Fiche de révision : Vecteurs et translations

📋 Plan du Cours

1. Translations et parallélogrammes
2. Caractéristiques et égalité des vecteurs
3. Somme et relation de Chasles
4. Vecteurs opposés et différence
5. Règle du parallélogramme
6. Multiplication par un réel

📖 1. Translations et parallélogrammes

🔑 Notions clés & Définitions

• Translation de vecteur AB : La translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ associe à tout point C le point D tel que [AD] et [BC] aient le même milieu.

📝 Points essentiels

📌 Le point D est l’image de C par la translation de vecteur $\overrightarrow{AB}$ si et seulement si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

💡 Astuce mémo

Quatre sommets en parallélogramme relient le déplacement de A vers B à celui de C vers D.

📖 2. Caractéristiques et égalité des vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur : Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par la direction de la droite (AB), le sens de A vers B et la longueur AB.
• Égalité de vecteurs : Deux vecteurs ont même direction, même sens et même longueur.
• Vecteur nul : Le vecteur $\overrightarrow{AA}$ n’a ni direction ni sens et sa longueur est égale à 0 ; il est noté $\overrightarrow{0}$.

📝 Points essentiels

📌 Les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont égaux si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati.

📌 I est le milieu de [AB] si et seulement si $\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IB}$.

• Dans un vecteur $\overrightarrow{AB}$, A est l’origine et B l’extrémité ; un vecteur peut avoir une infinité de représentants égaux, que l’on peut nommer par une lettre minuscule comme $\vec u$.

💡 Astuce mémo

D-S-N : direction, sens, norme

📖 3. Somme et relation de Chasles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : La somme $\vec u+\vec v$ est le vecteur correspondant à l’enchaînement de la translation de vecteur $\vec u$ suivie de celle de vecteur $\vec v$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous points A, B et C du plan, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$.

Compléments

📌 Pour tout point A, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AA}=\overrightarrow{0}$.

📌 La somme de deux vecteurs peut se construire bout à bout avec la relation de Chasles, ou avec la règle du parallélogramme lorsque les vecteurs ont la même origine.

💡 Astuce mémo

A → B → C : les vecteurs AB puis BC donnent AC.

📖 4. Vecteurs opposés et différence

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur opposé : Le vecteur opposé de $\vec u$ est l’unique vecteur $-\vec u$ tel que $\vec u+(-\vec u)=\vec 0$.
• Différence de vecteurs : La différence de deux vecteurs est définie par $\vec u-\vec v=\vec u+(-\vec v)$.

📝 Points essentiels

📌 Deux vecteurs opposés ont la même direction et la même longueur, mais des sens contraires.

💡 Astuce mémo

Même direction et même longueur, mais sens contraires : AB et BA.

📖 5. Règle du parallélogramme

📝 Points essentiels

📌 Pour trois points A, B et C, $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Deux vecteurs issus du même sommet remplissent les côtés d’un parallélogramme.

📖 6. Multiplication par un réel

📝 Points essentiels

📌 Pour $k>0$, le vecteur $k\vec u$ a la même direction et le même sens que $\vec u$, et sa norme vaut k fois celle de $\vec u$.

💡 Astuce mémo

Le signe de k conserve ou inverse le sens, tandis que |k| règle la longueur.