QCM : Limites et comparaison de suites — 17 questions

Question 1

1. Quel type de phénomène une suite numérique peut-elle modéliser ?

Une grandeur mesurée à chaque instant réel

Une grandeur observée à des instants discrets

Une relation entre deux variables continues

Une valeur fixée indépendamment du temps

Explication

Une suite numérique représente une grandeur observée lors d’étapes séparées, comme des années, des mois ou des générations. Une grandeur suivie à chaque instant réel relève plutôt d’une modélisation continue.

Answer

Une grandeur observée à des instants discrets

Question 2

2. Une chercheuse relève la population d’une ville à la fin de chaque année pendant vingt ans ; comment ces données peuvent-elles être modélisées ?

Par une fonction définie uniquement entre deux relevés

Par une constante identique à chaque année

Par une équation sans variable temporelle

Par une suite numérique indexée par les années

Explication

Des observations effectuées à des années successives correspondent à des instants discrets et peuvent donc être représentées par une suite numérique. Une fonction continue décrirait plutôt une grandeur connue à tout instant.

Answer

Par une suite numérique indexée par les années

Question 3

3. Dans une procédure où l’on part de $n=0$ et $u=2$ , puis où l’on remplace successivement $n$ par $n+1$ et $u$ par $4u$ tant que $u<A$ , que représente le rang affiché à la fin ?

Le dernier rang où la suite reste strictement sous

A

Le premier rang où la suite reprend sa valeur initiale

Le premier rang où la suite atteint ou dépasse

A

Le nombre de termes calculés avant d’initialiser la suite

Explication

La boucle s’arrête lorsque la valeur courante n’est plus inférieure à $A$ ; le rang affiché est donc le premier rang où le seuil est atteint ou dépassé. Le rang précédent correspond encore à une valeur située sous le seuil.

Answer

Le premier rang où la suite atteint ou dépasse $$A$$

Question 4

4. Pour la suite définie par $u_n=n^2$ , quelle affirmation décrit correctement son comportement lorsque $n$ devient très grand ?

Ses termes croissent sans borne et sa limite vaut

+\infty

Ses termes restent bornés et convergent vers

1

Ses termes alternent entre deux valeurs et n’ont pas de limite

Ses termes se rapprochent d’un réel fixe et sa limite vaut

0

Explication

Comme $u_{100}=10\,000$ et $u_{1000}=1\,000\,000$ , les valeurs de $n^2$ deviennent arbitrairement grandes ; la suite tend donc vers $+\infty$ . Elle ne se rapproche pas d’un réel fixe et ne reste pas bornée.

Answer

Ses termes croissent sans borne et sa limite vaut $$+\infty$$

Question 5

5. Que signifie l’écriture $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ pour une suite ?

Les termes deviennent nécessairement égaux à

L

après un rang donné

Les termes deviennent aussi proches de

L

que souhaité à partir d’un certain rang

Les termes alternent autour de

L

sans se rapprocher de lui

Les termes augmentent sans borne lorsque

n

devient grand

Explication

Cette notation signifie qu’à partir d’un certain rang, les termes peuvent être rendus aussi proches de $L$ que l’on veut. Elle n’exige pas que les termes deviennent exactement égaux à $L$ .

Answer

Les termes deviennent aussi proches de $$L$$ que souhaité à partir d’un certain rang

Question 6

6. Pourquoi la suite définie par $u_n=(-1)^n$ est-elle divergente ?

Elle se rapproche d’un réel fixe lorsque

n

augmente

Elle croît sans borne vers

+\infty

Elle devient nulle à partir d’un rang suffisamment grand

Elle n’admet ni limite finie ni limite infinie

Explication

La suite $(-1)^n$ alterne entre $1$ et $-1$ , donc ses termes ne se rapprochent d’aucun réel et ne croissent pas sans borne. Elle est ainsi divergente sans avoir de limite infinie.

