QCM : Vecteurs et translations (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour construire l’image D d’un point C par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB}, quelle propriété des segments doit-on vérifier ?

Les segments [AC] et [BD] ont la même longueur.
Les segments [AC] et [BD] sont parallèles.
Les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.
Les segments [AB] et [CD] ont le même milieu.

Les segments [AD] et [BC] ont le même milieu.

Explication

La translation est définie ici par l’égalité des milieux des segments [AD] et [BC]. Le fait que [AC] et [BD] aient la même longueur ne suffit pas à caractériser cette construction.

2. Un point D est-il l’image de C par la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} lorsque le quadrilatère ABDC est un parallélogramme ?

Non, car cette condition exige que les quatre côtés soient de même longueur.
Oui, à condition que le quadrilatère soit un rectangle non aplati.
Oui, car cette condition caractérise la translation, même si le parallélogramme est aplati.
Non, car il faudrait que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme.

Oui, car cette condition caractérise la translation, même si le parallélogramme est aplati.

Explication

Le quadrilatère ABDC doit être un parallélogramme pour que D soit l’image de C par cette translation, et il peut être aplati. Un rectangle n’est pas requis, car l’égalité des angles droits n’intervient pas dans la caractérisation.

3. Quelles caractéristiques définissent le vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

La direction de (AB), le milieu de [AB] et la distance de A à l’origine du repère.
La direction de (AB), le sens de A vers B et la longueur AB.
La direction de (AB), le sens de A vers B et le milieu de [AB].
La direction de (AB), le sens de B vers A et la longueur AB.

La direction de (AB), le sens de A vers B et la longueur AB.

Explication

Un vecteur est caractérisé par sa direction, son sens et sa longueur, qui valent ici ceux associés à A et B. Le sens de B vers A correspondrait au vecteur opposé, et non à AB→\overrightarrow{AB}.

4. Deux vecteurs de même longueur mais de sens opposés peuvent-ils être égaux ?

Non, car l’égalité exige aussi qu’ils aient le même sens et la même direction.
Oui, car une longueur identique suffit à établir l’égalité des vecteurs.
Non, car l’égalité exige une même origine en plus d’une même longueur.
Oui, si leurs directions sont identiques, même lorsque leurs sens s’opposent.

Non, car l’égalité exige aussi qu’ils aient le même sens et la même direction.

Explication

Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même longueur : un sens opposé exclut donc l’égalité. Une origine commune n’est pas une condition de leur égalité.

5. Une translation de vecteur u⃗\vec u est suivie d’une translation de vecteur v⃗\vec v. À quoi correspond la somme u⃗+v⃗\vec u+\vec v ?

À un vecteur dont la direction est celle de u⃗\vec u, quelle que soit v⃗\vec v.
Au vecteur de la translation qui applique d’abord v⃗\vec v, puis u⃗\vec u.
À un vecteur dont la longueur est la somme des longueurs de u⃗\vec u et v⃗\vec v.
Au vecteur de la translation résultant de l’enchaînement des deux translations.

Au vecteur de la translation résultant de l’enchaînement des deux translations.

Explication

La somme représente le vecteur associé à la translation de vecteur u⃗\vec u suivie de celle de vecteur v⃗\vec v. Elle ne se définit pas par la simple addition des longueurs, car les directions et les sens des vecteurs comptent.

6. En enchaînant le déplacement de A vers B puis celui de B vers C, quel vecteur obtient-on ?

BC→\overrightarrow{BC}
CA→\overrightarrow{CA}
AB→\overrightarrow{AB}
AC→\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AC}$$

Explication

La relation de Chasles donne AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC} : l’enchaînement va directement de A à C. CA→\overrightarrow{CA} décrit le déplacement inverse.

7. Quelle propriété définit le vecteur opposé −u⃗-\vec u d’un vecteur u⃗\vec u ?

La somme u⃗+(−u⃗)\vec u+(-\vec u) est égale à u⃗\vec u, et cet opposé est unique.
Le produit d’un vecteur par −1-1 conserve son sens et sa norme, et cet opposé est unique.
La somme u⃗+(−u⃗)\vec u+(-\vec u) est le vecteur nul, et cet opposé est unique.
La différence u⃗−(−u⃗)\vec u-(-\vec u) est le vecteur nul, et cet opposé est unique.

