QCM : Vecteurs et opérations vectorielles (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Si l’on inverse l’ordre de deux vecteurs dans une somme, quelle propriété de l’addition permet de conserver le même résultat ?

La propriété d’opposition : AB→+BA→=0⃗\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}
La relation de Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
L’associativité : (u⃗+v⃗)+w⃗=u⃗+(v⃗+w⃗)(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})
La commutativité : u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}

La commutativité : $$\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}$$

Explication

La commutativité autorise à échanger l’ordre des deux vecteurs additionnés sans changer la somme. L’associativité concerne le regroupement de trois vecteurs, pas l’inversion de deux termes.

2. Quel vecteur est l’opposé de AB→\overrightarrow{AB} ?

−BA→-\overrightarrow{BA}
AB→\overrightarrow{AB}
AA→\overrightarrow{AA}
BA→\overrightarrow{BA}

$$\overrightarrow{BA}$$

Explication

L’opposé de AB→\overrightarrow{AB} est BA→\overrightarrow{BA}, ce qui s’écrit BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}. AB→\overrightarrow{AB} conserve le sens initial et n’est donc pas son opposé.

3. Pour calculer la différence u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v}, quelle opération vectorielle faut-il effectuer ?

Soustraire l’opposé de u⃗\vec{u} à v⃗\vec{v}, soit v⃗−(−u⃗)\vec{v}-(-\vec{u}).
Ajouter l’opposé de v⃗\vec{v} à u⃗\vec{u}, soit u⃗+(−v⃗)\vec{u}+(-\vec{v}).
Ajouter v⃗\vec{v} à u⃗\vec{u}, soit u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}.
Ajouter deux fois u⃗\vec{u} puis retrancher v⃗\vec{v}, soit 2u⃗−v⃗2\vec{u}-\vec{v}.

Ajouter l’opposé de $$\vec{v}$$ à $$\vec{u}$$, soit $$\vec{u}+(-\vec{v})$$.

Explication

La différence u⃗−v⃗\vec{u}-\vec{v} se définit comme la somme de u⃗\vec{u} et de l’opposé de v⃗\vec{v}. Ajouter directement v⃗\vec{v} correspond à la somme u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}, et non à la différence.

4. Quelle somme de vecteurs associés à deux points AA et BB donne le vecteur nul ?

AA→+AB→\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}
AB→+AB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AB}
AB→+BA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}
BA→+BA→\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BA}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}$$

Explication

Les vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et BA→\overrightarrow{BA} sont de sens contraires et leur somme vaut AA→=0⃗\overrightarrow{AA}=\vec{0}. Additionner deux fois AB→\overrightarrow{AB} ne produit pas cette annulation.

5. Pour caractériser AB→\overrightarrow{AB}, quelle propriété est indiquée par la flèche et non par la droite (AB)(AB) ?

Sa norme, égale à la longueur ABAB
Sa direction
Sa longueur, égale à celle de toute droite parallèle à (AB)(AB)
Son sens

Son sens

Explication

La flèche indique le sens du vecteur, tandis que la droite (AB)(AB) en donne la direction. La norme est la longueur ABAB, et non une propriété donnée par la flèche.

6. En suivant les points AA, BB puis CC, quel vecteur représente le déplacement total ?

AC→\overrightarrow{AC}, car AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
AB→\overrightarrow{AB}, car AB→+BC→=AB→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AB}
CA→\overrightarrow{CA}, car AB→+BC→=CA→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}
BC→\overrightarrow{BC}, car AB→+BC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BC}

$$\overrightarrow{AC}$$, car $$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles donne AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} : les deux déplacements successifs équivalent au déplacement direct de AA vers CC. Le vecteur CA→\overrightarrow{CA} décrit le trajet inverse.

7. Quel déplacement définit la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}, lorsque AA et BB sont distincts ?

Celui qui transforme le point AA en un point situé à la même distance de BB
Celui qui déplace chaque point vers une droite parallèle à (AB)(AB) sans préciser son image
Celui qui transforme le point BB en point AA
Celui qui transforme le point AA en point BB

Celui qui transforme le point $$A$$ en point $$B$$

Explication

La translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} déplace AA vers BB. Le déplacement de BB vers AA correspond au vecteur opposé.

8. Dans un parallélogramme ABCDABCD, à quel vecteur est égal AB→+AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC} ?

DA→\overrightarrow{DA}
CB→\overrightarrow{CB}
BC→\overrightarrow{BC}
AD→\overrightarrow{AD}

$$\overrightarrow{AD}$$

Explication

Dans un parallélogramme ABCDABCD, la relation vectorielle est AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}. BC→\overrightarrow{BC} est un côté du parallélogramme, mais il n’est pas le résultat de cette somme.

9. Comment l’opposé −u⃗-\vec{u} se distingue-t-il de u⃗\vec{u} ?

Il conserve la direction et le sens, mais sa norme est différente.
Il conserve la direction et la norme, mais son sens est contraire.
Il conserve le sens et la norme, mais sa direction est différente.
Il change de direction et de sens, mais conserve la norme.

Il conserve la direction et la norme, mais son sens est contraire.

Explication

L’opposé d’un vecteur a la même direction et la même norme, mais un sens contraire. Un vecteur de même sens mais de direction différente n’est donc pas l’opposé décrit ici.

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Mémorisez les réponses avec 13 flashcards sur Vecteurs et opérations vectorielles.

Que transforme en B la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Le point A.

Quelles sont les trois caractéristiques du vecteur AB→\overrightarrow{AB} pour A≠BA \ne B ?

Son sens, sa norme et sa direction.

Comment la flèche détermine-t-elle le sens du vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Elle indique son sens.

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