Flashcards : Géométrie du plan et de l’espace — 43 cartes

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1Question

Quels vecteurs forment la base canonique de ℝ² ?

Réponse

Les vecteurs i⃗=(1,0)\vec i=(1,0) et j⃗=(0,1)\vec j=(0,1).

2Question

Comment s'écrit un vecteur u⃗=(x,y)\vec u=(x,y) dans la base canonique ?

Réponse

u⃗=xi⃗+yj⃗\vec u = x\vec i + y\vec j.

3Question

Que forme le repère canonique de ℝ² ?

Réponse

L'origine o=(0,0)o=(0,0) et les vecteurs i⃗=(1,0)\vec i=(1,0) et j⃗=(0,1)\vec j=(0,1).

4Question

Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

Réponse

S'ils sont multiples l'un de l'autre.

5Question

Quelle condition équivaut à la colinéarité de deux vecteurs ?

Réponse

Il existe deux réels non tous nuls dont la combinaison linéaire des vecteurs est nulle.

6Question

Comment calcule-t-on le produit scalaire de u⃗1=(x1,y1)\vec u_1=(x_1,y_1) et u⃗2=(x2,y2)\vec u_2=(x_2,y_2) ?

Réponse

Le produit scalaire est x1x2+y1y2x_1x_2 + y_1y_2.

7Question

Quelle condition caractérise l'orthogonalité de deux vecteurs ?

Réponse

Leur produit scalaire est nul.

8Question

Quelle est la formule de la norme euclidienne d'un vecteur u⃗=(x,y)\vec u=(x,y) ?

Réponse

La norme est x2+y2\sqrt{x^2 + y^2}.

9Question

Quand une suite pnp_n de points converge-t-elle vers un point pp dans le plan ?

Réponse

Quand ∥pn−p∥→0\|p_n - p\| \to 0.

10Question

À quoi équivaut la convergence d'une suite de points dans le plan en termes de coordonnées ?

Réponse

Elle équivaut à la convergence séparée de leurs coordonnées.

11Question

Quelle est l'équation cartésienne d'une droite passant par p0=(x0,y0)p_0=(x_0,y_0) orthogonale à n⃗=(a,b)\vec n=(a,b) ?

Réponse

Elle est a(x−x0)+b(y−y0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)=0.

12Question

Quel vecteur est normal dans l'équation ax+by=cax+by=c d'une droite ?

Réponse

Le vecteur (a,b)(a,b) est normal.

13Question

Comment s'écrit une droite non verticale de manière unique ?

Réponse

Sous la forme y=mx+hy=mx+h avec m=−a/bm=-a/b et h=c/bh=c/b.

14Question

Comment s'écrit une droite verticale ?

Réponse

Sous la forme x=x0x=x_0.

15Question

Quelles sont les équations paramétriques d'une droite passant par p0=(x0,y0)p_0=(x_0,y_0) avec vecteur directeur (α,β)(\alpha,\beta) ?

Réponse

x=x0+αtx=x_0+\alpha t et y=y0+βty=y_0+\beta t avec t∈Rt\in\mathbb{R}.

16Question

Quand deux droites sont-elles parallèles ?

Réponse

Quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

17Question

Quand deux droites sont-elles perpendiculaires ?

Réponse

Quand leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

18Question

Quelles sont les coordonnées polaires d'un point non nul du plan ?

Réponse

Un couple (r,θ)(r,\theta) avec r=x2+y2>0r=\sqrt{x^2+y^2}>0 et θ∈[0,2π[\theta\in[0,2\pi[.

19Question

Quelle relation définit θ\theta en coordonnées polaires ?

Réponse

cos⁡θ=xr\cos\theta=\frac{x}{r} et sin⁡θ=yr\sin\theta=\frac{y}{r}.

20Question

Comment exprime-t-on xx en fonction de rr et θ\theta en coordonnées polaires ?

Réponse

x=rcos⁡θx=r\cos\theta.

21Question

Comment exprime-t-on yy en fonction de rr et θ\theta en coordonnées polaires ?

Réponse

y=rsin⁡θy=r\sin\theta.

22Question

Quels sont les axes de l'espace ?

Réponse

Les axes sont ox, oy et oz.

23Question

Quels sont les plans de coordonnées dans l'espace ?

Réponse

Les plans sont oxy, oxz et oyz.

24Question

Quelle formule donne le produit scalaire dans ℝ³ ?

