Fiche de révision : Vecteurs et géométrie de l’espace

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs et opérations vectorielles
2. Combinaisons linéaires de vecteurs
3. Colinéarité et droites de l’espace
4. Plans et coplanarité des vecteurs
5. Positions relatives dans l’espace

📖 1. Vecteurs et opérations vectorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Caractérisé par son sens, sa direction et sa norme, cette dernière étant la longueur du vecteur.

★ À maîtriser

📌 Deux vecteurs sont égaux si et seulement s’ils ont le même sens, la même direction et la même norme.

• La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Un quadrilatère ABCD est un parallélogramme si et seulement si $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$.

• Pour un réel non nul k, les vecteurs $\vec u$ et $k\vec u$ ont la même direction, ont le même sens si $k>0$ et des sens contraires si $k<0$, et vérifient $\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|$.

📐 Formule - Le produit par un scalaire vérifie $k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v$ et $k(k'\vec u)=(kk')\vec u$ pour des réels k et k'.

📖 2. Combinaisons linéaires de vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire de vecteurs $\vec u_1,\ldots,\vec u_m$ est un vecteur de la forme $\vec v=k_1\vec u_1+\cdots+k_m\vec u_m$, où les coefficients $k_1,\ldots,k_m$ sont réels.

📝 Points essentiels

• Dans le cube ABCDEFGH décrit dans l’exercice, si $\overrightarrow{DJ}=\frac13\overrightarrow{DF}$, alors $\overrightarrow{AJ}=-\frac23\overrightarrow{DA}+\frac13\overrightarrow{DH}+\frac13\overrightarrow{DC}$.

📖 3. Colinéarité et droites de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec u$ et $\vec v$ sont colinéaires si et seulement s’il existe un réel k tel que $\vec u=k\vec v$.
• Droite de l’espace : La droite (AB) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ pour un réel k, et $\overrightarrow{AB}$ est un vecteur directeur de cette droite.

📝 Points essentiels

📌 Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{BC}$ sont colinéaires.

📖 4. Plans et coplanarité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Plan de l’espace : Pour trois points non alignés A, B et C, le plan (ABC) est l’ensemble des points M tels que $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$, où x et y sont réels.
• Vecteurs coplanaires : S’ils appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

📌 Un plan est défini par un point de l’espace et deux vecteurs non colinéaires.

📌 Si $\vec u$ et $\vec v$ sont non colinéaires, alors $\vec u$, $\vec v$ et $\vec w$ sont coplanaires si et seulement si $\vec w=x\vec u+y\vec v$ pour des réels x et y.

Compléments

• Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont des vecteurs directeurs du plan (ABC).

📖 5. Positions relatives dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites coplanaires : Deux droites qui appartiennent à un même plan.

★ À maîtriser

• Pour deux droites de l’espace de vecteurs directeurs $\vec u$ et $\vec v$, si ces vecteurs sont colinéaires, les droites sont parallèles ; s’ils ne le sont pas, les droites sont sécantes lorsqu’elles ont un point commun et non coplanaires sinon.

• Une droite et un plan sont sécants en un point lorsque leurs trois vecteurs directeurs — celui de la droite et les deux du plan — sont non coplanaires ; dans le cas coplanaire, ils sont parallèles selon la synthèse du cours.

• Deux plans sont parallèles si et seulement si deux vecteurs directeurs de l’un peuvent être des vecteurs directeurs de l’autre.

Compléments

• Deux plans non parallèles sont sécants et leur intersection est une droite.

💡 Astuce mémo

Deux droites peuvent être coplanaires ou non ; deux plans parallèles ou sécants.