QCM : Géométrie du plan et de l’espace — 25 questions

Question 1

1. Comment s’écrit un vecteur $\vec u=(x,y)$ dans la base canonique de $\mathbb R^2$ ?

\vec u=(x+y)\vec i+(x-y)\vec j

avec

\vec i=(1,0)

et

\vec j=(0,1)

\vec u=y\vec i+x\vec j

avec

\vec i=(1,0)

et

\vec j=(0,1)

\vec u=x\vec j+y\vec i

avec

\vec i=(0,1)

et

\vec j=(1,0)

\vec u=x\vec i+y\vec j

avec

\vec i=(1,0)

et

\vec j=(0,1)

Explication

La base canonique est constituée de $\vec i=(1,0)$ et $\vec j=(0,1)$ , donc les coordonnées de $\vec u$ sont directement ses coefficients dans l’écriture $x\vec i+y\vec j$ . L’échange des coefficients ou des vecteurs modifierait les coordonnées du vecteur.

Answer

$$\vec u=x\vec i+y\vec j$$ avec $$\vec i=(1,0)$$ et $$\vec j=(0,1)$$

Question 2

2. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires dans le plan ?

Leur produit scalaire est nul, ce qui traduit une direction perpendiculaire entre les deux vecteurs.

Ils sont multiples l’un de l’autre, ce qui équivaut à une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls.

Ils ont la même norme, ce qui garantit qu’ils représentent deux vecteurs de même longueur.

Leurs deux coordonnées sont égales, ce qui impose une même position dans le repère.

Explication

Deux vecteurs colinéaires appartiennent à une même direction et l’un est un multiple de l’autre; cette propriété équivaut à l’existence d’une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls. Un produit scalaire nul caractérise plutôt l’orthogonalité.

Answer

Ils sont multiples l’un de l’autre, ce qui équivaut à une combinaison linéaire nulle avec des coefficients non tous nuls.

Question 3

3. Quel est le produit scalaire de $\vec u_1=(2,-1)$ et $\vec u_2=(3,4)$ ?

-2

10

5

2

Explication

Le produit scalaire se calcule par $x_1x_2+y_1y_2$ , donc ici $2\times3+(-1)\times4=2$ . La valeur $10$ correspondrait à une erreur de signe sur la seconde contribution.

Answer

Leur produit scalaire est nul.

Answer

Les deux suites de coordonnées $$x_n$$ et $$y_n$$ convergent respectivement vers $$x$$ et $$y$$.

Answer

$$3(x-1)-(y-2)=0$$

Answer

$$(4,-7)$$

Answer

$$y=-\frac{2}{5}x+2$$

Answer

$$x=1+3t,\quad y=-2+4t,\quad t\in\mathbb R$$

Answer

$$r=3\sqrt{2}$$ est une distance positive et $$\theta=\frac{\pi}{4}$$ est un angle

Answer

$$x=1$$ et $$y=\sqrt{3}$$

Answer

$$\vec u\cdot\vec v=-1$$ et $$\|\vec u\|=3$$

Answer

Les axes sont unidimensionnels, tandis que les plans sont engendrés par deux vecteurs de la base canonique

Answer

$$\vec u\wedge\vec v=(6,-3,1)$$

Answer

Les deux vecteurs sont colinéaires

Answer

$$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

Answer

$$p=p_0+s\vec u+t\vec u'$$ avec $$s,t\in\mathbb R$$

Answer

Comme l’intersection de deux plans non parallèles dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires

Answer

$$x=x_0+\alpha t,\ y=y_0+\beta t,\ z=z_0+\gamma t$$ avec $$t\in\mathbb R$$

Answer

Les coordonnées polaires de sa projection sur le plan $$oxy$$, complétées par sa coordonnée $$z$$

Answer

$$x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z$$

Answer

$$\theta\in[0,2\pi[$$ et $$\varphi\in[0,\pi]$$

Answer

$$x=r\sin\varphi\cos\theta,\ y=r\sin\varphi\sin\theta,\ z=r\cos\varphi$$

Question 4

4. Comment reconnaît-on que deux vecteurs sont orthogonaux ?

Leur produit scalaire est nul.

