QCM : Vecteurs et mesures algébriques — 14 questions

Questions et réponses du QCM

1. Comment définir la mesure algébrique du couple de points A;BA ; B relativement à un vecteur directeur unitaire i⃗\vec{i} ?

C’est l’unique réel ABAB tel que AB→=BAi⃗\overrightarrow{AB}=BA\vec{i}.
C’est l’unique réel ABAB tel que AB→=ABi⃗\overrightarrow{AB}=AB\vec{i}.
C’est le vecteur directeur qui oriente la droite de AA vers BB.
C’est la longueur positive du segment reliant AA à BB.

C’est l’unique réel $$AB$$ tel que $$\overrightarrow{AB}=AB\vec{i}$$.

Explication

La mesure algébrique ABAB est le réel qui vérifie AB→=ABi⃗\overrightarrow{AB}=AB\vec{i} relativement au vecteur unitaire choisi. La longueur du segment correspond à une distance, qui ne fournit pas le signe de l’orientation.

2. Quelle propriété distingue une mesure algébrique d’une distance entre deux points ?

La mesure algébrique et la distance sont deux nombres positifs représentant la même notion.
La mesure algébrique est positive, tandis que la distance peut être négative ou nulle.
La mesure algébrique peut être positive, négative ou nulle, tandis que la distance est positive.
La mesure algébrique est toujours nulle lorsque les deux points sont distincts.

La mesure algébrique peut être positive, négative ou nulle, tandis que la distance est positive.

Explication

Une mesure algébrique dépend de l’orientation et peut donc prendre les trois signes, alors qu’une distance est positive. La possibilité d’une valeur négative est précisément ce qui les distingue.

3. Quelle condition est nécessaire pour définir une mesure algébrique sur une droite ?

La droite doit être munie d’un repère orthonormé complet du plan.
La droite doit contenir trois points distincts permettant de comparer les longueurs.
Les deux points doivent être séparés par une distance strictement positive.
La droite doit être orientée par le choix d’un vecteur directeur unitaire.

La droite doit être orientée par le choix d’un vecteur directeur unitaire.

Explication

La mesure algébrique est définie relativement à une orientation donnée par un vecteur directeur unitaire. Un repère complet du plan ou le nombre de points ne constitue pas la condition requise.

4. Quelle égalité illustre à la fois la commutativité de l’addition vectorielle et son associativité ?

u⃗+v⃗=u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{u} et (u⃗+v⃗)+w⃗=v⃗+w⃗(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{v}+\vec{w}
u⃗+v⃗=u⃗−v⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{u}-\vec{v} et (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+v⃗+w⃗(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}
u⃗−v⃗=v⃗−u⃗\vec{u}-\vec{v}=\vec{v}-\vec{u} et (u⃗+v⃗)w⃗=u⃗+(v⃗w⃗)(\vec{u}+\vec{v})\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}\vec{w})
u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u} et (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})

$$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$ et $$(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})$$

Explication

La première égalité exprime la commutativité, et la seconde exprime l’associativité de l’addition des vecteurs. Les autres égalités attribuent à l’addition des propriétés qui ne sont pas celles énoncées.

5. Dans l’égalité u⃗+(−u⃗)=0⃗\vec{u}+(-\vec{u})=\vec{0}, quel rôle joue −u⃗-\vec{u} ?

Il est le vecteur nul associé à u⃗\vec{u}, tandis que 0⃗\vec{0} est une mesure algébrique.
Il est l’inverse additif de u⃗\vec{u}, tandis que 0⃗\vec{0} est l’élément neutre.
Il est l’élément neutre de l’addition, tandis que 0⃗\vec{0} est l’inverse de u⃗\vec{u}.
Il est le vecteur directeur opposé, tandis que 0⃗\vec{0} représente une distance nulle.

Il est l’inverse additif de $$\vec{u}$$, tandis que $$\vec{0}$$ est l’élément neutre.

Explication

L’opposé −u⃗-\vec{u} est l’inverse additif de u⃗\vec{u}, car leur somme donne le vecteur nul. Le vecteur nul joue, lui, le rôle d’élément neutre puisque u⃗+0⃗=u⃗\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}.

6. Quelle transformation applique correctement la distributivité de la multiplication vectorielle par un réel ?

λ(u⃗+v⃗)=λu⃗+λv⃗\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}
(λ+μ)u⃗=λu⃗+μv⃗(\lambda+\mu)\vec{u}=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}
λ(u⃗+v⃗)=λu⃗+μv⃗\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}
λ(u⃗+v⃗)=(λ+u⃗)+(λ+v⃗)\lambda(\vec{u}+\vec{v})=(\lambda+\vec{u})+(\lambda+\vec{v})

$$\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}$$

Explication

La distributivité de λ\lambda sur une somme de vecteurs donne λ(u⃗+v⃗)=λu⃗+λv⃗\lambda(\vec{u}+\vec{v})=\lambda\vec{u}+\lambda\vec{v}. L’expression avec λ+μ\lambda+\mu concerne une somme de réels multipliant le même vecteur, et non deux vecteurs différents.

7. Comment réécrire la différence de deux vecteurs u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v} sous forme d’addition ?

u⃗−v⃗=(−u⃗)+v⃗\vec{u}-\vec{v}=(-\vec{u})+\vec{v}
u⃗−v⃗=−(u⃗+v⃗)\vec{u}-\vec{v}=-(\vec{u}+\vec{v})
u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})
u⃗−v⃗=u⃗+v⃗\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+\vec{v}

$$\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v})$$

Explication

Soustraire v⃗\vec{v} revient à ajouter son opposé, d’où u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u}-\vec{v}=\vec{u}+(-\vec{v}). Ajouter v⃗\vec{v} lui-même correspondrait à une somme et non à une différence.

