QCM : Vocabulaire ensembliste et applications (11 questions)

Question 1

1. Lorsqu’on décrit un ensemble en mathématiques, quelle propriété caractérise ses éléments ?

Ils sont rassemblés par une propriété commune, avec répétition possible.

Ils sont rassemblés par une propriété commune, sans ordre ni répétition.

Ils sont distingués par leur position, même s’ils partagent une propriété.

Ils sont rangés selon un ordre déterminé, sans répétition.

Explication

Un ensemble rassemble des objets ayant une propriété commune, et ses éléments sont considérés sans ordre ni répétition. L’ordre, les répétitions possibles et la position dans une liste caractérisent d’autres façons de représenter des objets, pas la définition d’un ensemble.

Answer

Ils sont rassemblés par une propriété commune, sans ordre ni répétition.

Question 2

2. Deux ensembles A et B sont décrits de façons différentes. Quelle démarche permet de démontrer qu’ils sont égaux ?

Démontrer qu'A est inclus dans B et que B est inclus dans A.

Démontrer qu'A et B n’ont aucun élément commun.

Démontrer qu'A et B ont le même nombre d’éléments.

Démontrer qu'A est inclus dans B, sans vérifier l’inclusion inverse.

Explication

Deux ensembles sont égaux si et seulement si chacun est inclus dans l’autre : il faut donc établir la double inclusion. Une inclusion dans un seul sens ou l’égalité des cardinaux ne suffit pas à établir cette égalité, et une intersection vide ne la démontre pas.

Answer

Démontrer qu'A est inclus dans B et que B est inclus dans A.

Question 3

3. On compare les deux écritures {p, q} et (p, q), avec p et q distincts. Quelle affirmation distingue correctement l’ensemble de la paire ordonnée ?

Échanger p et q laisse l’ensemble inchangé, mais peut changer le couple.

Échanger p et q laisse inchangés l’ensemble et le couple.

Échanger p et q change l’ensemble et le couple de la même façon.

Échanger p et q change l’ensemble, mais laisse le couple inchangé.

Explication

Les éléments d’un ensemble ne sont pas ordonnés, tandis que l’ordre des composantes d’un couple compte : {p, q} = {q, p}, mais (p, q) et (q, p) ne sont pas interchangeables en général. La confusion entre ensemble et couple ordonné inverse cette distinction.

Answer

Échanger p et q laisse l’ensemble inchangé, mais peut changer le couple.

Question 4

4. Pour un ensemble E et une partie A, quelle condition permet de conclure qu'A appartient à l’ensemble des parties P(E) ?

E est un sous-ensemble de A.

A est un élément de E.

A est un couple d’éléments de E.

A est un sous-ensemble de E.

Explication

L’ensemble des parties P(E) contient exactement les sous-ensembles de E : A ∈ P(E) équivaut donc à A ⊂ E. Être élément de E n’est pas la même chose qu’être une partie de E, et le produit cartésien désigne une autre construction.

Answer

A est un sous-ensemble de E.

Question 5

5. Que désigne le complémentaire de A dans un ensemble E ?

L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A

L’ensemble des éléments appartenant à la fois à E et à A

L’ensemble des éléments de A qui n’appartiennent pas à E

L’ensemble des éléments de E qui appartiennent à A ou à B

Explication

Le complémentaire de A dans E rassemble les éléments de E qui ne sont pas dans A. La différence A \ B, contrairement au complémentaire, se limite aux éléments de A qui ne sont pas dans B.

Answer

L’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A

Question 6

6. Pour qu’une famille indexée d’éléments de E soit une application, quel est son ensemble d’indexation et quel est son ensemble d’arrivée ?

I est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.

I est l’ensemble de départ et E l’ensemble d’arrivée.

E est l’ensemble de départ et I l’ensemble d’arrivée.

E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.

Explication

Une famille d’éléments de E indexée par I est une application de I dans E. L’option qui fait de E l’ensemble de départ inverse le rôle de l’ensemble des indices et celui des valeurs.

Answer

I est l’ensemble de départ et E l’ensemble d’arrivée.

Question 7

7. Quel rôle joue la fonction indicatrice d’une partie A de E pour un élément x de E ?

Elle indique par une valeur binaire si x appartient à A.

Elle associe à x le nombre d’éléments de A.

Elle associe à x une partie de E contenant A.

Elle indique si x appartient au complémentaire de E.

Explication

La fonction indicatrice prend la valeur 1 lorsque x appartient à A et 0 dans le cas contraire. Elle ne calcule pas le cardinal de A, mais traduit l’appartenance en une valeur binaire.

Answer

Elle indique par une valeur binaire si x appartient à A.

Question 8

8. En quoi l’injectivité et la surjectivité diffèrent-elles quant au nombre d’antécédents des éléments de l’ensemble d’arrivée ?

L’injectivité impose au plus un antécédent par élément, tandis que la surjectivité en garantit au moins un.

L’injectivité garantit au moins un antécédent par élément, tandis que la surjectivité en impose au plus un.

L’injectivité impose exactement un antécédent par élément, tandis que la surjectivité garantit au moins un.

L’injectivité concerne les éléments de départ, tandis que la surjectivité concerne les éléments de départ également.