Answer

Elle n’admet ni limite finie ni limite infinie

Question 7

7. Quelle est la limite de la suite définie par $u_n=\sqrt n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

Elle tend vers

+\infty

Elle tend vers

1

Elle n’a pas de limite finie

Elle tend vers

0

Explication

La racine carrée de $n$ devient arbitrairement grande lorsque $n$ tend vers $+\infty$ . La limite n’est donc pas celle de son inverse, qui tendrait vers $0$ .

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$

Question 8

8. Parmi les suites suivantes, laquelle converge vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

n^2

\frac{1}{n^2}

n

\sqrt n

Explication

L’inverse de $n^2$ tend vers $0$ lorsque $n$ devient grand. Les suites $n$ , $n^2$ et $\sqrt n$ tendent, quant à elles, vers $+\infty$ .

Answer

$$\frac{1}{n^2}$$

Question 9

9. Quelle forme de somme est indéterminée lors du calcul de limites ?

7+\infty

+\infty+3

+\infty-\infty

-\infty-5

Explication

La différence de deux quantités tendant vers des infinis opposés forme une expression indéterminée. En revanche, ajouter un réel à $+\infty$ conserve une limite égale à $+\infty$ .

Answer

$$+\infty-\infty$$

Question 10

10. Dans quel cas le calcul direct d’une limite de produit conduit-il à une forme indéterminée ?

Lorsque les facteurs donnent

5\times7

Lorsque les facteurs donnent

(-2)\times(-\infty)

Lorsque les facteurs donnent

3\times(+\infty)

Lorsque les facteurs donnent

0\times\infty

Explication

Le produit $0\times\infty$ est indéterminé, car les effets du facteur nul et du facteur infiniment grand peuvent se compenser de différentes façons. Un réel non nul multiplié par un infini se traite avec la règle des signes.

Answer

Lorsque les facteurs donnent $$0\times\infty$$

Question 11

11. Laquelle des expressions suivantes représente une forme indéterminée de quotient ?

\frac{\infty}{\infty}

\frac{+\infty}{4}

\frac{-3}{2}

\frac{5}{+\infty}

Explication

Le quotient $\frac{\infty}{\infty}$ est indéterminé, car la comparaison des vitesses de croissance du numérateur et du dénominateur est nécessaire. Un réel divisé par un infini tend généralement vers $0$ , tandis qu’un infini divisé par un réel non nul reste infini avec un signe déterminé.

Answer

$$\frac{\infty}{\infty}$$

Question 12

12. Laquelle de ces expressions appartient aux quatre formes indéterminées étudiées ?

\frac00

\frac{5}{+\infty}

+\infty+2

3\times(+\infty)

Explication

La forme $\frac00$ est indéterminée : la limite du quotient ne peut pas être déduite directement des limites du numérateur et du dénominateur. Les autres expressions permettent de déterminer directement une limite dans le cadre des règles usuelles.

Answer

$$\frac00$$

Question 13

13. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression polynomiale ?

Multiplier tous les termes par leur degré

Factoriser par le monôme de plus haut degré

Remplacer chaque terme par sa limite isolée

Conserver uniquement le terme constant

Explication

On met en facteur le monôme de plus haut degré afin de faire apparaître des facteurs dont les limites sont calculables. Remplacer séparément des termes dans une forme indéterminée ne permet pas de conclure directement.

Answer

Factoriser par le monôme de plus haut degré

Question 14

14. À partir d’un certain rang, on sait que $u_n\le v_n$ et que $u_n\to+\infty$ . Quelle conclusion est valide ?

La suite

v_n

tend vers

+\infty

.

La suite

v_n

tend vers une limite finie.

Les deux suites ont nécessairement la même valeur à chaque rang.

La suite

u_n

est majorée par une constante.

Explication

Une suite située au-dessus d’une suite qui tend vers $+\infty$ doit elle aussi tendre vers $+\infty$ . Une simple borne supérieure ne permettrait pas d’établir cette conclusion, car il faut une minoration divergente.

