement en rotation vaut $\vec\omega_{R'/R}\wedge\overrightarrow{HM}$, où $H$ est le projeté de $M$ sur l’axe. Employer $O'M$ remplace le bras de levier axial par un autre vecteur, le signe moins inverse la contribution, et le produit scalaire ne donne pas le vecteur vitesse.

Explication

L’accélération d’entraînement est $-\omega^2\overrightarrow{HM}$, donc centripète, tandis que le terme de Coriolis dépend de la vitesse relative et s’annule ici. L’attribution de la centripète à Coriolis confond les deux termes, une contribution de Coriolis sans vitesse relative ignore cette dépendance, et le sens centrifuge est inversé.

Explication

En translation, la force d’inertie d’entraînement est l’opposé de la masse multipliée par l’accélération de l’origine : $\vec F_{ie}=-m\vec a_{O'/R}$. Le signe positif inverse cette relation, la somme des forces galiléennes n’est pas cette force fictive, et le terme dépendant de $H$ et $M$ correspond à la rotation.

Explication

En rotation uniforme, la force d’inertie d’entraînement est centrifuge, $m\omega^2\overrightarrow{HM}$, et la force de Coriolis vaut $-2m\vec\omega_{R'/R}\wedge\vec v_{M/R'}$. L’échange des expressions confond les deux forces, le signe positif inverse Coriolis et l’expression sans facteur $2$ oublie ce coefficient.

Explication

Le référentiel de Copernic est centré sur le centre de gravité du système solaire et constitue le référentiel galiléen de référence. Le référentiel héliocentrique est centré sur le Soleil, le géocentrique sur la Terre, et le référentiel terrestre a des axes liés à celle-ci.

Explication

Le référentiel géocentrique a pour origine le centre de la Terre et des axes de direction fixe par rapport à Copernic ; il est a priori non galiléen en raison de la translation elliptique de la Terre. Le référentiel terrestre se distingue par ses axes liés à la Terre, tandis que les référentiels héliocentrique et de Copernic ont une autre origine.

Explication

Le référentiel terrestre tourne par rapport au référentiel géocentrique, mais il peut être considéré pseudo-galiléen si l’expérience dure peu devant 24 heures. Le caractère galiléen n’est donc pas intrinsèque, et la condition liée à une durée faible devant un an concerne la translation du référentiel géocentrique.

Explication

Cette approximation est justifiée si la durée est faible devant 24 heures, si le poids est pris en compte et si la force d’inertie de Coriolis est négligée. Négliger le poids ou conserver Coriolis comme condition requise inverse les hypothèses nécessaires.

Explication

Le théorème donne le travail total égal à la variation d’énergie cinétique : $\Delta E_c=\frac12(2)(5^2-3^2)=16\,\text{J}$. La valeur $8\,\text{J}$ oublie le facteur lié au carré des vitesses, $32\,\text{J}$ omet le facteur un demi et $-16\,\text{J}$ inverse les états.

Explication

Pour une rotation autour d’un axe fixe, $E_c=\frac12J_\Delta\omega^2$, donc $E_c=\frac12\times0{,}4\times5^2=5\,\text{J}$. $10\,\text{J}$ omet le facteur un demi, $2\,\text{J}$ ne met pas la vitesse au carré et $12{,}5\,\text{J}$ n’utilise pas le moment d’inertie donné.

Explication

Sur un axe vertical ascendant, $E_{p,\mathrm{pes}}=mgz$, donc $2\times10\times3=60\,\mathrm{J}$. La valeur négative inverse le signe, 30 J oublie la masse et 6 J omet le facteur g.

Explication

Avec l’origine à l’infini, l’énergie potentielle gravitationnelle vaut $-\frac{\mathcal G mM}{r}$. Le signe positif confond cette énergie avec la dépendance en $+mgz$, l’expression sans m oublie la masse considérée, et zéro ne correspond pas à une séparation finie.

Explication

L’énergie élastique vaut $\frac12ka_{ll}^2$, soit $\frac12\times200\times(0{,}10)^2=1\,\mathrm{J}$. La valeur 2 J omet le facteur un demi, 20 J omet le carré, et 0,1 J ne correspond pas à l’allongement au carré pondéré par la raideur.

Explication

Un équilibre est stable lorsque la dérivée seconde de l’énergie potentielle est positive ; ici, elle est négative, ce qui indique un équilibre instable selon ce critère. Une dérivée première nulle repère l’équilibre, mais ne suffit pas à établir sa stabilité.

Explication

L’énergie mécanique est la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle : $E_m=12+8=20\,\mathrm{J}$. La soustraction donne 4 J, tandis que 12 J et 8 J ne retiennent respectivement qu’une seule des deux contributions.

Explication

La variation d’énergie mécanique est égale au travail des forces non conservatives ; elle vaut donc −5 J. Le signe positif inverse celui du travail, zéro néglige ce travail, et les forces conservatives ne déterminent pas cette variation dans ce théorème.

Explication

La force d’inertie de Coriolis a une puissance nulle et ne contribue donc pas aux théorèmes de l’énergie. La force d’entraînement peut contribuer au bilan, tandis que la pesanteur et la force élastique ne sont pas les forces visées par cette propriété.

Explication

En rotation uniforme, le théorème de l’énergie mécanique inclut l’énergie potentielle axifuge dans l’énergie potentielle totale. L’ajout d’un travail de force d’entraînement concerne le référentiel en translation, l’énergie cinétique n’est pas une énergie potentielle, et l’énergie axifuge s’ajoute au potentiel existant au lieu de le remplacer.