QCM : Trigonométrie des angles réels (5 questions)

Question 1

1. Pour un réel $x$ , on sait que $\cos x=\frac{3}{5}$ . Quelle valeur de $\sin^2 x$ découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

\frac{2}{5}

\frac{16}{25}

\frac{34}{25}

\frac{9}{25}

Explication

L’identité $\cos^2x+\sin^2x=1$ donne $\sin^2x=1-\left(\frac{3}{5}\right)^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ . La valeur $\frac{2}{5}$ vient de soustraire directement $\frac{3}{5}$ , et $\frac{34}{25}$ d’additionner les carrés.

Answer

$$\frac{16}{25}$$

Question 2

2. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à un angle $x$ a pour abscisse $-\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Quelles sont les coordonnées du point en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ ?

M(\cos x,\sin x)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

M(\cos x,\sin x)=\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

M(\cos x,\sin x)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)

M(\cos x,\sin x)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},-\frac{1}{2}\right)

Explication

Sur le cercle trigonométrique, $\cos x$ est l’abscisse et $\sin x$ l’ordonnée, donc le point s’écrit $M(\cos x,\sin x)$ avec les coordonnées données. L’inversion attribue à tort le sinus à l’abscisse, tandis que les deux autres réponses changent un signe.

Answer

$$M(\cos x,\sin x)=\left(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$$

Question 3

3. Un angle $x$ vérifie $\sin x=\frac{3}{5}$ et $\cos x=\frac{4}{5}$ . Quelle est la valeur de $\tan x$ ?

\frac{4}{3}

\frac{3}{4}

-\frac{1}{5}

\frac{5}{3}

Explication

Lorsque le cosinus est non nul, $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ ; ici $\frac{3/5}{4/5}=\frac{3}{4}$ . La valeur $\frac{4}{3}$ inverse le quotient, $-\frac{1}{5}$ soustrait les valeurs et $\frac{5}{3}$ divise par le sinus seul.

Answer

$$\frac{3}{4}$$

Question 4

4. Pour calculer le cosinus d’une différence d’angles réels $u$ et $v$ , quelle expression faut-il utiliser ?

\sin u\cos v+\cos u\sin v

\cos u\cos v+\sin u\sin v

\cos u\cos v-\sin u\sin v

\sin u\cos v-\cos u\sin v

Explication

La formule du cosinus d’une différence est $\cos(u-v)=\cos u\cos v+\sin u\sin v$ . Le signe moins correspond au cosinus d’une somme, tandis que les expressions avec un sinus relèvent des formules du sinus.

Answer

$$\cos u\cos v+\sin u\sin v$$

Question 5

5. Pour réduire $3\cos x+4\sin x$ sous la forme $c\cos(x-\alpha)$ , quelles valeurs de $c$ et de $\cos\alpha$ faut-il retenir ?

c=5

et

\cos\alpha=\frac{4}{5}

c=7

et

\cos\alpha=\frac{3}{7}

c=\sqrt{7}

et

\cos\alpha=\frac{3}{\sqrt{7}}

c=5

et

\cos\alpha=\frac{3}{5}

Explication

La réduction impose $c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$ et $\cos\alpha=\frac{a}{c}=\frac{3}{5}$ . La somme des coefficients donne $7$ , l’échange des rôles de $a$ et $b$ donne $\frac{4}{5}$ , et la différence des carrés ne correspond pas à la formule de la norme.

Answer

$$c=5$$ et $$\cos\alpha=\frac{3}{5}$$

QCM : Trigonométrie des angles réels (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel $x$ , on sait que $\cos x=\frac{3}{5}$ . Quelle valeur de $\sin^2 x$ découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

2. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à un angle $x$ a pour abscisse $-\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Quelles sont les coordonnées du point en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ ?

3. Un angle $x$ vérifie $\sin x=\frac{3}{5}$ et $\cos x=\frac{4}{5}$ . Quelle est la valeur de $\tan x$ ?

4. Pour calculer le cosinus d’une différence d’angles réels $u$ et $v$ , quelle expression faut-il utiliser ?

5. Pour réduire $3\cos x+4\sin x$ sous la forme $c\cos(x-\alpha)$ , quelles valeurs de $c$ et de $\cos\alpha$ faut-il retenir ?

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QCM : Trigonométrie des angles réels (5 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour un réel xxx, on sait que cos⁡x=35\cos x=\frac{3}{5}cosx=53​. Quelle valeur de sin⁡2x\sin^2 xsin2x découle de l’identité trigonométrique fondamentale ?

2. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à un angle xxx a pour abscisse −12-\frac{1}{2}−21​ et pour ordonnée 32\frac{\sqrt{3}}{2}23​​. Quelles sont les coordonnées du point en fonction de cos⁡x\cos xcosx et sin⁡x\sin xsinx ?

3. Un angle xxx vérifie sin⁡x=35\sin x=\frac{3}{5}sinx=53​ et cos⁡x=45\cos x=\frac{4}{5}cosx=54​. Quelle est la valeur de tan⁡x\tan xtanx ?

4. Pour calculer le cosinus d’une différence d’angles réels uuu et vvv, quelle expression faut-il utiliser ?

5. Pour réduire 3cos⁡x+4sin⁡x3\cos x+4\sin x3cosx+4sinx sous la forme ccos⁡(x−α)c\cos(x-\alpha)ccos(x−α), quelles valeurs de ccc et de cos⁡α\cos\alphacosα faut-il retenir ?

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2. Sur le cercle trigonométrique, le point associé à un angle $x$ a pour abscisse $-\frac{1}{2}$ et pour ordonnée $\frac{\sqrt{3}}{2}$ . Quelles sont les coordonnées du point en fonction de $\cos x$ et $\sin x$ ?

3. Un angle $x$ vérifie $\sin x=\frac{3}{5}$ et $\cos x=\frac{4}{5}$ . Quelle est la valeur de $\tan x$ ?

4. Pour calculer le cosinus d’une différence d’angles réels $u$ et $v$ , quelle expression faut-il utiliser ?

5. Pour réduire $3\cos x+4\sin x$ sous la forme $c\cos(x-\alpha)$ , quelles valeurs de $c$ et de $\cos\alpha$ faut-il retenir ?