Fiche de révision : Vocabulaire et tribus

📋 Plan du Cours

1. Droite numérique achevée
2. Sommes de nombres positifs
3. Motivation de la théorie de la mesure
4. Propriétés élémentaires des mesures
5. Boréliens et mesure de Lebesgue
6. Mesurabilité et fonctions étagées
7. Intégrale des fonctions positives
8. Intégrabilité et linéarité
9. Primitives et formules de calcul intégral
10. Intégrales généralisées et critère de Cauchy
11. Continuité et dérivation sous l’intégrale
12. Intégration géométrique et théorème de Fubini
13. Changements de variables et volumes
14. Aires elliptiques et invariance de mesure
15. Normes Lp et inégalité de Hölder
16. Convolution et régularisation
17. Transformation et séries de Fourier
18. Classes monotones et unicité

📖 1. Droite numérique achevée

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble dénombrable : Un ensemble est dénombrable s’il est vide ou si ses éléments peuvent être énumérés comme les termes d’une suite ; pour un ensemble non vide, cela équivaut à l’existence d’une surjection de ℕ sur lui.
• Espace métrique séparable : Un espace métrique est séparable s’il possède un sous-ensemble dénombrable dense.
• Droite numérique achevée : La droite numérique achevée est ℝ auquel on ajoute les deux éléments −∞ et +∞, ordonnés de sorte que −∞ < x < +∞ pour tout x réel.
• Limite supérieure : La limite supérieure d’une suite $(x_n)$ est $\inf_{m\in\mathbb{N}}\sup_{n\ge m}x_n$.
• Limite inférieure : La limite inférieure d’une suite $(x_n)$ est $\sup_{m\in\mathbb{N}}\inf_{n\ge m}x_n$.

★ À maîtriser

• Tout sous-ensemble d’un ensemble dénombrable est dénombrable, et toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable.

• Le produit fini d’ensembles dénombrables est dénombrable ; en particulier, ℕ × ℕ et ℚ sont dénombrables.

• ℝ n’est pas dénombrable ; on peut le démontrer en construisant une suite binaire qui diffère de la n-ième suite donnée à la coordonnée n, méthode appelée diagonale de Cantor.

• Tout sous-ensemble non vide de ℝ achevé possède une borne supérieure et une borne inférieure dans ℝ achevé.

• Toute suite croissante d’éléments de ℝ achevé converge dans ℝ achevé vers sa borne supérieure, et toute suite décroissante converge vers sa borne inférieure.

📌 Une suite d’éléments de ℝ achevé converge si et seulement si sa limite inférieure est égale à sa limite supérieure.

Compléments

• Dans un espace métrique séparable, toute réunion d’ouverts est égale à une réunion dénombrable d’ouverts de la famille initiale, propriété appelée propriété de Lindelöf.

• La limite inférieure d’une suite est toujours inférieure ou égale à sa limite supérieure, et ces deux limites sont respectivement la plus petite et la plus grande valeur d’adhérence de la suite.

📌 Dans ℝ achevé, les conventions d’addition et de multiplication étendent celles de ℝ, mais les formes +∞ + (−∞) et −∞ + +∞ ne sont pas définies, tandis que 0 × (+∞) = 0 × (−∞) = 0.

📖 2. Sommes de nombres positifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre positif : Un nombre positif désigne tout élément de [0,+∞].
• Somme d’une série positive : Pour une suite $(x_i)$ de nombres positifs, sa somme est la limite croissante des sommes partielles : $\sum_{i=0}^{\infty}x_i=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=0}^{n}x_i$.
• Somme d’une famille positive : Pour une famille $(x_i)_{i\in I}$ de nombres positifs indexée par un ensemble non vide, sa somme est le supremum des sommes $\sum_{i\in F}x_i$ lorsque $F$ parcourt les parties finies de $I$.
• Image réciproque : Pour une application $f:\Omega\to\Omega'$ et une partie $A\subseteq\Omega'$, l’image réciproque de $A$ est $f^{-1}(A)=\{x\in\Omega:f(x)\in A\}$, sans que $f$ ait besoin d’être bijective.
• Fonction indicatrice : Pour une partie $A$ d’un ensemble $\Omega$, sa fonction indicatrice $1_A$ vaut 1 sur $A$ et 0 sur son complémentaire.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux familles positives $(x_i)$ et $(y_i)$ indexées par le même ensemble, $\sum_{i\in I}(x_i+y_i)=\sum_{i\in I}x_i+\sum_{i\in I}y_i$.

