QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un vecteur u⃗\vec u a une norme de 5 unités. Quel est le sens et la norme de −3u⃗-3\vec u ?

Le sens contraire à u⃗\vec u et une norme de 3 unités
Le même sens que u⃗\vec u et une norme de 5 unités
Le sens contraire à u⃗\vec u et une norme de 15 unités
Le même sens que u⃗\vec u et une norme de 15 unités

Le sens contraire à $$\vec u$$ et une norme de 15 unités

Explication

Un coefficient négatif inverse le sens, et la norme est multipliée par la valeur absolue du coefficient : ∣−3∣×5=15|-3|\times 5=15. Conserver le sens néglige le signe négatif, et une norme de 3 oublie le facteur 5.

2. Une droite passe par le point AA et a pour vecteur directeur u⃗\vec u. Pour un point MM, quelle condition permet d’affirmer que MM appartient à cette droite ?

AM→=u⃗\overrightarrow{AM}=\vec u
MM est le point d’extrémité de u⃗\vec u
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec u sont perpendiculaires
AM→\overrightarrow{AM} et u⃗\vec u sont colinéaires

$$\overrightarrow{AM}$$ et $$\vec u$$ sont colinéaires

Explication

Les points de la droite sont ceux pour lesquels AM→\overrightarrow{AM} est un multiple de son vecteur directeur, donc lui est colinéaire. La perpendicularité ne définit pas l’appartenance, et le multiple n’a pas à être égal à un.

3. Dans un repère, A a pour coordonnées (2, −1, 4) et B a pour coordonnées (−3, 5, 1). Quelles sont les coordonnées du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

(−5, 6, −3)
(−5, 6, 3)
(−1, 4, 5)
(5, −6, 3)

(−5, 6, −3)

Explication

On calcule les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} en faisant B moins A : (−3−2, 5−(−1), 1−4)=(−5,6,−3)(-3-2,\ 5-(-1),\ 1-4)=(-5,6,-3). Le résultat opposé inverse l’orientation, l’addition donne des sommes de coordonnées, et un z positif vient d’une soustraction inversée.

4. Une droite passe par le point A(2,−1,4)A(2,-1,4) et a pour vecteur directeur (3,0,−2)(3,0,-2). Quelle représentation paramétrique lui correspond ?

x=3+2t, y=0−t, z=−2+4tx=3+2t,\ y=0-t,\ z=-2+4t, avec t∈Rt\in\mathbb R
x=2+3t, y=−1, z=4−2tx=2+3t,\ y=-1,\ z=4-2t, avec t∈Rt\in\mathbb R
x=2+3t, y=−1+t, z=4−2tx=2+3t,\ y=-1+t,\ z=4-2t, avec t∈Rt\in\mathbb R
x=2−3t, y=−1, z=4+2tx=2-3t,\ y=-1,\ z=4+2t, avec t∈Rt\in\mathbb R

$$x=2+3t,\ y=-1,\ z=4-2t$$, avec $$t\in\mathbb R$$

Explication

Une droite passant par AA et de vecteur directeur (a,b,c)(a,b,c) s’écrit avec les coordonnées du point comme termes constants et les composantes du vecteur comme coefficients du paramètre. La réponse avec le vecteur comme point de départ confond point et direction, celle avec un terme en tt pour yy change la composante nulle, et celle qui inverse les signes prend le vecteur opposé sans conserver le paramètre demandé.

5. Dans une situation donnée, u⃗=(2,−1,4)\vec u=(2,-1,4) et v⃗=(−6,3,−12)\vec v=(-6,3,-12). Quelle conclusion s’applique à ces deux vecteurs ?

Ils ne sont pas colinéaires, car leurs coordonnées sont différentes
Ils sont colinéaires, car v⃗=−3u⃗\vec v=-3\vec u
Ils ne sont pas colinéaires, car leurs premières coordonnées ont des signes opposés
Ils sont colinéaires, car v⃗=3u⃗\vec v=3\vec u

Ils sont colinéaires, car $$\vec v=-3\vec u$$

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre ; ici, −3(2,−1,4)=(−6,3,−12)-3(2,-1,4)=(-6,3,-12). Des coordonnées de signes opposés restent compatibles avec un coefficient négatif, et le coefficient 3 donnerait un autre vecteur.

