Fiche de révision : Géométrie du plan et de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Espace vectoriel du plan
2. Produit scalaire et convergence plane
3. Équations des droites planes
4. Coordonnées polaires du plan
5. Espace vectoriel de l’espace
6. Produit vectoriel dans l’espace
7. Plans et droites de l’espace
8. Coordonnées cylindriques et sphériques

📖 1. Espace vectoriel du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Base canonique de ℝ² : Est formée des vecteurs $\vec i=(1{,}0)$ et $\vec j=(0{,}1)$, et tout vecteur $\vec u=(x,y)$ s’écrit $\vec u=x\vec i+y\vec j$.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont multiples l’un de l’autre, ce qui équivaut à l’existence de deux coefficients réels non tous nuls tels que leur combinaison linéaire soit nulle.
• Repère canonique : Est le triplet formé de l’origine $o=(0{,}0)$ et des vecteurs $\vec i=(1{,}0)$ et $\vec j=(0{,}1)$.

📖 2. Produit scalaire et convergence plane

🔑 Notions clés & Définitions

• Orthogonalité : Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.
• Convergence dans le plan : Une suite $p_n$ de points du plan converge vers $p$ si $\|p_n-p\|\to0$, ce qui équivaut à la convergence séparée de leurs coordonnées.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le produit scalaire de $\vec u_1=(x_1,y_1)$ et $\vec u_2=(x_2,y_2)$ est $\vec u_1\cdot\vec u_2=x_1x_2+y_1y_2$.

📐 Formule — La norme euclidienne d’un vecteur $\vec u=(x,y)$ est $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}$.

💡 Astuce mémo

Produit scalaire nul → orthogonalité ; norme nulle → convergence.

📖 3. Équations des droites planes

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’une droite : La droite passant par $p_0=(x_0,y_0)$ et orthogonale au vecteur normal $\vec n=(a,b)$ a pour équation $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$, soit $ax+by=c$ avec $c=ax_0+by_0$.

📝 Points essentiels

• Dans une équation cartésienne $ax+by=c$ d’une droite, le vecteur $(a,b)$ est un vecteur normal.

📌 Une droite non verticale s’écrit de manière unique sous la forme $y=mx+h$, où $m=-a/b$ est sa pente et $h=c/b$ son ordonnée à l’origine, tandis qu’une droite verticale s’écrit $x=x_0$.

📐 Formule — Une droite passant par $p_0=(x_0,y_0)$ et de vecteur directeur $\vec d=(\alpha,\beta)$ a pour équations paramétriques $x=x_0+\alpha t$ et $y=y_0+\beta t$, avec $t\in\mathbb R$.

📌 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, et elles sont perpendiculaires si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

💡 Astuce mémo

Normal pour l’équation cartésienne, directeur pour l’équation paramétrique.

📖 4. Coordonnées polaires du plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées polaires : Pour un point non nul du plan, les coordonnées polaires sont le couple $(r,\theta)$, où $r=\sqrt{x^2+y^2}>0$ et $\theta\in[0{,}2\pi[$ vérifie $\cos\theta=x/r$ et $\sin\theta=y/r$.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le passage des coordonnées polaires aux coordonnées cartésiennes est donné par $x=r\cos\theta$ et $y=r\sin\theta$.

💡 Astuce mémo

Distance r, angle θ, puis x = r cos θ et y = r sin θ.

📖 5. Espace vectoriel de l’espace

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans ℝ³, le produit scalaire vérifie $\vec u_1\cdot\vec u_2=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$ et la norme vérifie $\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

Compléments

• Les axes de l’espace sont ox, oy et oz, et les plans de coordonnées sont oxy, oxz et oyz.

💡 Astuce mémo

OXYZ : origine, abscisses, ordonnées, cotes.

📖 6. Produit vectoriel dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit vectoriel : Le produit vectoriel de $\vec u_1=(x_1,y_1,z_1)$ et $\vec u_2=(x_2,y_2,z_2)$ est le vecteur $\vec u_1\wedge\vec u_2=(y_1z_2-y_2z_1,x_2z_1-x_1z_2,x_1y_2-x_2y_1)$.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs de ℝ³ sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

📐 Formule — Si deux vecteurs ne sont pas colinéaires et forment un angle $\phi$, alors $\|\vec u_1\wedge\vec u_2\|=\|\vec u_1\|\,\|\vec u_2\|\sin\phi$.

Compléments

• Le produit vectoriel est orthogonal aux deux vecteurs de départ et les trois vecteurs orientent une base directe.

💡 Astuce mémo

La règle de la main droite : index, majeur et pouce orientent les trois vecteurs.

📖 7. Plans et droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation cartésienne d’un plan : Le plan passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et orthogonal à $\vec n=(a,b,c)$ a pour équation $a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$, soit $ax+by+cz=d$ avec $d=ax_0+by_0+cz_0$.
• Droite de l’espace : Dans ℝ³, une droite est l’intersection de deux plans non parallèles, décrits par deux équations cartésiennes dont les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires.

★ À maîtriser

📐 Formule — Un plan défini par un point $p_0$ et deux vecteurs directeurs non colinéaires $\vec u$ et $\vec u'$ a pour équations paramétriques $p=p_0+s\vec u+t\vec u'$, avec $s,t\in\mathbb R$.

📐 Formule — Une droite de l’espace passant par $p_0=(x_0,y_0,z_0)$ et de vecteur directeur $\vec d=(\alpha,\beta,\gamma)$ vérifie $x=x_0+\alpha t$, $y=y_0+\beta t$ et $z=z_0+\gamma t$, avec $t\in\mathbb R$.

Compléments

• Si une droite est l’intersection de deux plans de vecteurs normaux $\vec n$ et $\vec n'$, alors $\vec n\wedge\vec n'$ est un vecteur directeur de cette droite.

💡 Astuce mémo

Plan : deux directions ; droite : intersection de deux plans non parallèles.

📖 8. Coordonnées cylindriques et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées cylindriques : Les coordonnées cylindriques d’un point de ℝ³ sont le triplet $(r,\theta,z)$ obtenu à partir des coordonnées polaires de sa projection sur le plan oxy et de sa troisième coordonnée.
• Coordonnées sphériques : Les coordonnées sphériques d’un point non nul de ℝ³ sont le triplet $(r,\theta,\varphi)$, où $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0$, $\theta\in[0{,}2\pi[$ est la longitude et $\varphi\in[0,\pi]$ est la colatitude.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les coordonnées cylindriques et cartésiennes sont liées par $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ et $z=z$.

📐 Formule — Le passage des coordonnées sphériques aux coordonnées cartésiennes est donné par $x=r\sin\varphi\cos\theta$, $y=r\sin\varphi\sin\theta$ et $z=r\cos\varphi$.

💡 Astuce mémo

Cylindriques : projection plane puis z ; sphériques : distance, longitude, colatitude.

📊 Tableaux de synthèse

Représentations des droites et plans