Fiche de révision : Vocabulaire ensembliste et applications

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et inclusions
2. Ensembles finis et produits
3. Opérations sur les parties
4. Applications et familles
5. Indicatrices et partitions d’ensembles
6. Composition et bijections
7. Images directes et réciproques
8. Relations d’équivalence et d’ordre

📖 1. Ensembles et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets rassemblés par une propriété commune, dont les éléments sont considérés sans ordre et sans répétition.
• Inclusion : L’inclusion A ⊂ B signifie que tout élément de A appartient à B, soit A ⊂ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B.

★ À maîtriser

📌 Pour un ensemble défini par E = {x / P(x)}, un élément x appartient à E si et seulement si P(x) est vérifiée.

📌 Deux ensembles A et B sont égaux si et seulement si A ⊂ B et B ⊂ A ; leur égalité se démontre donc par double inclusion.

Compléments

📌 Un ensemble se définit explicitement en énumérant ses éléments ou implicitement en donnant une propriété caractéristique de ses éléments.

• La notation x ∈ E signifie que x appartient à E, tandis que x ∉ E signifie que x n’appartient pas à E.

• La négation de A ⊂ B s’écrit A ⊄ B ⇔ ∃x ∈ A tel que x ∉ B.

📖 2. Ensembles finis et produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble vide : Ensemble noté ∅, inclus dans tout ensemble et seul ensemble de cardinal 0.
• Produit cartésien : Ensemble des couples (a, b) tels que a ∈ A et b ∈ B.
• Ensemble des parties : Ensemble noté P(E), qui contient exactement les sous-ensembles de E, de sorte que A ∈ P(E) ⇔ A ⊂ E.
• Singleton : Ensemble qui contient un unique élément, a cardinal 1 et peut se noter {a}.
• Paire : Ensemble de deux éléments distincts, de cardinal 2, qui peut se noter {a, b} avec a ≠ b.
• n-uplet : Un n-uplet (a₁, …, aₙ) appartient au produit A₁ × … × Aₙ lorsque aᵢ ∈ Aᵢ pour chaque indice i de 1 à n.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles {a, b} et {b, a} sont égaux, alors que les couples (a, b) et (b, a) ne sont pas interchangeables en général.

Compléments

📐 Formule - Si E est fini et de cardinal n, alors $\operatorname{card}(P(E)) = 2^n$.

💡 Astuce mémo

Dans une paire, l’ordre ne compte pas ; dans un couple, il compte.

📖 3. Opérations sur les parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B : A ∩ B = {x ∈ E / x ∈ A et x ∈ B}.
• Réunion : La réunion de A et B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B : A ∪ B = {x ∈ E / x ∈ A ou x ∈ B}.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E, noté Ā, est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

★ À maîtriser

• La différence A \ B contient les éléments de A qui n’appartiennent pas à B et vérifie A \ B = A ∩ B̄.

Compléments

• L’intersection A ∩ B est incluse dans A et dans B.

• En mathématiques, « A ou B » est inclusif : A, B ou les deux peuvent être vrais.

• Le complémentaire de A dans E vérifie A ∪ Ā = E et A ∩ Ā = ∅.

• Les lois de De Morgan donnent $\overline{A \cap B}^{\,E} = \overline{A}^{\,E} \cup \overline{B}^{\,E}$ et $\overline{A \cup B}^{\,E} = \overline{A}^{\,E} \cap \overline{B}^{\,E}$.

📐 Formule - Pour A, B et C ⊂ E, $(A \setminus C) \setminus (B \setminus C) = A \setminus (B \cup C)$.

📖 4. Applications et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Procédé qui associe à tout x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F, appelé image de x par f.
• Graphe : Ensemble G = {(x, f(x)) : x ∈ E}, inclus dans E × F.
• Famille indexée : Une famille d’éléments de E indexée par I est une application de I dans E et se note (xᵢ)ᵢ∈I.
• Application bien définie : Application pour laquelle f(x) peut être calculé de manière unique et appartient à F pour tout x ∈ E.
• Restriction : La restriction de f : E → F à A ⊂ E, notée f|ₐ, est l’application de A dans F définie par f|ₐ(x) = f(x).
• Prolongement : Si E ⊂ B, un prolongement de f : E → F à B est une application f̃ : B → F telle que f̃(x) = f(x) pour tout x ∈ E.
• Réunion indexée : Pour une famille (Aᵢ)ᵢ∈I de parties de E, sa réunion est ⋃ᵢ∈I Aᵢ = {x ∈ E : ∃i ∈ I, x ∈ Aᵢ}.
• Intersection indexée : Pour une famille (Aᵢ)ᵢ∈I de parties de E, son intersection est ⋂ᵢ∈I Aᵢ = {x ∈ E : ∀i ∈ I, x ∈ Aᵢ}.

★ À maîtriser

• Une application est déterminée par son ensemble de départ, son ensemble d’arrivée et le procédé qui associe les images.