6. Les extrémités d’un segment sont A(−2, 3, 5) et B(4, −1, 7). Quelles sont les coordonnées de son milieu I ?

I(−6, 4, −2)
I(1, 1, −1)
I(2/3, 2/3, 2)
I(1, 1, 6)

I(1, 1, 6)

Explication

Le milieu a pour coordonnées les moyennes des coordonnées correspondantes : ((−2+4)/2, (3+(−1))/2, (5+7)/2)=(1,1,6)((-2+4)/2,\ (3+(-1))/2,\ (5+7)/2)=(1,1,6). Les différences donnent le vecteur AB→\overrightarrow{AB}, diviser par trois n’est pas la formule du milieu, et la coordonnée z se trouve elle aussi en faisant la moyenne.

7. Un point P(5,2,1)P(5,2,1) est-il sur la droite définie par x=1+2t, y=5−t, z=3−2tx=1+2t,\ y=5-t,\ z=3-2t, avec t∈Rt\in\mathbb R ?

Oui, car les équations en xx et yy donnent t=2t=2.
Non, car les trois équations ne donnent pas la même valeur de tt.
Non, car les équations en xx et zz donnent des paramètres différents.
Oui, car les trois coordonnées correspondent à t=2t=2.

Non, car les trois équations ne donnent pas la même valeur de $$t$$.

Explication

Pour appartenir à la droite, un même paramètre doit satisfaire simultanément les trois équations : ici x=5x=5 donne t=2t=2, tandis que z=1z=1 donne t=1t=1. Valider avec deux coordonnées néglige la troisième, et des paramètres distincts ne peuvent pas décrire un même point de la droite.

8. Dans l’espace, trois vecteurs a⃗,b⃗,c⃗\vec a,\vec b,\vec c sont linéairement indépendants. Quelle conclusion peut-on en tirer ?

Ils sont coplanaires dans un même plan
Ils forment une base de l’espace
Ils forment une base d’un plan
Ils sont linéairement dépendants

Ils forment une base de l’espace

Explication

Trois vecteurs linéairement indépendants forment une base de l’espace. Une base d’un plan et la coplanarité correspondent à une dimension inférieure, tandis que la dépendance est l’inverse de la condition donnée.

9. Quelles caractéristiques définissent un vecteur ?

Un sens, une origine et une extrémité
Une direction, un sens et une longueur appelée norme
Une direction, des coordonnées et un point d’application
Une origine, une extrémité et une longueur appelée norme

Une direction, un sens et une longueur appelée norme

Explication

Un vecteur est défini par sa direction, son sens et sa longueur, appelée norme. L’origine et l’extrémité décrivent un représentant, tandis que les coordonnées sont une autre manière de caractériser un vecteur dans un repère.

10. Deux plans P et P′ se coupent selon la droite Δ. Une droite d de P est parallèle à une droite d′ de P′. Que peut-on conclure ?

Les droites d et d′ sont confondues avec Δ.
Les droites d et d′ sont perpendiculaires à Δ.
Les plans P et P′ sont parallèles à Δ.
Les droites d et d′ sont parallèles à Δ.

Les droites d et d′ sont parallèles à Δ.

Explication

Dans deux plans sécants, deux droites appartenant respectivement à ces plans et parallèles entre elles sont parallèles à leur droite d’intersection Δ. Cela ne rend pas les plans parallèles, et les droites n’ont pas à être perpendiculaires ni confondues avec Δ.

11. Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. Quelle conclusion peut-on tirer sur les points A, B et C ?

Les points B et C sont confondus
Les points A, B et C sont alignés
Les droites (AB) et (AC) sont sécantes en un point distinct de A
Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires

Les points A, B et C sont alignés

Explication

Les points A, B et C sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires. La perpendicularité n’est pas impliquée, et les deux droites concernées passent par A plutôt que de se couper en un point distinct de A.