Explication

L’injectivité empêche deux éléments distincts du domaine d’avoir la même image, tandis que la surjectivité exige que chaque élément du codomaine soit atteint. L’affirmation selon laquelle l’injectivité garantit au moins un antécédent confond cette propriété avec la surjectivité.

Answer

L’injectivité impose au plus un antécédent par élément, tandis que la surjectivité en garantit au moins un.

Question 9

9. Si une fonction n’est pas bijective, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de l’image réciproque d’une partie de son ensemble d’arrivée ?

L’image réciproque reste définie comme l’ensemble des éléments du domaine dont l’image appartient à cette partie.

L’image réciproque n’est définie que lorsque chaque élément de la partie possède un antécédent unique.

L’image réciproque devient l’ensemble des images des éléments de la partie dans le domaine.

L’image réciproque est définie seulement pour les parties contenant toutes les valeurs atteintes par la fonction.

Explication

L’image réciproque d’une partie rassemble les éléments du domaine dont l’image appartient à cette partie, indépendamment de la bijectivité de la fonction. L’unicité des antécédents concerne une fonction bijective, mais n’est pas nécessaire pour former une image réciproque.

Answer

L’image réciproque reste définie comme l’ensemble des éléments du domaine dont l’image appartient à cette partie.

Question 10

10. Sur un ensemble de personnes, on définit la relation « avoir le même âge ». Quelle vérification permet de montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence ?

Vérifier qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.

Vérifier qu’elle est réflexive, antisymétrique et transitive.

Vérifier que toute paire de personnes est comparable.

Vérifier que deux personnes liées sont nécessairement identiques.

Explication

Toute personne a le même âge qu’elle-même, l’égalité des âges est symétrique et elle est transitive : la relation satisfait donc les trois propriétés d’une équivalence. L’antisymétrie est requise pour une relation d’ordre, et non pour une équivalence.

Answer

Vérifier qu’elle est réflexive, symétrique et transitive.

Question 11

11. Quelle est la signification logique de l’inclusion $A \subset B$ entre deux ensembles ?

Tout élément de B appartient aussi à A.

Il existe un élément de A qui n’appartient pas à B.

A et B ont exactement les mêmes éléments.

Tout élément de A appartient aussi à B.

Explication

L’inclusion $A \subset B$ signifie que chaque élément de A est également un élément de B. La présence d’un élément de A extérieur à B caractériserait au contraire la négation de cette inclusion.

Answer

Tout élément de A appartient aussi à B.

QCM : Vocabulaire ensembliste et applications (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Lorsqu’on décrit un ensemble en mathématiques, quelle propriété caractérise ses éléments ?

2. Deux ensembles A et B sont décrits de façons différentes. Quelle démarche permet de démontrer qu’ils sont égaux ?

3. On compare les deux écritures {p, q} et (p, q), avec p et q distincts. Quelle affirmation distingue correctement l’ensemble de la paire ordonnée ?

4. Pour un ensemble E et une partie A, quelle condition permet de conclure qu'A appartient à l’ensemble des parties P(E) ?

5. Que désigne le complémentaire de A dans un ensemble E ?

6. Pour qu’une famille indexée d’éléments de E soit une application, quel est son ensemble d’indexation et quel est son ensemble d’arrivée ?

7. Quel rôle joue la fonction indicatrice d’une partie A de E pour un élément x de E ?

8. En quoi l’injectivité et la surjectivité diffèrent-elles quant au nombre d’antécédents des éléments de l’ensemble d’arrivée ?

9. Si une fonction n’est pas bijective, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de l’image réciproque d’une partie de son ensemble d’arrivée ?

10. Sur un ensemble de personnes, on définit la relation « avoir le même âge ». Quelle vérification permet de montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence ?

11. Quelle est la signification logique de l’inclusion $A \subset B$ entre deux ensembles ?

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Questions et réponses du QCM

1. Lorsqu’on décrit un ensemble en mathématiques, quelle propriété caractérise ses éléments ?

2. Deux ensembles A et B sont décrits de façons différentes. Quelle démarche permet de démontrer qu’ils sont égaux ?

3. On compare les deux écritures {p, q} et (p, q), avec p et q distincts. Quelle affirmation distingue correctement l’ensemble de la paire ordonnée ?

4. Pour un ensemble E et une partie A, quelle condition permet de conclure qu'A appartient à l’ensemble des parties P(E) ?

5. Que désigne le complémentaire de A dans un ensemble E ?

6. Pour qu’une famille indexée d’éléments de E soit une application, quel est son ensemble d’indexation et quel est son ensemble d’arrivée ?

7. Quel rôle joue la fonction indicatrice d’une partie A de E pour un élément x de E ?

8. En quoi l’injectivité et la surjectivité diffèrent-elles quant au nombre d’antécédents des éléments de l’ensemble d’arrivée ?

9. Si une fonction n’est pas bijective, quelle conséquence cela a-t-il pour la définition de l’image réciproque d’une partie de son ensemble d’arrivée ?

10. Sur un ensemble de personnes, on définit la relation « avoir le même âge ». Quelle vérification permet de montrer qu’il s’agit d’une relation d’équivalence ?

11. Quelle est la signification logique de l’inclusion A⊂BA \subset BA⊂B entre deux ensembles ?

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