Leurs normes euclidiennes sont égales.

L’un des vecteurs est un multiple réel de l’autre.

Leurs coordonnées respectives sont toutes positives.

Explication

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire vaut zéro. Le fait que l’un soit un multiple de l’autre caractérise la colinéarité, et non l’orthogonalité.

Question 5

5. Quelle est la norme euclidienne du vecteur $\vec u=(-3,4)$ ?

\sqrt{7}

1

7

5

Explication

La norme euclidienne vaut $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$ , donc $\sqrt{(-3)^2+4^2}=\sqrt{25}=5$ . La valeur $1$ provient de la différence des coordonnées au carré, qui n’est pas la formule de la norme.

Question 6

6. Pour qu’une suite de points $p_n=(x_n,y_n)$ converge vers $p=(x,y)$ dans le plan, quelle condition faut-il vérifier ?

Les normes

\|p_n\|

restent bornées, même si les coordonnées n’ont pas de limites.

La distance entre deux termes consécutifs tend vers zéro, sans condition sur la limite annoncée.

La suite des premières coordonnées

x_n

converge vers

x

, quelle que soit la seconde coordonnée.

Les deux suites de coordonnées

x_n

et

y_n

convergent respectivement vers

x

et

y

.

Explication

La convergence plane équivaut à $\|p_n-p\|\to0$ , ce qui revient à la convergence séparée des deux coordonnées. La convergence d’une seule coordonnée ou la simple bornitude des normes ne suffit pas à déterminer la convergence du point.

Question 7

7. Quelle équation décrit la droite passant par $p_0=(1,2)$ et orthogonale au vecteur normal $\vec n=(3,-1)$ ?

(x-1)+3(y-2)=0

3(x-1)-(y-2)=0

3(x+1)-(y+2)=0

-3(x-1)+(y-2)=0

Explication

Une droite passant par $p_0$ et associée au vecteur normal $(a,b)$ vérifie $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$ . En remplaçant par $a=3$ , $b=-1$ et $p_0=(1,2)$ , on obtient l’équation proposée.

Question 8

8. Dans l’équation cartésienne $4x-7y=5$ d’une droite, quel vecteur est un vecteur normal ?

(4,7)

(4,-7)

(7,4)

(-7,-4)

Explication

Dans une équation $ax+by=c$ , le vecteur normal est directement $(a,b)$ . Ici, les coefficients de $x$ et de $y$ donnent donc le vecteur $(4,-7)$ .

Question 9

9. Quelle forme convient à une droite non verticale d’équation $2x+5y=10$ ?

y=\frac{2}{5}x-2

y=-\frac{2}{5}x+2

x=-\frac{2}{5}y+2

y=\frac{5}{2}x+10

Explication

Pour une droite $ax+by=c$ avec $b\ne0$ , la pente vaut $m=-a/b$ et l’ordonnée à l’origine vaut $h=c/b$ . On obtient donc $m=-2/5$ et $h=2$ ; la forme verticale ne s’applique pas ici.

Question 10

10. Quelles sont les équations paramétriques de la droite passant par $p_0=(1,-2)$ et de vecteur directeur $\vec d=(3,4)$ ?

x=1+3t,\quad y=-2+4t,\quad t\in\mathbb R

x=-2+4t,\quad y=1+3t,\quad t\in\mathbb R

x=3+t,\quad y=4+t,\quad t\in\mathbb R

x=1-3t,\quad y=-2-4t,\quad t\in\mathbb R

Explication

Les équations paramétriques s’obtiennent en ajoutant $t\vec d$ au point de départ, soit $x=x_0+\alpha t$ et $y=y_0+\beta t$ . Les expressions proposées utilisent directement le point $(1,-2)$ et le directeur $(3,4)$ .

