Fiche de révision : Vecteurs et mesures algébriques

📋 Plan du Cours

1. Mesure algébrique sur une droite
2. Opérations sur les vecteurs
3. Différence de deux vecteurs
4. Combinaisons linéaires
5. Parallélogramme et vecteurs
6. Norme d’un vecteur

📖 1. Mesure algébrique sur une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesure algébrique : La mesure algébrique du couple de points (A ; B), relativement à un vecteur directeur unitaire i, est l’unique nombre réel noté AB tel que le vecteur AB soit égal à AB multiplié par i.

★ À maîtriser

📌 La mesure algébrique d’un couple de points peut être positive, négative ou nulle, tandis qu’une distance est positive.

📌 La mesure algébrique d’un couple de points ne peut être définie que sur une droite orientée par le choix d’un vecteur directeur unitaire.

Compléments

• Relativement à i, les mesures algébriques indiquées sont AB = 9, BC = -5 et CD = 2.

💡 Astuce mémo

Distance toujours positive, mesure algébrique positive, négative ou nulle

📖 2. Opérations sur les vecteurs

★ À maîtriser

• L’addition vectorielle est commutative et associative : u + v = v + u et (u + v) + w = u + (v + w).

• Le vecteur nul est l’élément neutre de l’addition vectorielle, car u + 0 = u, et tout vecteur vérifie u + (-u) = 0.

• La multiplication vectorielle par un réel est distributive : λ(u + v) = λu + λv et (λ + μ)u = λu + μu.

Compléments

📌 Pour tout vecteur u, 1u = u et λ0 = 0.

📖 3. Différence de deux vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Différence de deux vecteurs : La différence des vecteurs u et v est le vecteur u − v défini par u − v = u + (−v).

💡 Astuce mémo

Opposé du second vecteur → addition pour obtenir la différence

📖 4. Combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison linéaire : Une combinaison linéaire des vecteurs u et v est tout vecteur de la forme λu + μv, où λ et μ sont des nombres réels appelés coefficients respectifs de u et v.

📝 Points essentiels

• Si w = −2u + 3v, alors w est une combinaison linéaire de u et v de coefficients respectifs −2 et 3.

📖 5. Parallélogramme et vecteurs

📝 Points essentiels

📌 Pour un quadrilatère ABCD, les énoncés « ABCD est un parallélogramme », « AD = BC » et « les segments [AC] et [DB] ont le même milieu » sont présentés comme équivalents dans le cours.

💡 Astuce mémo

Côtés opposés égaux ou diagonales de même milieu → parallélogramme

📖 6. Norme d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur u dont un représentant est le couple (A ; B) est la distance AB, notée ||u||.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La norme d’un vecteur vérifie $\|\vec{u}\| = AB$ lorsque (A ; B) est un représentant de u.

💡 Astuce mémo

Un vecteur représenté par une flèche dont la norme est la longueur du segment