Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations vectorielles
2. Colinéarité et repères affines
3. Coplanaire et base de l’espace
4. Droites et positions relatives
5. Plans et parallélisme spatial
6. Coordonnées dans un repère
7. Représentations paramétriques
8. Équation cartésienne d’un plan

📖 1. Vecteurs et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Objet mathématique défini par une direction, un sens et une longueur appelée norme.
• Multiplication d’un vecteur par un réel : Le vecteur ku a la même direction que u ; son sens est celui de u si k > 0 et le sens contraire si k < 0, et sa norme vaut |k| fois celle de u.

★ À maîtriser

📐 Formule - La relation de Chasles s’écrit $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ pour tous points A, B et C.

Compléments

• Un vecteur possède une infinité de représentants.

📌 Pour tout vecteur u et tout point A, il existe un unique point B tel que u = AB ; A est l’origine et B l’extrémité du représentant AB.

📖 2. Colinéarité et repères affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs u et v sont colinéaires s’il existe un réel k tel que v = ku, ou réciproquement.

📝 Points essentiels

📌 Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires.

📌 Les points A, B et C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires.

📖 3. Coplanaire et base de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires s’il existe deux réels k et k′ tels que w = ku + k′v.
• Vecteurs linéairement dépendants : Trois vecteurs sont dits linéairement dépendants s’ils sont coplanaires.

★ À maîtriser

• Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l’espace.

Compléments

📌 Quatre points A, B, C et D sont coplanaires si et seulement si les vecteurs AB, AC et AD sont coplanaires.

📖 4. Droites et positions relatives

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite de l’espace : Une droite est définie par un point A et un vecteur directeur u ; elle est l’ensemble des points M tels que AM et u sont colinéaires.

★ À maîtriser

📌 Dans l’espace, deux droites peuvent être coplanaires parallèles, confondues ou sécantes, ou non coplanaires.

Compléments

📌 Deux droites sont parallèles si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.

💡 Astuce mémo

Sécantes : elles se rencontrent ; gauches : elles ne sont pas coplanaires.

📖 5. Plans et parallélisme spatial

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de l’espace : Un plan est défini par un point A et deux vecteurs directeurs u et v ; il est l’ensemble des points M tels que AM, u et v sont coplanaires.

★ À maîtriser

• Une droite d est parallèle à un plan P si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans P.

• Deux plans P et P′ sont parallèles si et seulement si deux droites sécantes de P sont parallèles à deux droites sécantes de P′.

• Si deux plans P et P′ sont sécants selon Δ, et si une droite d de P est parallèle à une droite d′ de P′, alors d et d′ sont parallèles à Δ.

Compléments

📌 Deux plans de l’espace sont parallèles, strictement parallèles, confondus ou sécants selon qu’ils ne se coupent pas, coïncident ou se coupent selon une droite.

📌 Si deux plans distincts sont parallèles, toute droite de l’un est parallèle à toute droite de l’autre lorsque ces deux droites sont parallèles.

📖 6. Coordonnées dans un repère

★ À maîtriser

• Pour A(x_A,y_A,z_A) et B(x_B,y_B,z_B), le vecteur AB a pour coordonnées $(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$.

📐 Formule - Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées $I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

Compléments

• Dans un repère de l’espace, la somme de deux vecteurs de coordonnées (x,y,z) et (x′,y′,z′) a pour coordonnées $(x+x′,y+y′,z+z′)$.

• Dans un repère de l’espace, le produit du vecteur de coordonnées (x,y,z) par k a pour coordonnées $(kx,ky,kz)$.

📖 7. Représentations paramétriques

★ À maîtriser

• Une droite passant par A(x_A,y_A,z_A) et de vecteur directeur (a,b,c) admet la représentation paramétrique x=x_A+ta, y=y_A+tb, z=z_A+tc, avec t réel.

Compléments

• Dans l’espace, une droite ne possède pas d’équation unique sous la forme d’une équation de droite ; elle se représente paramétriquement.

• Pour déterminer si un point appartient à une droite paramétrée, on substitue ses coordonnées aux expressions et on vérifie qu’une même valeur du paramètre satisfait les trois équations.

• Pour examiner la position relative de deux droites paramétrées, on compare d’abord leurs vecteurs directeurs pour tester le parallélisme, puis on résout le système d’égalité des coordonnées pour tester l’intersection.

📖 8. Équation cartésienne d’un plan

★ À maîtriser

• Un plan passant par A(x_A,y_A,z_A) et dirigé par (a,b,c) et (a′,b′,c′) admet la représentation x=x_A+ta+t′a′, y=y_A+tb+t′b′, z=z_A+tc+t′c′, où t et t′ sont réels.

Compléments

• Le plan passant par A(7,2,8) et dirigé par (3,2,−1) et (6,7,4) admet la représentation paramétrique x=3t+6t′+7, y=2t+7t′+2 et z=−t+4t′+8.

• Une équation cartésienne de plan est 5x−6y+3z−32=0.