Fiche de révision : Limites et comparaison de suites

📋 Plan du Cours

1. Modélisation par suites numériques
2. Limites infinies et rang seuil
3. Limites finies et convergence
4. Limites des suites usuelles
5. Opérations sur les limites
6. Levée des formes indéterminées
7. Théorèmes de comparaison
8. Théorème des gendarmes

📖 1. Modélisation par suites numériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Modélise une grandeur observée à des instants discrets comme des années, des mois, des générations ou des étapes successives.

💡 Astuce mémo

Suite = temps discret par paliers ; fonction = temps continu

📖 2. Limites infinies et rang seuil

📝 Points essentiels

• Pour la suite définie par $u_n=n^2$, on a $u_{100}=10\,000$ et $u_{1000}=1\,000\,000$, donc sa limite est +∞.

• Pour déterminer un rang à partir duquel une suite croissante dépasse un seuil A, on initialise n à 0 et u à 2, puis on répète tant que u<A les opérations n←n+1 et u←4u avant d’afficher n.

💡 Astuce mémo

Rang suffisamment grand → termes aussi grands que souhaité

📖 3. Limites finies et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Si ses termes deviennent aussi proches de L que l’on veut à partir d’un certain rang, ce que l’on note $\lim_{n\to+\infty}u_n=L$.

★ À maîtriser

📌 Une suite divergente est une suite qui n’est pas convergente et qui n’admet pas nécessairement une limite infinie.

Compléments

• La suite définie par $u_n=1+\frac{1}{n^2}$ pour n non nul converge vers 1, avec $u_{100}=1{,}0001$ et $u_{1000}=1{,}000001$.

💡 Astuce mémo

Convergente = proche d’une valeur ; divergente ≠ nécessairement infinie

📖 4. Limites des suites usuelles

📝 Points essentiels

📐 Formule — Les limites usuelles vérifient $\lim_{n\to+\infty}n=+\infty$, $\lim_{n\to+\infty}n^2=+\infty$ et $\lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty$.

📐 Formule — Les inverses usuels vérifient $\lim_{n\to+\infty}\frac1n=0$, $\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^2}=0$ et $\lim_{n\to+\infty}\frac1{\sqrt n}=0$.

💡 Astuce mémo

Puissances vers l’infini, inverses vers zéro

📖 5. Opérations sur les limites

★ À maîtriser

• Pour une somme, les limites se calculent terme à terme lorsque les résultats ne forment pas une indétermination ; les formes $+\infty-\infty$ et $-\infty+\infty$ sont indéterminées.

• Pour un produit, les limites se combinent avec la règle des signes, sauf dans la forme indéterminée $0\times\infty$.

• Pour un quotient, les limites se combinent avec la règle des signes lorsque le dénominateur ne conduit pas à une indétermination, mais $\frac\infty\infty$ et $\frac00$ sont indéterminées.

Compléments

• Pour calculer $\lim_{n\to+\infty}\frac{2}{-n^2-3}$, le dénominateur tend vers −∞ et le quotient tend donc vers 0.

💡 Astuce mémo

Somme, produit et quotient se calculent sauf forme indéterminée

📖 6. Levée des formes indéterminées

★ À maîtriser

• Les quatre formes indéterminées étudiées sont $\infty-\infty$, $0\times\infty$, $\frac\infty\infty$ et $\frac00$.

• Pour lever une forme indéterminée, on factorise l’expression par le monôme de plus haut degré, puis on calcule les limites des facteurs obtenus.

Compléments

📐 Formule — La factorisation par le terme dominant donne $n^2-5n+1=n^2\left(1-\frac5n+\frac1{n^2}\right)$, donc la limite de l’expression est +∞.

💡 Astuce mémo

Reconnaître → factoriser par le plus haut degré → calculer

📖 7. Théorèmes de comparaison

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n$ et si $u_n\to+\infty$, alors $v_n\to+\infty$.

Compléments

• Comme $(-1)^n\ge-1$, on a $n^2+(-1)^n\ge n^2-1$ ; puisque $n^2-1\to+\infty$, on obtient $n^2+(-1)^n\to+\infty$ par comparaison.

💡 Astuce mémo

Infini : une borne divergente entraîne la suite dans le même sens

📖 8. Théorème des gendarmes

★ À maîtriser

📌 Si, à partir d’un certain rang, $u_n\le v_n\le w_n$ et si $u_n\to L$ et $w_n\to L$, alors $v_n\to L$.

• Le théorème de comparaison s’utilise pour démontrer une limite infinie, tandis que le théorème d’encadrement s’utilise pour démontrer une limite finie.

Compléments

• Comme $-1\le\sin n\le1$, on a $1-\frac1n\le1+\frac{\sin n}{n}\le1+\frac1n$, et les deux bornes tendent vers 1 ; ainsi $1+\frac{\sin n}{n}\to1$.

💡 Astuce mémo

Deux gendarmes resserrent leurs bornes autour de la suite centrale

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des théorèmes de limites