Answer

La suite $$v_n$$ tend vers $$+\infty$$.

Question 15

15. Pour démontrer que la suite $n^2+(-1)^n$ tend vers $+\infty$ , quelle comparaison convient ?

L’identifier à

(-1)^n

, qui reste compris entre

-1

et

1

.

La minorer par

n^2-1

, qui tend vers

+\infty

.

La majorer par

n^2+1

, qui tend vers

+\infty

.

La remplacer par

n^2

, car le terme oscillant vaut zéro.

Explication

Comme $(-1)^n\ge-1$ , on obtient $n^2+(-1)^n\ge n^2-1$ , et cette minoration tend vers $+\infty$ . Une majoration par une suite divergente ne suffit pas à conclure qu’une suite tend vers $+\infty$ .

Answer

La minorer par $$n^2-1$$, qui tend vers $$+\infty$$.

Question 16

16. Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$ et si $u_n\to L$ ainsi que $w_n\to L$ , quelle est la limite de $v_n$ ?

La suite

v_n

n’a pas de limite déterminable.

La suite

v_n

tend vers

L

.

La suite

v_n

tend vers la moyenne de

u_n

et

w_n

.

La suite

v_n

tend vers

+\infty

.

Explication

Les deux suites qui encadrent $v_n$ convergent vers la même limite $L$ ; le théorème des gendarmes impose alors que $v_n\to L$ . Une seule inégalité ne suffirait pas à fixer la limite de la suite centrale.

Answer

La suite $$v_n$$ tend vers $$L$$.

Question 17

17. Quelle association entre les théorèmes et leur usage est correcte ?

Les deux théorèmes servent principalement à établir des limites infinies.

La comparaison établit une limite finie, tandis que l’encadrement établit une limite infinie.

La comparaison établit une limite infinie, tandis que l’encadrement établit une limite finie.

Les deux théorèmes exigent deux suites ayant exactement la même limite.

Explication

Le théorème de comparaison permet notamment de conclure à une limite infinie, alors que le théorème des gendarmes permet d’obtenir une limite finie lorsque deux bornes convergent vers cette même valeur. L’exigence de deux bornes de même limite concerne l’encadrement, pas la comparaison.

Answer

La comparaison établit une limite infinie, tandis que l’encadrement établit une limite finie.

QCM : Limites et comparaison de suites — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel type de phénomène une suite numérique peut-elle modéliser ?

2. Une chercheuse relève la population d’une ville à la fin de chaque année pendant vingt ans ; comment ces données peuvent-elles être modélisées ?

3. Dans une procédure où l’on part de $n=0$ et $u=2$ , puis où l’on remplace successivement $n$ par $n+1$ et $u$ par $4u$ tant que $u<A$ , que représente le rang affiché à la fin ?

4. Pour la suite définie par $u_n=n^2$ , quelle affirmation décrit correctement son comportement lorsque $n$ devient très grand ?

5. Que signifie l’écriture $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ pour une suite ?

6. Pourquoi la suite définie par $u_n=(-1)^n$ est-elle divergente ?

7. Quelle est la limite de la suite définie par $u_n=\sqrt n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

8. Parmi les suites suivantes, laquelle converge vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

9. Quelle forme de somme est indéterminée lors du calcul de limites ?

10. Dans quel cas le calcul direct d’une limite de produit conduit-il à une forme indéterminée ?

11. Laquelle des expressions suivantes représente une forme indéterminée de quotient ?

12. Laquelle de ces expressions appartient aux quatre formes indéterminées étudiées ?

13. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression polynomiale ?

14. À partir d’un certain rang, on sait que $u_n\le v_n$ et que $u_n\to+\infty$ . Quelle conclusion est valide ?

15. Pour démontrer que la suite $n^2+(-1)^n$ tend vers $+\infty$ , quelle comparaison convient ?

16. Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$ et si $u_n\to L$ ainsi que $w_n\to L$ , quelle est la limite de $v_n$ ?