Réponse

u⃗1⋅u⃗2=x1x2+y1y2+z1z2\vec u_1\cdot\vec u_2 = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

25Question

Comment calcule-t-on la norme d'un vecteur dans ℝ³ ?

Réponse

∣u⃗∣=x2+y2+z2\\|\vec u\\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}

26Question

Comment se calcule le produit vectoriel de u⃗1=(x1,y1,z1)\vec u_1=(x_1,y_1,z_1) et u⃗2=(x2,y2,z2)\vec u_2=(x_2,y_2,z_2) ?

Réponse

C'est le vecteur (y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)(y_1z_2 - y_2z_1, x_2z_1 - x_1z_2, x_1y_2 - x_2y_1).

27Question

Quand deux vecteurs de ℝ³ sont-ils colinéaires ?

Réponse

Ils sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

28Question

Quelle formule relie le produit vectoriel et l'angle ϕ\phi entre deux vecteurs non colinéaires ?

Réponse

∥u⃗1∧u⃗2∥=∥u⃗1∥∥u⃗2∥sin⁡ϕ\|\vec u_1 \wedge \vec u_2\| = \|\vec u_1\| \|\vec u_2\| \sin \phi.

29Question

Quelle propriété d'orthogonalité possède le produit vectoriel ?

Réponse

Il est orthogonal aux deux vecteurs de départ.

30Question

Quelle orientation forment les vecteurs u⃗1\vec u_1, u⃗2\vec u_2 et leur produit vectoriel ?

Réponse

Ils forment une base directe.

31Question

Quelle est l'équation cartésienne d'un plan passant par p0p_0 et orthogonal à n⃗\vec n ?

Réponse

a(x−x0)+b(y−y0)+c(z−z0)=0a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.

32Question

Comment s'exprime un plan défini par un point p0p_0 et deux vecteurs directeurs u⃗\vec u, u⃗′\vec u' ?

Réponse

p=p0+su⃗+tu⃗′p=p_0+s\vec u+t\vec u' avec s,t∈Rs,t\in\mathbb R.

33Question

Comment se définit une droite dans R3\mathbb R^3 par rapport à deux plans ?

Réponse

C'est l'intersection de deux plans non parallèles aux vecteurs normaux non colinéaires.

34Question

Quel vecteur est directeur d'une droite intersection de deux plans aux vecteurs normaux n⃗\vec n et n⃗′\vec n' ?

Réponse

Le vecteur n⃗∧n⃗′\vec n \wedge \vec n' est directeur de la droite.

35Question

Quelles sont les équations paramétriques d'une droite passant par p0p_0 avec vecteur directeur d⃗\vec d ?

Réponse

x=x0+αt,y=y0+βt,z=z0+γtx=x_0+\alpha t, y=y_0+\beta t, z=z_0+\gamma t avec t∈Rt\in\mathbb R.

36Question

Quelles sont les coordonnées cylindriques d'un point en ℝ³ ?

Réponse

Le triplet (r,θ,z)(r,\theta,z) issu des coordonnées polaires de sa projection sur le plan oxy et de sa troisième coordonnée.

37Question

Comment exprime-t-on xx en fonction des coordonnées cylindriques ?

Réponse

x=rcos⁡θx = r\cos\theta

38Question

Comment exprime-t-on yy en fonction des coordonnées cylindriques ?

Réponse

y=rsin⁡θy = r\sin\theta

39Question

Comment exprime-t-on zz en fonction des coordonnées cylindriques ?

Réponse

z=zz = z

40Question

Quelles sont les coordonnées sphériques d'un point non nul en ℝ³ ?

Réponse

Le triplet (r,θ,φ)(r,\theta,\varphi) avec r>0r>0, θ∈[0,2π[\theta\in[0,2\pi[, φ∈[0,π]\varphi\in[0,\pi].

41Question

Que représente rr dans les coordonnées sphériques ?

Réponse

La distance au point origine, r=x2+y2+z2>0r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}>0.

42Question

Que représente θ\theta dans les coordonnées sphériques ?

Réponse

La longitude, un angle dans [0,2π[[0,2\pi[.

43Question

Comment calcule-t-on zz en coordonnées cartésiennes à partir des sphériques ?

Réponse

z=rcos⁡φz = r\cos\varphi

Teste-toi avec le QCM

Teste tes connaissances avec un QCM de 25 questions sur Géométrie du plan et de l’espace.

1. Comment s’écrit un vecteur u⃗=(x,y)\vec u=(x,y) dans la base canonique de R2\mathbb R^2 ?

2. Quelle condition caractérise deux vecteurs colinéaires dans le plan ?

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