12. Deux droites distinctes de l’espace ne sont ni parallèles ni sécantes. Quelle position relative peuvent-elles avoir ?

Elles sont confondues
Elles sont non coplanaires
Elles sont strictement parallèles
Elles sont sécantes en un point

Elles sont non coplanaires

Explication

Dans l’espace, deux droites peuvent être non coplanaires ; elles ne se coupent alors pas et ne sont pas parallèles. Les droites confondues ou strictement parallèles sont coplanaires, tandis que les droites sécantes se rencontrent.

13. Dans l’espace, une droite d est parallèle à un plan P. Quelle relation doit-on pouvoir établir entre d et une droite du plan ?

d est parallèle à deux droites sécantes de P.
d coupe une droite incluse dans P en un point.
d est incluse dans P et parallèle à une droite extérieure.
d est parallèle à une droite incluse dans P.

d est parallèle à une droite incluse dans P.

Explication

Une droite est parallèle à un plan si et seulement si elle est parallèle à une droite incluse dans ce plan. L’appartenance à P ne suffit pas à exprimer le critère, une intersection indique une rencontre, et deux droites sécantes concernent le critère de parallélisme de deux plans.

14. Pour établir que deux plans P et P′ sont parallèles, quelles droites faut-il identifier dans chacun des plans ?

Deux droites sécantes de P parallèles à deux droites sécantes de P′.
Deux droites sécantes de P parallèles entre elles dans P′.
Une droite de P parallèle à une droite de P′.
Deux droites parallèles de P parallèles à deux droites sécantes de P′.

Deux droites sécantes de P parallèles à deux droites sécantes de P′.

Explication

Le critère demande deux droites sécantes dans chacun des plans, les deux droites de P étant respectivement parallèles à celles de P′. Des droites parallèles ne sont pas sécantes, une seule paire ne suffit pas, et deux droites d’un même plan ne peuvent établir le parallélisme des plans.

15. Pour aller de A à C en passant par B, quelle somme de vecteurs donne directement le déplacement de A vers C ?

AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
AB→+CB→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AC}
AB→+BC→=CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles enchaîne le déplacement de A vers B puis celui de B vers C pour obtenir le déplacement de A vers C. Inverser le sens de BC donne CB, tandis que CA correspond au déplacement opposé.

16. Un plan passe par le point A et possède pour vecteurs directeurs u⃗\vec u et v⃗\vec v. Pour quel critère un point M appartient-il à ce plan ?

Le vecteur AM→\overrightarrow{AM} est nul.
Les vecteurs AM→,u⃗,v⃗\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v sont colinéaires.
Les points A, M et les extrémités de u⃗\vec u sont alignés.
Les vecteurs AM→,u⃗,v⃗\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v sont coplanaires.

Les vecteurs $$\overrightarrow{AM},\vec u,\vec v$$ sont coplanaires.

Explication

Le plan est l’ensemble des points M tels que AM→\overrightarrow{AM}, u⃗\vec u et v⃗\vec v sont coplanaires. La colinéarité est plus restrictive, un vecteur nul ne caractérise que le point A, et l’alignement ne définit pas le plan.

17. Laquelle des équations suivantes est une équation cartésienne du plan considéré ?

5x−6y−3z−32=05x-6y-3z-32=0
5x−6y+3z−32=05x-6y+3z-32=0
−6x+5y+3z−32=0-6x+5y+3z-32=0
5x−6y+3z+32=05x-6y+3z+32=0

$$5x-6y+3z-32=0$$

Explication

Une équation cartésienne de ce plan est 5x−6y+3z−32=05x-6y+3z-32=0. Le signe positif du terme constant, l’échange des coefficients de xx et yy et le signe négatif devant zz modifient chacun l’équation du plan.

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Quelles caractéristiques définissent un vecteur ?

Une direction, un sens et une norme.

Comment s’écrit la relation de Chasles pour A, B et C ?

AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}.

Quelle direction a le vecteur ku⃗k\vec{u} par rapport à u⃗\vec{u} ?

La même direction.

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