8. Pour calculer a⃗−b⃗\vec{a}-\vec{b}, quelle opération faut-il effectuer avec le second vecteur ?

Ajouter l’opposé de b⃗\vec{b} à a⃗\vec{a}.
Ajouter le même vecteur b⃗\vec{b} à a⃗\vec{a}.
Soustraire l’opposé de a⃗\vec{a} au vecteur b⃗\vec{b}.
Multiplier a⃗\vec{a} par l’opposé du nombre associé à b⃗\vec{b}.

Ajouter l’opposé de $$\vec{b}$$ à $$\vec{a}$$.

Explication

La définition de la différence donne a⃗−b⃗=a⃗+(−b⃗)\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b}) : le second vecteur est remplacé par son opposé. Ajouter b⃗\vec{b} sans le changer produirait la somme a⃗+b⃗\vec{a}+\vec{b}.

9. Laquelle des expressions définit une combinaison linéaire des vecteurs u⃗\vec{u} et v⃗\vec{v} ?

u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}, avec des coefficients nécessairement égaux à 1
λ(u⃗+v⃗)\lambda(\vec{u}+\vec{v}), avec un coefficient réel unique
λu⃗+μv⃗\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}, avec λ\lambda et μ\mu réels
λu⃗×μv⃗\lambda\vec{u}\times\mu\vec{v}, avec λ\lambda et μ\mu réels

$$\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}$$, avec $$\lambda$$ et $$\mu$$ réels

Explication

Une combinaison linéaire associe à chaque vecteur un coefficient réel, sous la forme λu⃗+μv⃗\lambda\vec{u}+\mu\vec{v}. Le produit vectoriel et l’usage d’un coefficient unique ne correspondent pas à cette définition, tandis que la somme simple constitue seulement un cas particulier.

10. Si w⃗=−2u⃗+3v⃗\vec{w}=-2\vec{u}+3\vec{v}, quels sont les coefficients respectifs de u⃗\vec{u} et de v⃗\vec{v} ?

33 et −2-2
22 et 33
−2-2 et −3-3
−2-2 et 33

$$-2$$ et $$3$$

Explication

Dans l’expression donnée, le nombre placé devant u⃗\vec{u} est −2-2 et celui placé devant v⃗\vec{v} est 33. Inverser ces valeurs confond les deux vecteurs, tandis que changer un signe modifie la combinaison initiale.

11. Dans un quadrilatère ABCDABCD, quelle propriété est équivalente au fait que ABCDABCD soit un parallélogramme ?

Les diagonales [AC][AC] et [DB][DB] ont le même milieu
Les diagonales [AB][AB] et [CD][CD] ont la même longueur
Les côtés [AD][AD] et [BC][BC] ont des longueurs différentes
Les côtés [AB][AB] et [BC][BC] sont perpendiculaires

Les diagonales $$[AC]$$ et $$[DB]$$ ont le même milieu

Explication

Pour ce quadrilatère, le fait que les diagonales [AC][AC] et [DB][DB] aient le même milieu est présenté comme équivalent à la propriété de parallélogramme. L’égalité de longueurs ou la perpendicularité de certains côtés ne constitue pas le critère d’équivalence indiqué ici.

12. Pour établir qu’un quadrilatère ABCDABCD est un parallélogramme, quelle relation vectorielle peut être utilisée d’après les propriétés équivalentes ?

BA→=DC→\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{DC}
AC→=DB→\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}
AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}
AB→=CD→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}

$$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$

Explication

L’égalité vectorielle AD→=BC→\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC} fait partie des propriétés équivalentes au fait que ABCDABCD soit un parallélogramme. Les autres relations proposées changent l’orientation ou associent les diagonales d’une manière qui ne correspond pas à l’énoncé retenu.

13. Un vecteur u⃗\vec{u} est représenté par le couple de points (A;B)(A;B). Que représente sa norme ∥u⃗∥\|\vec{u}\| ?

La coordonnée de AA sur un axe
La différence entre les vecteurs A→\overrightarrow{A} et B→\overrightarrow{B}
La distance ABAB
Une mesure algébrique pouvant être négative

La distance $$AB$$

Explication

La norme de u⃗\vec{u} est la distance entre les points AA et BB qui constituent un représentant du vecteur. Une distance est une longueur positive, contrairement à une mesure algébrique qui peut porter un signe.

14. Si (A;B)(A;B) est un représentant du vecteur u⃗\vec{u}, quelle égalité exprime sa norme ?

∥u⃗∥=AB→\|\vec{u}\|=\overrightarrow{AB}, qui est un nombre
∥u⃗∥=AB‾\|\vec{u}\|=\overline{AB}, avec une valeur nécessairement négative
∥u⃗∥=BA−AB\|\vec{u}\|=BA-AB
∥u⃗∥=AB\|\vec{u}\|=AB

$$\|\vec{u}\|=AB$$

Explication

La norme vérifie ∥u⃗∥=AB\|\vec{u}\|=AB lorsque (A;B)(A;B) représente le vecteur, car elle correspond à la longueur du segment. Une mesure algébrique peut être signée et un vecteur n’est pas un nombre, ce qui rend les autres égalités inadéquates.

Révisez avec les flashcards

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Qu'est-ce que la mesure algébrique du couple de points (A ; B) ?

C'est l'unique nombre réel AB tel que le vecteur AB = AB × i.

Quelle différence existe entre mesure algébrique et distance ?

La mesure algébrique peut être positive, négative ou nulle, la distance est toujours positive.

Sur quoi repose la définition de la mesure algébrique d’un couple de points ?

Elle nécessite une droite orientée par un vecteur directeur unitaire.

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