📌 Pour une suite croissante de fonctions positives $f_n:I\to[0,+\infty]$ de limite ponctuelle $f$, on peut intervertir limite et somme : $\sum_{i\in I}f(i)=\lim_{n\to\infty}\sum_{i\in I}f_n(i)$.

• Les images réciproques préservent les compléments, les réunions et les intersections : $f^{-1}(A^c)=f^{-1}(A)^c$, $f^{-1}(\bigcup_i A_i)=\bigcup_i f^{-1}(A_i)$ et $f^{-1}(\bigcap_i A_i)=\bigcap_i f^{-1}(A_i)$.

Compléments

📌 La somme d’une famille positive est invariante par permutation de ses indices et est additive sur deux parties disjointes de l’ensemble d’indices.

📐 Formule - Pour une famille double positive $(x_{i,k})_{(i,k)\in I\times\mathbb{N}}$, les sommes s’intervertissent : $\sum_{i\in I}\left(\sum_{k=0}^{\infty}x_{i,k}\right)=\sum_{k=0}^{\infty}\left(\sum_{i\in I}x_{i,k}\right)$.

📐 Formule - Pour deux parties $A,B\subseteq\Omega$, les indicatrices vérifient $1_{A\cap B}=1_A1_B,\qquad 1_{A\cup B}=1_A+1_B-1_A1_B,\qquad 1_{A\triangle B}=|1_A-1_B|$.

• La réunion correspond au quantificateur existentiel, car $x\in\bigcup_i A_i$ équivaut à l’existence d’un indice $i$ tel que $x\in A_i$, tandis que l’intersection correspond au quantificateur universel.

📖 3. Motivation de la théorie de la mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Tribu : Une tribu, ou σ-algèbre, sur un ensemble non vide $\Omega$ est une famille non vide de parties de $\Omega$ stable par complémentation et par réunions dénombrables.

★ À maîtriser

• Il n’existe pas d’application d’aire définie sur toutes les parties de $\mathbb{R}^2$ satisfaisant simultanément la nullité de l’aire de l’ensemble vide, l’additivité dénombrable, l’invariance par translations et rotations, et une aire finie strictement positive pour tout rectangle non trivial.

• Toute tribu contient l’ensemble vide et l’ensemble total $\Omega$.

Compléments

• La contradiction est obtenue en choisissant un représentant dans chaque classe de rotations d’angle rationnel du disque unité privé de son centre : ses images par ces rotations sont disjointes, couvrent le disque, et imposent une aire nulle ou infinie, alors que le disque doit avoir une aire finie strictement positive.

• La démonstration de l’impossibilité d’une aire définie sur toutes les parties du plan utilise l’axiome du choix pour sélectionner un représentant dans chaque classe d’équivalence.

• Gödel a montré en 1938 que si les mathématiques sans axiome du choix sont cohérentes, alors les mathématiques avec axiome du choix le sont également.

• Banach a montré qu’avec l’axiome du choix, une aire définie sur toutes les parties du plan peut satisfaire la nullité sur l’ensemble vide, l’additivité finie, l’invariance par déplacements et une aire finie strictement positive pour les rectangles non triviaux.

• Hausdorff a montré qu’en dimension 3, on ne peut pas attribuer un volume à toutes les parties de $\mathbb{R}^3$ en conservant l’additivité finie, l’invariance par rotations et un volume fini non nul pour le cube unité.

📌 Une famille de parties stable par complémentation est stable par réunions dénombrables si et seulement si elle est stable par intersections dénombrables.

• L’ensemble de toutes les parties de $\Omega$ est la plus grande tribu sur $\Omega$, tandis que $\{\varnothing,\Omega\}$ en est la plus petite.

• La famille des ouverts d’un espace métrique est stable par réunions dénombrables, mais pas nécessairement par complémentation ; elle n’est donc pas nécessairement une tribu.

• La famille des réunions finies d’intervalles disjoints de $\mathbb{R}$ est stable par complémentation, mais pas par réunions dénombrables, et n’est donc pas une tribu.

💡 Astuce mémo

Vouloir mesurer toutes les parties du plan → contradiction avec les propriétés d’aire.