La somme $$\vec u+(-\vec u)$$ est le vecteur nul, et cet opposé est unique.

Explication

Le vecteur opposé est l’unique vecteur qui, additionné à u⃗\vec u, donne le vecteur nul. Un vecteur de même sens que u⃗\vec u ne peut pas annuler sa somme avec lui.

8. Comment peut-on réécrire la différence u⃗−v⃗\vec u-\vec v à l’aide d’une addition ?

Comme u⃗+(−v⃗)\vec u+(-\vec v).
Comme (−u⃗)+v⃗(-\vec u)+\vec v.
Comme (−u⃗)+(−v⃗)(-\vec u)+(-\vec v).
Comme u⃗+v⃗\vec u+\vec v.

Comme $$\vec u+(-\vec v)$$.

Explication

Soustraire v⃗\vec v revient à ajouter son opposé, ce qui donne u⃗+(−v⃗)\vec u+(-\vec v). Ajouter v⃗\vec v sans changer son sens correspond plutôt à une somme de vecteurs.

9. Pour trois points A, B et C, quelle condition équivaut à l’égalité AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD} ?

ACBD est un parallélogramme.
ADBC est un parallélogramme.
ABDC est un parallélogramme.
ABCD est un parallélogramme.

ABDC est un parallélogramme.

Explication

La somme des vecteurs AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} est égale à AD→\overrightarrow{AD} si et seulement si ABDC est un parallélogramme. Changer l’ordre des sommets modifie la figure désignée et ne respecte pas nécessairement cette condition.

10. Les points A, B, C et D forment un parallélogramme ABDC. Quelle égalité vectorielle en découle ?

AB→+AC→=BC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}
AC→+AD→=AB→\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}
AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}
AB→+AD→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC}

$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$$

Explication

Dans le parallélogramme ABDC, la règle du parallélogramme donne AB→+AC→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}. Remplacer le vecteur résultant par BC→\overrightarrow{BC} confond une diagonale issue de A avec un côté.

11. Si k>0k>0, comment le vecteur ku⃗k\vec u se compare-t-il à u⃗\vec u ?

Il a la même direction et le sens contraire, et sa norme vaut kk fois celle de u⃗\vec u.
Il a la même direction et le même sens, et sa norme vaut celle de u⃗\vec u divisée par kk.
Il a une direction perpendiculaire et le même sens, et sa norme vaut kk fois celle de u⃗\vec u.
Il a la même direction et le même sens, et sa norme vaut kk fois celle de u⃗\vec u.

Il a la même direction et le même sens, et sa norme vaut $$k$$ fois celle de $$\vec u$$.

Explication

Pour un réel positif kk, la multiplication conserve la direction et le sens du vecteur, tandis que la norme est multipliée par kk. Un sens contraire caractérise plutôt une multiplication par un réel négatif.

12. Un vecteur u⃗\vec u a une norme de 3 unités et l’on choisit k=2k=2. Quelles sont la direction, le sens et la norme de 2u⃗2\vec u ?

La même direction et le même sens que u⃗\vec u, avec une norme de 5 unités.
Une direction perpendiculaire à u⃗\vec u, avec une norme de 6 unités.
La même direction et le même sens que u⃗\vec u, avec une norme de 6 unités.
La même direction et le sens contraire à u⃗\vec u, avec une norme de 6 unités.

La même direction et le même sens que $$\vec u$$, avec une norme de 6 unités.

Explication

Comme 2>02>0, le vecteur obtenu garde la direction et le sens de u⃗\vec u, et sa norme devient 2×3=62\times3=6 unités. Une norme de 5 unités correspondrait à ajouter 2 plutôt qu’à multiplier par 2.

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Comment la translation de vecteur AB→\overrightarrow{AB} définit-elle le point image de C ?

Elle associe à C le point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu.

Quelles caractéristiques définissent le vecteur AB→\overrightarrow{AB} ?

Sa direction est celle de (AB)(AB), son sens va de A vers B et sa longueur est AB.

À quelles conditions deux vecteurs sont-ils égaux ?

Ils ont même direction, même sens et même longueur.

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