Question 11

11. Pour un point non nul de coordonnées cartésiennes $(x,y)=(3,3)$ , quelle interprétation correcte des coordonnées polaires $(r,\theta)$ s’applique ?

r=\frac{\pi}{4}

est un angle et

\theta=3\sqrt{2}

est une distance

r=3

est une distance positive et

\theta=\frac{\pi}{2}

est un angle

r=3\sqrt{2}

est une distance positive et

\theta=\frac{\pi}{4}

est un angle

r=6

est une distance positive et

\theta=\frac{\pi}{3}

est un angle

Explication

Le rayon vaut $r=\sqrt{x^2+y^2}=3\sqrt{2}$ et l’angle correspondant à deux coordonnées égales et positives est $\theta=\frac{\pi}{4}$ . La confusion principale consiste à intervertir la nature du rayon, qui est une distance, et celle de l’angle, qui est une mesure angulaire.

Question 12

12. Quelles coordonnées cartésiennes correspondent aux coordonnées polaires $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ ?

x=\sqrt{3}

et

y=1

x=2

et

y=\frac{\pi}{3}

x=1

et

y=\sqrt{3}

x=2\sqrt{3}

et

y=2

Explication

On applique $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$ , ce qui donne $x=2\cdot\frac{1}{2}=1$ et $y=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$ . Les autres réponses proviennent d’une permutation des valeurs trigonométriques ou d’une confusion entre coordonnées polaires et cartésiennes.

Question 13

13. Comment calcule-t-on le produit scalaire et la norme pour $\vec u=(1,-2,2)$ et $\vec v=(3,1,-1)$ ?

\vec u\cdot\vec v=-1

et

\|\vec u\|=3

\vec u\cdot\vec v=-1

et

\|\vec u\|=\sqrt{7}

\vec u\cdot\vec v=1

et

\|\vec u\|=\sqrt{5}

\vec u\cdot\vec v=5

et

\|\vec u\|=3

Explication

Le produit scalaire vaut $1\cdot3+(-2)\cdot1+2\cdot(-1)=-1$ , tandis que la norme vaut $\sqrt{1^2+(-2)^2+2^2}=3$ . La réponse avec $\sqrt{5}$ oublie la contribution de la troisième coordonnée dans le calcul de la norme.

Question 14

14. Quelle distinction décrit correctement les axes et les plans de coordonnées de l’espace ?

Les axes sont les plans

oxy

,

oxz

et

oyz

, tandis que les plans sont

ox

,

oy

et

oz

Les axes sont engendrés par deux vecteurs, tandis que les plans correspondent chacun à une seule direction

Les axes sont unidimensionnels, tandis que les plans sont engendrés par deux vecteurs de la base canonique

Les axes et les plans de coordonnées ont tous deux une seule dimension géométrique

Explication

Les axes $ox$ , $oy$ et $oz$ ont une dimension, alors que les plans $oxy$ , $oxz$ et $oyz$ sont engendrés par deux directions de la base canonique. Les autres propositions inversent ces dimensions ou confondent les notations des axes et des plans.

Question 15

15. Quel vecteur obtient-on en calculant le produit vectoriel de $\vec u=(1,2,0)$ par $\vec v=(0,1,3)$ ?

\vec u\wedge\vec v=(6,-3,1)

\vec u\wedge\vec v=(1,6,-3)

\vec u\wedge\vec v=(6,3,-1)

\vec u\wedge\vec v=(3,-1,6)

Explication

La formule donne $\vec u\wedge\vec v=(2\cdot3-1\cdot0,\,0\cdot0-1\cdot3,\,1\cdot1-2\cdot0)=(6,-3,1)$ . La réponse opposée correspondrait au produit vectoriel pris dans l’ordre inverse, tandis que les autres permutent les composantes.

Question 16

16. Que peut-on conclure si le produit vectoriel de deux vecteurs de $\mathbb R^3$ est nul ?

Les deux vecteurs sont orthogonaux

Les deux vecteurs ont nécessairement la même norme

Les deux vecteurs appartiennent à deux plans de coordonnées distincts

Les deux vecteurs sont colinéaires

Explication

Dans $\mathbb R^3$ , deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Un produit scalaire nul caractériserait plutôt l’orthogonalité, et l’égalité des normes ou l’appartenance à des plans distincts ne découle pas de cette condition.