📖 4. Propriétés élémentaires des mesures

🔑 Notions clés & Définitions

• Espace mesurable : Paire $(\Omega,\mathcal B)$ où $\Omega$ est un ensemble non vide et $\mathcal B$ une tribu de parties de $\Omega$.
• Mesure : Application $\mu:\mathcal B\to[0,+\infty]$ telle que $\mu(\varnothing)=0$ et que, pour toute suite d’ensembles mesurables deux à deux disjoints, la mesure de leur réunion est la somme de leurs mesures.
• Masse de Dirac : Pour $a\in\Omega$, la mesure sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ qui vaut $1$ sur un ensemble contenant $a$ et $0$ sur un ensemble ne contenant pas $a$.
• Mesure de comptage : Mesure sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ qui vaut le cardinal de $A$ si $A$ est fini et $+\infty$ si $A$ est infini.
• Continuité par en dessous : Une mesure $\mu$ vérifie la continuité par en dessous si, pour toute suite croissante $(B_n)$ d’ensembles mesurables, $\mu(\bigcup_{n=0}^{\infty}B_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)$.
• Mesure discrète : Mesure sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ de la forme $\mu=\sum_{i\in I}p_i\delta_{x_i}$, où $(x_i)_{i\in I}$ est une famille dénombrable de points de $\Omega$ et $p_i\in[0,+\infty]$.
• Distribution de probabilité : Mesure $P_X$ sur un espace mesurable $(\Omega,\mathcal B)$ telle que $P_X(\Omega)=1$.

★ À maîtriser

📌 Une application définissant une mesure est dénombrablement additive si et seulement si elle s’annule sur l’ensemble vide, est finiment additive sur les ensembles disjoints et vérifie la continuité par en dessous pour toute suite croissante d’ensembles mesurables.

• Toute mesure est croissante : si $A\subseteq B$, alors $\mu(A)\leq\mu(B)$.

📐 Formule - Pour deux ensembles mesurables $A,B$, la propriété de valuation s’écrit $\mu(A\cup B)+\mu(A\cap B)=\mu(A)+\mu(B)$.

• Pour toute famille dénombrable $(E_i)$ d’ensembles mesurables, pas nécessairement disjoints, une mesure vérifie $\mu(\bigcup_i E_i)\leq\sum_i\mu(E_i)$.

Compléments

• Toute mesure sur $(\Omega,\mathcal P(\Omega))$ est discrète lorsque $\Omega$ est dénombrable.

📌 Si $A\subseteq B$ et $\mu(A)<+\infty$, alors $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$.

📌 Si $(C_n)$ est une suite décroissante d’ensembles mesurables et si $\mu(C_n)<+\infty$ pour au moins un indice $n$, alors $\mu(\bigcap_n C_n)=\lim_{n\to\infty}\mu(C_n)$.

• Si $(C_n)$ est décroissante, $\mu(C_0)<+\infty$ et $\bigcap_n C_n=\varnothing$, alors $\mu(C_n)\to0$; sans l’hypothèse de finitude, cette conclusion peut échouer, comme pour les ensembles $[n,+\infty[$ sous la mesure de comptage sur $\mathbb N$.

📖 5. Boréliens et mesure de Lebesgue

🔑 Notions clés & Définitions

• Tribu engendrée : Plus petite tribu de parties de $\Omega$ contenant une famille $\mathcal C$.
• Tribu borélienne : Tribu engendrée par les ouverts d’un espace métrique $\Omega$; elle est également engendrée par ses fermés.
• Mesure de Lebesgue : Unique mesure borélienne sur $\mathbb R^N$ qui attribue à chaque pavé $P$ son volume $|P|$.
• Ensemble négligeable : Un ensemble $N$ est $\mu$-négligeable s’il existe un ensemble mesurable $B$ tel que $N\subseteq B$ et $\mu(B)=0$; $N$ n’a pas nécessairement à être mesurable.
• Presque partout : Propriété dont l’ensemble des points où elle est fausse est $\mu$-négligeable.

★ À maîtriser

• La mesure de Lebesgue sur $\mathbb R^N$ est invariante par translations : pour tout borélien $A$ et tout $u\in\mathbb R^N$, $\lambda_N(A+u)=\lambda_N(A)$.

📐 Formule - Pour des boréliens $A\subseteq\mathbb R^p$ et $B\subseteq\mathbb R^q$, la mesure du produit vérifie $\lambda_{p+q}(A\times B)=\lambda_p(A)\lambda_q(B)$.

Compléments

• Tout ensemble dénombrable d’un espace métrique est borélien, car il est réunion dénombrable de singletons fermés.

• Si $E\subseteq\Omega$ est un sous-espace métrique, ses boréliens sont exactement les ensembles de la forme $B\cap E$, où $B$ est borélien dans $\Omega$.

• Le produit fini d’ensembles boréliens dans des espaces métriques est borélien dans l’espace produit correspondant.

