Fiche de révision : Trinômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition du trinôme
2. Parabole et racines
3. Forme canonique
4. Résolution par forme canonique

📖 1. Définition du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme du second degré : Fonction définie sur ℝ par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=-\frac{1}{2}x^2+5x-4$, les coefficients sont $a=-\frac{1}{2}$, $b=5$ et $c=-4$.

📖 2. Parabole et racines

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : Courbe représentative d’un trinôme défini par $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.
• Racines du trinôme : Solutions de l’équation $f(x)=0$, lorsqu’elles existent, correspondant aux abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses.

📝 Points essentiels

📌 Selon la position de la parabole, l’équation $f(x)=0$ peut admettre deux racines, une seule racine ou aucune racine, que $a>0$ ou $a<0$.

💡 Astuce mémo

a > 0 : parabole ouverte vers le haut ; a < 0 : parabole ouverte vers le bas.

📖 3. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : Écriture d’un trinôme sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, où α et β sont deux réels.

📝 Points essentiels

• Le trinôme $f(x)=2x^2+12x-14$ s’écrit sous forme canonique $f(x)=2(x+3)^2-32$, avec $\alpha=-3$ et $\beta=-32$.

📐 Formule — Les identités remarquables utilisées sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

💡 Astuce mémo

Le sommet de la parabole se lit dans a(x − α)² + β.

📖 4. Résolution par forme canonique

★ À maîtriser

• Pour résoudre $f(x)=0$ à partir de la forme canonique, on annule l’expression canonique, on factorise si possible grâce à $A^2-B^2=(A-B)(A+B)$, puis on résout chaque facteur nul.

Compléments

• Pour $f(x)=2x^2+12x-14=2[(x+3)^2-16]$, les racines sont $x=-7$ et $x=1$.

• Pour $f(x)=-3x^2-12x-12=-3(x+2)^2$, l’équation $f(x)=0$ admet l’unique racine $x=-2$.

• Pour $f(x)=-2x^2+8x-14=-2[(x-2)^2+3]$, l’équation $f(x)=0$ n’a aucune solution réelle car $(x-2)^2+3>0$ pour tout réel x.

💡 Astuce mémo

Forme canonique → carré nul ou différence de carrés → racines.