Fiche de révision : Révisions de calcul numérique

📋 Plan du Cours

1. Puissances et règles de calcul
2. Puissances de dix
3. Addition de fractions
4. Multiplication et division de fractions
5. Simplification et égalité des fractions
6. Décomposition en facteurs premiers
7. Nombres relatifs et signes
8. Calculs avec nombres relatifs
9. Programmes et expressions littérales

📖 1. Puissances et règles de calcul

★ À maîtriser

• Pour multiplier des puissances de même base, on conserve la base et on additionne les exposants : $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

• Pour diviser des puissances de même base non nulle, on conserve la base et on soustrait les exposants : $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

• Pour élever une puissance à une puissance, on conserve la base et on multiplie les exposants : $(a^m)^p=a^{m\times p}$.

Compléments

• Avec un exposant négatif, on peut obtenir une puissance positive en appliquant la règle de la puissance d’une puissance : $(2^{-3})^{-5}=2^{15}$.

💡 Astuce mémo

Produit : on additionne les exposants ; quotient : on les soustrait ; puissance d’une puissance : on les multiplie.

📖 2. Puissances de dix

★ À maîtriser

• Les puissances de dix vérifient notamment $10^6=1\,000\,000$, $10^{12}=1\,000\,000\,000\,000$ et $10^0=1$.

• Les puissances de dix d’exposant négatif sont des inverses : $10^{-3}=0{,}001$ et $10^{-4}=0{,}0001$.

Compléments

📐 Formule — Un produit de puissances de dix se calcule en additionnant les exposants : $10^7\times10^5=10^{12}$.

💡 Astuce mémo

Exposant positif : déplacement vers les grands nombres ; exposant négatif : déplacement vers les petits nombres.

📖 3. Addition de fractions

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des fractions, on les met d’abord au même dénominateur, puis on additionne ou soustrait les numérateurs en conservant ce dénominateur.

Compléments

• Pour écrire une fraction avec le dénominateur 15, on multiplie numérateur et dénominateur par le même nombre, par exemple $\frac13=\frac{1\times5}{3\times5}=\frac5{15}$.

• L’égalité $\frac13+\frac25=\frac38$ est fausse, car les fractions doivent être transformées avec un dénominateur commun avant l’addition.

💡 Astuce mémo

Dénominateur commun, transformation des fractions, puis addition ou soustraction des numérateurs.

📖 4. Multiplication et division de fractions

★ À maîtriser

📌 Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac ab\times\frac cd=\frac{ac}{bd}$.

📌 Pour diviser par une fraction non nulle, on multiplie par son inverse : $\frac ab\div\frac cd=\frac ab\times\frac dc$.

• Pour calculer une fraction d’une quantité, on multiplie la fraction par cette quantité.

Compléments

• Le calcul $\frac34\div\frac25$ donne $\frac34\times\frac52=\frac{15}{8}$.

💡 Astuce mémo

Multiplier des fractions se fait directement ; diviser revient à multiplier par l’inverse.

📖 5. Simplification et égalité des fractions

★ À maîtriser

📌 Une fraction reste équivalente lorsqu’on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

• Pour simplifier une fraction, on décompose ou repère les facteurs communs au numérateur et au dénominateur, puis on les divise par ces facteurs communs.

📌 Pour vérifier que deux fractions sont égales, on peut comparer les produits en croix : $\frac ab=\frac cd$ si et seulement si $a\times d=b\times c$.

Compléments

• La fraction $\frac{126}{72}$ se simplifie en $\frac74$.

💡 Astuce mémo

Diviser numérateur et dénominateur par un même facteur non nul → fraction équivalente et éventuellement irréductible.

📖 6. Décomposition en facteurs premiers

★ À maîtriser

• Pour décomposer un nombre en facteurs premiers, on le divise successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1, puis on écrit le produit de tous les diviseurs utilisés.

• La décomposition de 630 en facteurs premiers est $630=2\times3^2\times5\times7$.

Compléments

• La décomposition de 5 005 en facteurs premiers est $5\,005=5\times7\times11\times13$.

• Les nombres premiers inférieurs à 30 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 et 23.

💡 Astuce mémo

Diviser successivement par des nombres premiers jusqu’à obtenir 1.

📖 7. Nombres relatifs et signes

★ À maîtriser

• La somme de deux nombres positifs est positive et la somme de deux nombres négatifs est négative.

• Le produit ou le quotient de nombres relatifs est positif si le nombre de facteurs ou diviseurs négatifs est pair, et négatif s’il est impair.

• L’opposé d’un nombre positif est négatif, tandis que l’opposé d’un nombre négatif est positif.

Compléments

• Le produit de quatre nombres positifs et de trois nombres négatifs est négatif, car il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Somme et différence dépendent des valeurs ; produit et quotient dépendent surtout du nombre de signes négatifs.

📖 8. Calculs avec nombres relatifs

★ À maîtriser

• 🔄 L’ordre des priorités est:
  1. Parenthèses
  2. Puissances
  3. Multiplications et divisions
  4. Additions et soustractions

Compléments

• Le calcul $-2\times(-3)\times7\times(-10)$ donne $-420$.

• Dans l’expression $\frac{-11^2}{2\times(-5)}$, le résultat obtenu est 12,1.

📌 Dans une expression littérale, un signe moins devant une parenthèse change le signe de chacun des termes contenus dans cette parenthèse.

💡 Astuce mémo

Parenthèses, puissances, multiplications-divisions, additions-soustractions.

📖 9. Programmes et expressions littérales

★ À maîtriser

• Pour traduire un programme de calcul en expression littérale, on remplace chaque étape par l’opération correspondante appliquée au nombre de départ.

• Le programme « choisir un nombre, ajouter -5, multiplier par -4, soustraire 30 » donne, pour un nombre de départ x, l’expression $R=(x-5)\times(-4)-30$.

Compléments

• Pour retrouver le nombre de départ d’un programme de calcul, on effectue les opérations inverses dans l’ordre inverse.

📌 Dans un tableur, une formule recopiée vers le bas permet d’appliquer automatiquement le même calcul aux lignes suivantes.

💡 Astuce mémo

Choisir, transformer, calculer : chaque étape du programme devient une opération dans l’expression.

📊 Tableaux de synthèse

Règles des puissances