• Les intervalles de $\mathbb R$ sont boréliens, et la tribu borélienne de $\mathbb R$ est engendrée par chacune des familles suivantes : intervalles ouverts bornés, intervalles compacts, intervalles semi-ouverts bornés $[\alpha,\beta[$ ou $]\alpha,\beta]$, intervalles $]\alpha,+\infty[$ ou $[\alpha,+\infty[$, et intervalles $]-\infty,\beta[$ ou $]-\infty,\beta]$.

• Dans $\mathbb R^N$, les pavés sont boréliens et chacune des familles de pavés ouverts, compacts ou semi-ouverts engendre la tribu borélienne.

📐 Formule - Pour un pavé $P=I_1\times\cdots\times I_N$, son volume vaut $|P|=|I_1|\cdots|I_N|$.

• Toute réunion dénombrable d’ensembles $\mu$-négligeables est $\mu$-négligeable; par conséquent, toute conjonction dénombrable de propriétés vraies $\mu$-presque partout est vraie $\mu$-presque partout.

• Tout ensemble dénombrable de $\mathbb R$ est négligeable pour la mesure de Lebesgue $\lambda_1$.

• Si $N\geq2$ et si $\gamma:I\to\mathbb R^N$ est de classe $C^1$, alors son image $\gamma(I)$ est négligeable pour la mesure de Lebesgue $\lambda_N$.

📖 6. Mesurabilité et fonctions étagées

🔑 Notions clés & Définitions

• Mesurabilité : Une application $f:(\Omega,\mathcal B)\to(\Omega',\mathcal B')$ est mesurable si, pour tout $A\in\mathcal B'$, son image réciproque $f^{-1}(A)$ appartient à $\mathcal B$.
• Fonction étagée : Fonction mesurable à valeurs complexes qui ne prend qu’un nombre fini de valeurs.
• Aire intuitive : L’aire intuitive d’une figure simple est la somme des aires des triangles d’une décomposition en triangles presque disjoints.

★ À maîtriser

• Si deux figures simples sont presque disjointes, l’aire de Lebesgue de leur réunion est la somme de leurs aires de Lebesgue, car leur intersection, constituée d’un nombre fini de segments ou de points, est de mesure nulle.

📐 Formule - Pour une figure simple $\Delta \subseteq \mathbb{R}^2$, l’aire de Lebesgue est égale à l’aire intuitive : $\lambda_2(\Delta)=\operatorname{aire}(\Delta)$.

• Un rectangle de côtés adjacents de longueurs $a$ et $b$ a pour aire de Lebesgue $ab$, y compris lorsque ses côtés ne sont pas parallèles aux axes.

📐 Formule - Un triangle de base $BC$ et de hauteur correspondante $AH$ a pour aire de Lebesgue $\frac{1}{2}BC\times AH$, que le pied de la hauteur appartienne ou non au segment de base.

• Pour vérifier la mesurabilité d’une application, il suffit de vérifier que les images réciproques des éléments d’une famille qui engendre la tribu d’arrivée sont mesurables.

• Une fonction $f:\Omega\to\mathbb R$ est mesurable si et seulement si $\{f>\alpha\}$ est mesurable pour tout réel $\alpha$, ou, de façon équivalente, si $\{f<\beta\}$ est mesurable pour tout réel $\beta$.

• La mesurabilité se conserve par composition, par recollement sur un recouvrement mesurable dénombrable et par limite simple d’une suite de fonctions mesurables.

• L’indicatrice d’un ensemble est mesurable si et seulement si cet ensemble est mesurable.

• Toute fonction mesurable à valeurs dans $[0,+\infty]$ est limite simple d’une suite croissante de fonctions étagées positives qui la minorent.

Compléments

• L’exercice proposé consiste à établir que le disque ouvert de rayon $R$ a pour aire de Lebesgue $\pi R^2$, en commençant par les polygones réguliers inscrits à $2^n$ côtés pour $n\geq 2$.

• Toute application continue entre espaces métriques est borélienne, et toute application monotone définie sur un intervalle de $\mathbb R$ est borélienne.

• Une application à valeurs dans un produit fini d’espaces euclidiens est mesurable si et seulement si chacune de ses composantes l’est ; pour une fonction complexe, cela équivaut à la mesurabilité de ses parties réelle et imaginaire.

• Les fonctions mesurables réelles sont stables par somme lorsqu’elle est définie, par produit, par supremum et infimum dénombrables, ainsi que par passage à la limite supérieure et à la limite inférieure.

