QCM : Trinômes du second degré — 9 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle condition distingue un trinôme du second degré d’une fonction affine ?

Le coefficient de x2x^2 est non nul
Le coefficient de xx est nécessairement nul
Le coefficient de x2x^2 doit être égal à un
Le terme constant doit être strictement positif

Le coefficient de $$x^2$$ est non nul

Explication

Un trinôme du second degré s’écrit f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0, ce qui garantit la présence du terme quadratique. Une fonction affine possède au contraire un coefficient de x2x^2 nul.

2. Pour la fonction f(x)=−12x2+5x−4f(x)=-\frac{1}{2}x^2+5x-4, quelles sont les valeurs des coefficients aa, bb et cc ?

a=−12a=-\frac{1}{2}, b=5b=5 et c=−4c=-4
a=−4a=-4, b=5b=5 et c=−12c=-\frac{1}{2}
a=12a=\frac{1}{2}, b=−5b=-5 et c=4c=4
a=5a=5, b=−12b=-\frac{1}{2} et c=−4c=-4

$$a=-\frac{1}{2}$$, $$b=5$$ et $$c=-4$$

Explication

En comparant l’expression donnée à ax2+bx+cax^2+bx+c, on identifie le coefficient de x2x^2 à −12-\frac{1}{2}, celui de xx à 55 et le terme constant à −4-4. La valeur négative de aa ne doit pas être confondue avec la valeur positive de bb.

3. Comment nomme-t-on la courbe représentative d’un trinôme du second degré ?

Un cercle
Une droite affine
Une hyperbole
Une parabole

Une parabole

Explication

La courbe représentative d’une fonction f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0 est une parabole. Une droite représente plutôt une fonction affine.

4. Que représente une racine d’un trinôme dans son interprétation graphique ?

L’abscisse du point où la parabole coupe l’axe des ordonnées
L’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses
La valeur du coefficient du terme constant
L’ordonnée du sommet de la parabole

L’abscisse d’un point où la parabole coupe l’axe des abscisses

Explication

Une racine vérifie f(x)=0f(x)=0 et correspond donc à l’abscisse d’un point d’intersection avec l’axe des abscisses. Le point d’intersection lui-même a pour coordonnées une abscisse racine et une ordonnée nulle.

5. Combien de racines réelles l’équation f(x)=0f(x)=0 peut-elle admettre pour un trinôme du second degré ?

Une seule, quelle que soit la parabole
Trois, deux ou une
Deux, une seule ou aucune
Une ou deux, mais jamais aucune

Deux, une seule ou aucune

Explication

Selon la position de la parabole par rapport à l’axe des abscisses, l’équation peut avoir deux racines, une racine ou aucune racine réelle. Cette possibilité existe aussi bien lorsque a>0a>0 que lorsque a<0a<0.

6. Quelle écriture caractérise la forme canonique d’un trinôme du second degré ?

f(x)=a(x−α)+β2f(x)=a(x-\alpha)+\beta^2
f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c
f(x)=a(x−β)2+αf(x)=a(x-\beta)^2+\alpha
f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta

$$f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$$

Explication

La forme canonique s’écrit f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, avec α\alpha et β\beta réels. L’écriture ax2+bx+cax^2+bx+c est la forme développée et utilise les coefficients aa, bb et cc.

7. Quelle est la forme canonique de f(x)=2x2+12x−14f(x)=2x^2+12x-14 ?

f(x)=2(x+3)2−32f(x)=2(x+3)^2-32
f(x)=2(x−3)2+32f(x)=2(x-3)^2+32
f(x)=2(x−3)2−32f(x)=2(x-3)^2-32
f(x)=2(x+6)2−14f(x)=2(x+6)^2-14

$$f(x)=2(x+3)^2-32$$

Explication

Le trinôme se réécrit 2(x+3)2−322(x+3)^2-32, ce qui donne α=−3\alpha=-3 et β=−32\beta=-32 dans la forme a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta. Les autres écritures modifient le signe ou la valeur du sommet et ne développent pas le trinôme initial.

8. Quelle démarche permet de résoudre une équation f(x)=0f(x)=0 lorsque le trinôme est écrit sous forme canonique ?

Annuler l’expression canonique, factoriser si possible, puis résoudre chaque facteur nul
Remplacer xx par zéro, isoler le terme carré, puis extraire une racine carrée
Calculer le sommet, déterminer son ordonnée, puis choisir le signe de la parabole
Développer l’expression, regrouper les termes constants, puis comparer les coefficients

Annuler l’expression canonique, factoriser si possible, puis résoudre chaque facteur nul

Explication

La méthode consiste à annuler l’expression canonique, à utiliser si possible la différence de deux carrés, puis à résoudre les équations issues des facteurs nuls. Calculer le sommet décrit une autre propriété du trinôme, mais ne fournit pas directement cette procédure de résolution.

9. Combien de solutions réelles possède l’équation 2x2+12x−14=02x^2+12x-14=0, et quelles sont-elles ?

Aucune solution réelle, car l’expression reste positive
Deux solutions réelles, x=−7x=-7 et x=1x=1
Une solution réelle double, x=−3x=-3
Deux solutions réelles, x=−4x=-4 et x=2x=2

Deux solutions réelles, $$x=-7$$ et $$x=1$$

Explication

La forme canonique donne 2[(x+3)2−16]=02[(x+3)^2-16]=0, donc la différence de carrés conduit aux racines x=−7x=-7 et x=1x=1. L’idée d’une racine double ne convient pas ici, car les deux valeurs obtenues sont distinctes.

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Qu'est-ce qu'un trinôme du second degré ?

C'est une fonction ff définie par f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Quelle est la forme générale d'un trinôme du second degré ?

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c avec a≠0a\ne0.

Quels sont les coefficients de f(x)=−12x2+5x−4f(x)=-\frac{1}{2}x^2+5x-4 ?

a=−12a=-\frac{1}{2}, b=5b=5, c=−4c=-4.

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