Question 17

17. Deux vecteurs non colinéaires ont des normes $4$ et $5$ et forment un angle $\frac{\pi}{6}$ ; quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

20

\frac{20}{\sqrt{3}}

10\sqrt{3}

10

Explication

La relation $\|\vec u\wedge\vec v\|=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\sin\phi$ donne $4\cdot5\cdot\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=20\cdot\frac{1}{2}=10$ . La valeur $20$ oublie le facteur sinus, tandis que les autres valeurs utilisent une valeur trigonométrique inadaptée.

Question 18

18. Quelle équation décrit le plan passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et orthogonal à $\vec n=(a,b,c)$ ?

a(x+x_0)+b(y+y_0)+c(z+z_0)=0

a(x-x_0)+b(y-y_0)-c(z-z_0)=1

a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0

x-x_0=y-y_0=z-z_0

Explication

Le vecteur normal impose que le déplacement entre un point du plan et $p_0$ soit orthogonal à $\vec n$ , ce qui donne cette équation. L’expression avec des signes positifs ne traduit pas le passage par $p_0$ de la manière requise.

Question 19

19. Un plan passant par $p_0$ et engendré par deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec u'$ s’écrit comment ?

p=s\vec u+t\vec u'

avec

s,t\in\mathbb R

p=p_0+s(\vec u+\vec u')

avec

s\in\mathbb R

p=p_0+s\vec u+t\vec u'

avec

s,t\in\mathbb R

p=p_0+\vec u+t\vec u'

avec

t\in\mathbb R

Explication

Deux paramètres réels permettent de parcourir le plan dans les deux directions indépendantes à partir de $p_0$ . Une seule combinaison paramétrée ne fournit qu’une droite, tandis que l’absence de $p_0$ ne garantit pas le passage par ce point.

Question 20

20. Comment caractériser une droite de $\mathbb R^3$ à l’aide de deux plans ?

Comme l’union de deux plans non parallèles dont les vecteurs normaux sont colinéaires

Comme l’union de deux plans parallèles dont les vecteurs normaux sont colinéaires

Comme l’intersection de deux plans parallèles dont les vecteurs normaux sont orthogonaux

Comme l’intersection de deux plans non parallèles dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires

Explication

Deux plans non parallèles se coupent suivant une droite lorsque leurs vecteurs normaux ne sont pas colinéaires. Des plans parallèles ne produisent pas cette intersection linéaire dans l’espace.

Question 21

21. Quelle représentation paramétrique correspond à une droite passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec d=(\alpha,\beta,\gamma)$ ?

x=x_0-\alpha t,\ y=y_0-\beta t,\ z=z_0-\gamma t

avec

t\in\mathbb R

x=x_0+\alpha s,\ y=y_0+\beta t,\ z=z_0+\gamma u

avec

s,t,u\in\mathbb R

x=x_0+\alpha t,\ y=y_0+\beta t,\ z=z_0+\gamma t

avec

t\in\mathbb R

x=\alpha+x_0t,\ y=\beta+y_0t,\ z=\gamma+z_0t

avec

t\in\mathbb R

Explication

Le même paramètre $t$ doit contrôler les trois coordonnées afin que le déplacement soit un multiple de $\vec d$ . Trois paramètres indépendants décriraient plutôt un ensemble de dimension supérieure qu’une droite.

Question 22

22. Que représentent les coordonnées cylindriques d’un point de $\mathbb R^3$ ?

La distance à l’origine, une longitude et une colatitude

Trois distances mesurées selon les axes cartésiens

Les coordonnées polaires de sa projection sur le plan

oxy

, complétées par sa coordonnée

z

Les coordonnées polaires de sa projection sur le plan

oxz

, complétées par sa coordonnée

y

Explication

Les coordonnées cylindriques reprennent le rayon et l’angle de la projection dans le plan $oxy$ , puis conservent la hauteur $z$ . Les coordonnées polaires seules ne contiennent pas cette troisième coordonnée.