📌 Deux applications f : E → F et g : E′ → F′ sont égales si et seulement si E = E′, F = F′ et f(x) = g(x) pour tout x ∈ E.

Compléments

• Dans la relation y = f(x), y est l’image de x par f et x est un antécédent de y par f.

• Pour une fonction définie sur une partie A de ℝ, sa courbe représentative dans un repère est l’ensemble des points de coordonnées (x, f(x)) lorsque x parcourt A.

• Un prolongement d’une application n’est pas nécessairement unique.

• Une suite (uₙ)ₙ∈ℕ est une famille d’éléments de ℝ indexée par ℕ.

📖 5. Indicatrices et partitions d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction indicatrice : Application de E vers {0,1} qui vaut 1 si x appartient à A et 0 sinon.
• Partition : Une famille (X_i)_{i∈I} de parties de E est une partition de E si chaque X_i est non vide, si les parties deux à deux distinctes sont disjointes et si leur union est E.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour A,B ⊂ E, les fonctions indicatrices vérifient $A=B\iff 1_A=1_B$, $1_{\overline A}=1-1_A$, $1_{A\cap B}=1_A1_B$, $1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_{A\cap B}$ et $1_{A\setminus B}=1_A-1_A1_B$.

Compléments

• La famille des intervalles [n,n+1[, pour n∈ℤ, est une partition de ℝ.

📖 6. Composition et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Composition : Application g∘f:E→G définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Injection : Une application f:E→F est injective si tout élément de F a au plus un antécédent, ce qui équivaut à f(x)=f(y)⇒x=y.
• Surjection : Une application f:E→F est surjective si tout élément de F a au moins un antécédent, ce qui équivaut à f(E)=F.
• Bijection : Une application f:E→F est bijective si elle est injective et surjective, c’est-à-dire si tout élément de F possède un unique antécédent par f.
• Application réciproque : Si f:E→F est bijective, son application réciproque f⁻¹:F→E associe à chaque y l’unique x tel que f(x)=y, et vérifie f∘f⁻¹=id_F et f⁻¹∘f=id_E.

★ À maîtriser

📌 La composition des applications n’est généralement pas commutative, mais elle est associative : h∘(g∘f)=(h∘g)∘f lorsque les domaines et codomaines sont compatibles.

Compléments

📌 La composée de deux applications injectives est injective, la composée de deux surjections est surjective et la composée de deux bijections est bijective ; dans ce dernier cas, (g∘f)⁻¹=f⁻¹∘g⁻¹.

📌 Si g:F→E vérifie g∘f=id_E et f∘g=id_F, alors f est bijective et g=f⁻¹.

📖 7. Images directes et réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Image directe : L’image directe d’une partie A⊂E par f:E→F est la partie f(A)={f(x) | x∈A} de F.
• Image réciproque : L’image réciproque d’une partie B⊂F par f:E→F est la partie f⁻¹(B)={x∈E | f(x)∈B} de E, que f soit bijective ou non.

📝 Points essentiels

📌 Pour y∈F, y∈f(A) si et seulement s’il existe x∈A tel que y=f(x) ; de plus, f(∅)=∅ et A⊂B entraîne f(A)⊂f(B).

📌 Pour x∈E, x∈f⁻¹(B) si et seulement si f(x)∈B ; f⁻¹(∅)=∅, f⁻¹(F)=E et A⊂B entraîne f⁻¹(A)⊂f⁻¹(B).

• Pour b∈F, f⁻¹(b) n’a pas de sens si f n’est pas une application réciproque, tandis que f⁻¹({b}) désigne l’ensemble des x∈E tels que f(x)=b.

📖 8. Relations d’équivalence et d’ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’équivalence : Une relation d’équivalence sur E est une relation réflexive, symétrique et transitive.
• Relation d’ordre : Une relation d’ordre sur E est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
• Ordre total : Un ordre R sur E est total si deux éléments quelconques de E sont toujours comparables, c’est-à-dire si xRy ou yRx.
• Relation réflexive : Une relation R sur E est réflexive si tout élément x de E vérifie xRx.
• Relation symétrique : Une relation R sur E est symétrique si xRy entraîne yRx pour tous x,y∈E.
• Relation antisymétrique : Une relation R sur E est antisymétrique si xRy et yRx entraînent x=y pour tous x,y∈E.
• Relation transitive : Une relation R sur E est transitive si xRy et yRz entraînent xRz pour tous x,y,z∈E.
• Classe d’équivalence : La classe d’équivalence de x pour une relation d’équivalence R est Cl(x)={y∈E | xRy}.

📝 Points essentiels

• L’ordre de divisibilité sur ℕ n’est pas total, car ni 3 ne divise 4 ni 4 ne divise 3.

💡 Astuce mémo

L’équivalence exige la symétrie ; l’ordre exige l’antisymétrie.