QCM : Vecteurs et géométrie de l’espace (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les caractéristiques d’un vecteur :

Deux vecteurs égaux peuvent avoir des normes différentes.
Deux vecteurs égaux peuvent avoir des sens différents.
La direction d’un vecteur correspond à la longueur de sa flèche.
La norme d’un vecteur désigne la droite qu’il porte.
La norme d’un vecteur correspond à sa longueur.

La norme d’un vecteur correspond à sa longueur.

Explication

La norme est la longueur du vecteur. La droite portée décrit sa direction, et des vecteurs égaux ont le même sens et la même norme.

2. On considère un vecteur non nul u⃗\vec u et un réel k=−3k=-3. Quelles propositions sont exactes concernant les opérations vectorielles ?

Pour tout v⃗\vec v, −3(u⃗+v⃗)=−3u⃗−3v⃗-3(\vec u+\vec v)=-3\vec u-3\vec v.
Pour les points A,B,CA,B,C, AB→+BC→=BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BA}.
Le vecteur −3u⃗-3\vec u a la même direction que u⃗\vec u et un sens contraire.
Pour tout réel k′k', −3(k′u⃗)=(−3+k′)u⃗-3(k'\vec u)=(-3+k')\vec u.
Le vecteur −3u⃗-3\vec u a une norme égale à 13∥u⃗∥\frac13\|\vec u\|.

Pour tout $$\vec v$$, $$-3(\vec u+\vec v)=-3\vec u-3\vec v$$. · Le vecteur $$-3\vec u$$ a la même direction que $$\vec u$$ et un sens contraire.

Explication

Un scalaire négatif conserve la direction et inverse le sens, tandis que la norme est multipliée par sa valeur absolue. La distributivité donne bien −3u⃗−3v⃗-3\vec u-3\vec v ; Chasles donne AC→\overrightarrow{AC}, et la multiplication successive donne (−3k′)u⃗(-3k')\vec u.

3. Parmi les expressions suivantes, lesquelles définissent un vecteur comme combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v, avec des coefficients réels ?

Le vecteur nul 0⃗=0u⃗+0v⃗\vec 0=0\vec u+0\vec v est une combinaison linéaire de ces vecteurs.
Le vecteur w⃗=2u⃗−12v⃗\vec w=2\vec u-\frac12\vec v est une combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v, avec des coefficients naturels.
Le vecteur w⃗=2u⃗−12v⃗\vec w=2\vec u-\frac12\vec v n’est une combinaison linéaire que si les coefficients sont entiers.
Le vecteur w⃗=2u⃗−12v⃗\vec w=2\vec u-\frac12\vec v est une combinaison linéaire de u⃗\vec u et v⃗\vec v.
Le vecteur w⃗=13u⃗+13v⃗\vec w=\frac13\vec u+\frac13\vec v est une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Le vecteur nul $$\vec 0=0\vec u+0\vec v$$ est une combinaison linéaire de ces vecteurs. · Le vecteur $$\vec w=2\vec u-\frac12\vec v$$ est une combinaison linéaire de $$\vec u$$ et $$\vec v$$. · Le vecteur $$\vec w=\frac13\vec u+\frac13\vec v$$ est une combinaison linéaire de ces vecteurs.

Explication

Une combinaison linéaire utilise des coefficients réels devant les vecteurs considérés : les coefficients peuvent donc être fractionnaires ou nuls. L’expression 2u⃗−12v⃗2\vec u-\frac12\vec v a des coefficients réels, mais pas naturels. L’expression 13u⃗+13v⃗\frac13\vec u+\frac13\vec v utilise également des coefficients réels.

4. Quand deux vecteurs sont-ils colinéaires ?

Lorsqu’ils ont la même origine et des directions différentes.
Lorsqu’ils ont la même norme et des sens opposés.
Lorsqu’ils appartiennent à un même plan sans être parallèles.
Lorsqu’il existe un réel permettant d’exprimer l’un comme un multiple de l’autre.

Lorsqu’il existe un réel permettant d’exprimer l’un comme un multiple de l’autre.