Question 23

23. Quelles relations permettent de passer des coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ aux coordonnées cartésiennes ?

x=r\cos z,\ y=r\sin z,\ \theta=\theta

x=r\sin\theta,\ y=r\cos\theta,\ z=r

x=r+\cos\theta,\ y=r+\sin\theta,\ z=\theta

x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=z

Explication

La projection dans le plan $oxy$ suit les relations polaires, tandis que la troisième coordonnée reste $z$ . Intervertir sinus et cosinus ou remplacer la hauteur par le rayon ne respecte pas cette construction.

Question 24

24. Quelles plages de variation correspondent à la longitude $\theta$ et à la colatitude $\varphi$ en coordonnées sphériques ?

\theta\in[0,\pi]

et

\varphi\in[0,2\pi[

\theta\in[0,\pi]

et

\varphi\in[-\pi,\pi]

\theta\in[-\pi,\pi]

et

\varphi\in[0,2\pi[

\theta\in[0,2\pi[

et

\varphi\in[0,\pi]

Explication

La longitude décrit une rotation complète autour de l’axe vertical, tandis que la colatitude mesure l’angle depuis cet axe et va de $0$ à $\pi$ . Les plages proposées dans l’ordre inverse confondent précisément ces deux angles.

Question 25

25. Comment exprimer les coordonnées cartésiennes d’un point de coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ ?

x=r\cos\varphi\cos\theta,\ y=r\cos\varphi\sin\theta,\ z=r\sin\varphi

x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta,\ z=r\cos\varphi

x=r\sin\varphi\cos\theta,\ y=r\sin\varphi\sin\theta,\ z=r\cos\varphi

x=r\sin\theta\cos\varphi,\ y=r\sin\theta\sin\varphi,\ z=r\cos\theta

Explication

La composante verticale est $r\cos\varphi$ et la projection horizontale a pour longueur $r\sin\varphi$ , ensuite décomposée selon $\theta$ . La deuxième expression traite la colatitude comme si elle mesurait la hauteur depuis le plan horizontal.

QCM : Géométrie du plan et de l’espace — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment s’écrit un vecteur $\vec u=(x,y)$ dans la base canonique de $\mathbb R^2$ ?

2. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires dans le plan ?

3. Quel est le produit scalaire de $\vec u_1=(2,-1)$ et $\vec u_2=(3,4)$ ?

4. Comment reconnaît-on que deux vecteurs sont orthogonaux ?

5. Quelle est la norme euclidienne du vecteur $\vec u=(-3,4)$ ?

6. Pour qu’une suite de points $p_n=(x_n,y_n)$ converge vers $p=(x,y)$ dans le plan, quelle condition faut-il vérifier ?

7. Quelle équation décrit la droite passant par $p_0=(1,2)$ et orthogonale au vecteur normal $\vec n=(3,-1)$ ?

8. Dans l’équation cartésienne $4x-7y=5$ d’une droite, quel vecteur est un vecteur normal ?

9. Quelle forme convient à une droite non verticale d’équation $2x+5y=10$ ?

10. Quelles sont les équations paramétriques de la droite passant par $p_0=(1,-2)$ et de vecteur directeur $\vec d=(3,4)$ ?

11. Pour un point non nul de coordonnées cartésiennes $(x,y)=(3,3)$ , quelle interprétation correcte des coordonnées polaires $(r,\theta)$ s’applique ?

12. Quelles coordonnées cartésiennes correspondent aux coordonnées polaires $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ ?

13. Comment calcule-t-on le produit scalaire et la norme pour $\vec u=(1,-2,2)$ et $\vec v=(3,1,-1)$ ?

14. Quelle distinction décrit correctement les axes et les plans de coordonnées de l’espace ?

15. Quel vecteur obtient-on en calculant le produit vectoriel de $\vec u=(1,2,0)$ par $\vec v=(0,1,3)$ ?

16. Que peut-on conclure si le produit vectoriel de deux vecteurs de $\mathbb R^3$ est nul ?

17. Deux vecteurs non colinéaires ont des normes $4$ et $5$ et forment un angle $\frac{\pi}{6}$ ; quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

18. Quelle équation décrit le plan passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et orthogonal à $\vec n=(a,b,c)$ ?