17. Quelle association entre les théorèmes et leur usage est correcte ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Freinet et Reggio Emilia

Apprentissage et didactique

Révisions de calcul numérique

Biologie cellulaire 2

Biologie cellulaire 1

Vecteurs et mesures algébriques

Crée tes propres QCM

QCM : Limites et comparaison de suites — 17 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel type de phénomène une suite numérique peut-elle modéliser ?

2. Une chercheuse relève la population d’une ville à la fin de chaque année pendant vingt ans ; comment ces données peuvent-elles être modélisées ?

3. Dans une procédure où l’on part de n=0n=0n=0 et u=2u=2u=2, puis où l’on remplace successivement nnn par n+1n+1n+1 et uuu par 4u4u4u tant que u<Au<Au<A, que représente le rang affiché à la fin ?

4. Pour la suite définie par un=n2u_n=n^2un​=n2, quelle affirmation décrit correctement son comportement lorsque nnn devient très grand ?

5. Que signifie l’écriture lim⁡n→+∞un=L\lim_{n\to+\infty}u_n=Llimn→+∞​un​=L pour une suite ?

6. Pourquoi la suite définie par un=(−1)nu_n=(-1)^nun​=(−1)n est-elle divergente ?

7. Quelle est la limite de la suite définie par un=nu_n=\sqrt nun​=n​ lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

8. Parmi les suites suivantes, laquelle converge vers 000 lorsque nnn tend vers +∞+\infty+∞ ?

9. Quelle forme de somme est indéterminée lors du calcul de limites ?

10. Dans quel cas le calcul direct d’une limite de produit conduit-il à une forme indéterminée ?

11. Laquelle des expressions suivantes représente une forme indéterminée de quotient ?

12. Laquelle de ces expressions appartient aux quatre formes indéterminées étudiées ?

13. Quelle méthode permet généralement de lever une forme indéterminée dans une expression polynomiale ?

14. À partir d’un certain rang, on sait que un≤vnu_n\le v_nun​≤vn​ et que un→+∞u_n\to+\inftyun​→+∞. Quelle conclusion est valide ?

15. Pour démontrer que la suite n2+(−1)nn^2+(-1)^nn2+(−1)n tend vers +∞+\infty+∞, quelle comparaison convient ?

16. Si, à partir d’un certain rang, un≤vn≤wnu_n\le v_n\le w_nun​≤vn​≤wn​ et si un→Lu_n\to Lun​→L ainsi que wn→Lw_n\to Lwn​→L, quelle est la limite de vnv_nvn​ ?

17. Quelle association entre les théorèmes et leur usage est correcte ?

Révisez avec les flashcards

Approfondir avec la fiche

Cours similaires

Freinet et Reggio Emilia

Apprentissage et didactique

Révisions de calcul numérique

Biologie cellulaire 2

Biologie cellulaire 1

Vecteurs et mesures algébriques

Crée tes propres QCM

3. Dans une procédure où l’on part de $n=0$ et $u=2$ , puis où l’on remplace successivement $n$ par $n+1$ et $u$ par $4u$ tant que $u<A$ , que représente le rang affiché à la fin ?

4. Pour la suite définie par $u_n=n^2$ , quelle affirmation décrit correctement son comportement lorsque $n$ devient très grand ?

5. Que signifie l’écriture $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$ pour une suite ?

6. Pourquoi la suite définie par $u_n=(-1)^n$ est-elle divergente ?

7. Quelle est la limite de la suite définie par $u_n=\sqrt n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

8. Parmi les suites suivantes, laquelle converge vers $0$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?

14. À partir d’un certain rang, on sait que $u_n\le v_n$ et que $u_n\to+\infty$ . Quelle conclusion est valide ?

15. Pour démontrer que la suite $n^2+(-1)^n$ tend vers $+\infty$ , quelle comparaison convient ?

16. Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$ et si $u_n\to L$ ainsi que $w_n\to L$ , quelle est la limite de $v_n$ ?