Explication

Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est égal à un multiple réel de l’autre. Avoir la même norme et des sens opposés ne suffit pas à définir la colinéarité.

5. Pour exprimer un point M du plan (ABC), quelle forme prend le vecteur AM→\overrightarrow{AM} lorsqu'A, B et C ne sont pas alignés ?

AM→=kAB→\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}, avec k réel
AM→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}, avec x et y réels
AM→=xAC→+yBC→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AC}+y\overrightarrow{BC}, avec x et y réels
AM→=xAB→+yBC→\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BC}, avec x et y réels

$$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{AC}$$, avec x et y réels

Explication

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} permettent de décrire tout point M du plan (ABC) par deux coefficients réels. La forme avec un seul multiple de AB→\overrightarrow{AB} décrit une droite passant par A, et non tout le plan.

6. Quel est le rôle des deux vecteurs directeurs non colinéaires utilisés pour définir un plan de l’espace ?

Ils déterminent les directions permettant d’exprimer les déplacements dans le plan.
Ils établissent que le plan est parallèle à toute droite de l’espace.
Ils indiquent deux directions perpendiculaires à tout déplacement dans le plan.
Ils servent à vérifier que chaque point du plan est aligné avec le point choisi.

Ils déterminent les directions permettant d’exprimer les déplacements dans le plan.

Explication

Deux vecteurs non colinéaires, associés à un point, définissent un plan et permettent d’exprimer les déplacements dans celui-ci. Ils ne sont pas nécessairement perpendiculaires, contrairement à ce que suggère un distracteur.

7. Quelle comparaison entre la relation de Chasles et la règle d’égalité de deux vecteurs est correcte ?

Chasles additionne deux vecteurs consécutifs pour obtenir le vecteur reliant les extrémités, tandis que l’égalité compare sens, direction et norme.
Chasles compare le sens, la direction et la norme de deux vecteurs, tandis que l’égalité additionne deux vecteurs consécutifs.
Chasles relie trois points dont les vecteurs sont de même norme, tandis que l’égalité exige que les vecteurs soient consécutifs.
Chasles associe deux vecteurs de même direction pour former un parallélogramme, tandis que l’égalité compare leurs seuls sens.

Chasles additionne deux vecteurs consécutifs pour obtenir le vecteur reliant les extrémités, tandis que l’égalité compare sens, direction et norme.

Explication

La relation de Chasles transforme la somme de deux vecteurs consécutifs en un vecteur reliant le point de départ au point d’arrivée, alors que deux vecteurs égaux ont même sens, même direction et même norme. La comparaison des seuls sens ne suffit pas à établir l’égalité, car la direction et la norme doivent aussi coïncider.

8. Pourquoi le vecteur v⃗=k1u⃗1+⋯+kmu⃗m\vec v=k_1\vec u_1+\cdots+k_m\vec u_m est-il une combinaison linéaire de u⃗1,…,u⃗m\vec u_1,\ldots,\vec u_m ?

Parce qu’il s’exprime comme une somme de ces vecteurs multipliés par des réels.
Parce que tous ces vecteurs ont la même norme et le même sens.
Parce que chacun de ces vecteurs est perpendiculaire aux autres.
Parce que leur somme est nécessairement le vecteur nul.

Parce qu’il s’exprime comme une somme de ces vecteurs multipliés par des réels.

Explication

Les coefficients réels k1,…,kmk_1,\ldots,k_m multiplient les vecteurs, puis les vecteurs obtenus sont additionnés pour former v⃗\vec v. Avoir une même norme ou être perpendiculaires n’est pas une condition de cette définition.

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Quels éléments caractérisent un vecteur, et que mesure sa norme ?

Son sens, sa direction et sa norme ; celle-ci mesure sa longueur.

Quand deux vecteurs sont-ils égaux ?

Lorsqu’ils ont le même sens, la même direction et la même norme.

Comment s’écrit une combinaison linéaire de vecteurs avec des coefficients réels ?

v⃗=k1u⃗1+⋯+kmu⃗m\vec v=k_1\vec u_1+\cdots+k_m\vec u_m

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