19. Un plan passant par $p_0$ et engendré par deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec u'$ s’écrit comment ?

20. Comment caractériser une droite de $\mathbb R^3$ à l’aide de deux plans ?

21. Quelle représentation paramétrique correspond à une droite passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec d=(\alpha,\beta,\gamma)$ ?

22. Que représentent les coordonnées cylindriques d’un point de $\mathbb R^3$ ?

23. Quelles relations permettent de passer des coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ aux coordonnées cartésiennes ?

24. Quelles plages de variation correspondent à la longitude $\theta$ et à la colatitude $\varphi$ en coordonnées sphériques ?

25. Comment exprimer les coordonnées cartésiennes d’un point de coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ ?

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QCM : Géométrie du plan et de l’espace — 25 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment s’écrit un vecteur u⃗=(x,y)\vec u=(x,y)u=(x,y) dans la base canonique de R2\mathbb R^2R2 ?

2. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires dans le plan ?

3. Quel est le produit scalaire de u⃗1=(2,−1)\vec u_1=(2,-1)u1​=(2,−1) et u⃗2=(3,4)\vec u_2=(3,4)u2​=(3,4) ?

4. Comment reconnaît-on que deux vecteurs sont orthogonaux ?

5. Quelle est la norme euclidienne du vecteur u⃗=(−3,4)\vec u=(-3,4)u=(−3,4) ?

6. Pour qu’une suite de points pn=(xn,yn)p_n=(x_n,y_n)pn​=(xn​,yn​) converge vers p=(x,y)p=(x,y)p=(x,y) dans le plan, quelle condition faut-il vérifier ?

7. Quelle équation décrit la droite passant par p0=(1,2)p_0=(1,2)p0​=(1,2) et orthogonale au vecteur normal n⃗=(3,−1)\vec n=(3,-1)n=(3,−1) ?

8. Dans l’équation cartésienne 4x−7y=54x-7y=54x−7y=5 d’une droite, quel vecteur est un vecteur normal ?

9. Quelle forme convient à une droite non verticale d’équation 2x+5y=102x+5y=102x+5y=10 ?

10. Quelles sont les équations paramétriques de la droite passant par p0=(1,−2)p_0=(1,-2)p0​=(1,−2) et de vecteur directeur d⃗=(3,4)\vec d=(3,4)d=(3,4) ?

11. Pour un point non nul de coordonnées cartésiennes (x,y)=(3,3)(x,y)=(3,3)(x,y)=(3,3), quelle interprétation correcte des coordonnées polaires (r,θ)(r,\theta)(r,θ) s’applique ?

12. Quelles coordonnées cartésiennes correspondent aux coordonnées polaires (2,π3)\left(2,\frac{\pi}{3}\right)(2,3π​) ?

13. Comment calcule-t-on le produit scalaire et la norme pour u⃗=(1,−2,2)\vec u=(1,-2,2)u=(1,−2,2) et v⃗=(3,1,−1)\vec v=(3,1,-1)v=(3,1,−1) ?

14. Quelle distinction décrit correctement les axes et les plans de coordonnées de l’espace ?

15. Quel vecteur obtient-on en calculant le produit vectoriel de u⃗=(1,2,0)\vec u=(1,2,0)u=(1,2,0) par v⃗=(0,1,3)\vec v=(0,1,3)v=(0,1,3) ?

16. Que peut-on conclure si le produit vectoriel de deux vecteurs de R3\mathbb R^3R3 est nul ?

17. Deux vecteurs non colinéaires ont des normes 444 et 555 et forment un angle π6\frac{\pi}{6}6π​ ; quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

18. Quelle équation décrit le plan passant par p0=(x0,y0,z0)p_0=(x_0,y_0,z_0)p0​=(x0​,y0​,z0​) et orthogonal à n⃗=(a,b,c)\vec n=(a,b,c)n=(a,b,c) ?

19. Un plan passant par p0p_0p0​ et engendré par deux vecteurs directeurs non colinéaires u⃗\vec uu et u⃗′\vec u'u′ s’écrit comment ?

20. Comment caractériser une droite de R3\mathbb R^3R3 à l’aide de deux plans ?

21. Quelle représentation paramétrique correspond à une droite passant par p0=(x0,y0,z0)p_0=(x_0,y_0,z_0)p0​=(x0​,y0​,z0​) et de vecteur directeur d⃗=(α,β,γ)\vec d=(\alpha,\beta,\gamma)d=(α,β,γ) ?

22. Que représentent les coordonnées cylindriques d’un point de R3\mathbb R^3R3 ?

23. Quelles relations permettent de passer des coordonnées cylindriques (r,θ,z)(r,\theta,z)(r,θ,z) aux coordonnées cartésiennes ?

24. Quelles plages de variation correspondent à la longitude θ\thetaθ et à la colatitude φ\varphiφ en coordonnées sphériques ?

25. Comment exprimer les coordonnées cartésiennes d’un point de coordonnées sphériques (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi)(r,θ,φ) ?

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Crée tes propres QCM

1. Comment s’écrit un vecteur $\vec u=(x,y)$ dans la base canonique de $\mathbb R^2$ ?

3. Quel est le produit scalaire de $\vec u_1=(2,-1)$ et $\vec u_2=(3,4)$ ?

5. Quelle est la norme euclidienne du vecteur $\vec u=(-3,4)$ ?

6. Pour qu’une suite de points $p_n=(x_n,y_n)$ converge vers $p=(x,y)$ dans le plan, quelle condition faut-il vérifier ?

7. Quelle équation décrit la droite passant par $p_0=(1,2)$ et orthogonale au vecteur normal $\vec n=(3,-1)$ ?

8. Dans l’équation cartésienne $4x-7y=5$ d’une droite, quel vecteur est un vecteur normal ?

9. Quelle forme convient à une droite non verticale d’équation $2x+5y=10$ ?

10. Quelles sont les équations paramétriques de la droite passant par $p_0=(1,-2)$ et de vecteur directeur $\vec d=(3,4)$ ?

11. Pour un point non nul de coordonnées cartésiennes $(x,y)=(3,3)$ , quelle interprétation correcte des coordonnées polaires $(r,\theta)$ s’applique ?

12. Quelles coordonnées cartésiennes correspondent aux coordonnées polaires $\left(2,\frac{\pi}{3}\right)$ ?

13. Comment calcule-t-on le produit scalaire et la norme pour $\vec u=(1,-2,2)$ et $\vec v=(3,1,-1)$ ?

15. Quel vecteur obtient-on en calculant le produit vectoriel de $\vec u=(1,2,0)$ par $\vec v=(0,1,3)$ ?

16. Que peut-on conclure si le produit vectoriel de deux vecteurs de $\mathbb R^3$ est nul ?

17. Deux vecteurs non colinéaires ont des normes $4$ et $5$ et forment un angle $\frac{\pi}{6}$ ; quelle est la norme de leur produit vectoriel ?

18. Quelle équation décrit le plan passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et orthogonal à $\vec n=(a,b,c)$ ?

19. Un plan passant par $p_0$ et engendré par deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec u'$ s’écrit comment ?

20. Comment caractériser une droite de $\mathbb R^3$ à l’aide de deux plans ?

21. Quelle représentation paramétrique correspond à une droite passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec d=(\alpha,\beta,\gamma)$ ?

22. Que représentent les coordonnées cylindriques d’un point de $\mathbb R^3$ ?

23. Quelles relations permettent de passer des coordonnées cylindriques $(r,\theta,z)$ aux coordonnées cartésiennes ?

24. Quelles plages de variation correspondent à la longitude $\theta$ et à la colatitude $\varphi$ en coordonnées sphériques ?

25. Comment exprimer les coordonnées cartésiennes d’un point de coordonnées sphériques $(r,\theta,\varphi)$ ?