📖 7. Intégrale des fonctions positives

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale positive : L’intégrale d’une fonction mesurable positive est le supremum des intégrales des fonctions étagées positives qui la minorent.
• Mesure de densité : La mesure de densité de f par rapport à μ est définie par ν_f(A)=∫_A f dμ pour tout ensemble mesurable A, lorsque f est mesurable positive.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si une fonction étagée positive s’écrit canoniquement $\varphi=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\mathbf 1_{\{\varphi=\alpha_i\}}$, alors son intégrale vaut $\int_\Omega\varphi\,d\mu=\sum_{i=1}^{N}\alpha_i\,\mu(\{\varphi=\alpha_i\})$.

• L’intégrale des fonctions étagées positives est homogène, additive et croissante par rapport à la fonction intégrée.

📐 Formule - Si une suite de fonctions mesurables positives est croissante et converge vers $f$, alors $f$ est mesurable et $\int_\Omega f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu$.

• Pour toute fonction mesurable positive f et toute suite croissante de fonctions étagées positives qui converge vers f, l’intégrale de f est la limite des intégrales de cette suite.

• Pour toute fonction mesurable positive f, l’intégrale de f est égale à la limite des intégrales de toute suite approximante de fonctions étagées positives pour f.

• Pour f,g mesurables positives, l’intégrale de λf vaut λ fois l’intégrale de f pour tout λ dans [0,+∞], avec la convention 0×∞=0.

• Pour deux fonctions mesurables positives f et g, l’intégrale de f+g est la somme de leurs intégrales, éventuellement infinies.

• Pour toute suite de fonctions mesurables positives (u_k), l’intégrale de leur somme est égale à la somme de leurs intégrales.

• Pour f mesurable positive et α>0, l’inégalité de Markov donne μ({f≥α})≤(1/α)∫_{{f\ge\alpha}}f dμ≤(1/α)∫_Ω f dμ.

• Pour une fonction mesurable positive f, ∫_Ω f dμ=0 si et seulement si f=0 presque partout, mais pas nécessairement partout.

• Si N est mesurable et μ(N)=0, alors ∫_N f dμ=0 pour toute fonction mesurable positive f et ∫Ω f dμ=∫{Ω\N}f dμ.

Compléments

📐 Formule - Pour toute fonction étagée positive $\varphi$ et tout ensemble mesurable $E$, on a $\int_E\varphi\,d\mu=\int_\Omega\mathbf 1_E\varphi\,d\mu$.

• L’intégrale d’une fonction mesurable positive est croissante par rapport à la fonction intégrée.

📌 Si E₁⊆E₂ et f est mesurable positive, alors ∫{E₁}f dμ≤∫{E₂}f dμ.

📖 8. Intégrabilité et linéarité

🔑 Notions clés & Définitions

• Parties positive et négative : Pour une fonction réelle f, f⁺=max(f,0) et f⁻=max(−f,0), de sorte que f=f⁺−f⁻ et |f|=f⁺+f⁻.
• Fonction intégrable : Une fonction réelle mesurable f est intégrable si les intégrales de f⁺ et f⁻ sont finies ; son intégrale est ∫f⁺dμ−∫f⁻dμ.
• Intégrabilité complexe : Une fonction complexe mesurable est intégrable si ses parties réelle et imaginaire le sont, et son intégrale est l’intégrale de sa partie réelle plus i fois celle de sa partie imaginaire.
• Fonction presque partout définie : Une fonction complexe définie sur E⊆Ω est presque partout définie si Ω\E est négligeable.
• Intégrabilité au sens de Lebesgue : Une fonction presque partout définie est μ-intégrable au sens de Lebesgue si elle est égale presque partout à une fonction mesurable intégrable ; son intégrale est celle de toute telle représentante.

★ À maîtriser

📌 Une fonction mesurable complexe est intégrable si et seulement si l’intégrale de sa valeur absolue est finie.

📌 Pour f et g intégrables, λ complexe et f,g réelles avec f≤g dans le cas de la croissance, l’intégrale est linéaire, respecte l’ordre réel et vérifie |∫f dμ|≤∫|f|dμ.

Compléments

📌 Sur un espace de mesure fini, toute fonction mesurable complexe bornée est intégrable.

📌 Une fonction mesurable complexe intégrable sur Ω est intégrable sur tout ensemble mesurable E⊆Ω et ∫_E f dμ=∫_Ω 1_E f dμ.

• Les fonctions intégrables forment un espace vectoriel.

📖 9. Primitives et formules de calcul intégral

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrabilité locale : Une fonction f:I→C est localement intégrable sur un intervalle I si elle est intégrable sur tout intervalle compact [α,β] contenu dans I ; toute fonction continue sur I est localement intégrable.
• Espérance discrète : Une variable aléatoire réelle discrète X admet une espérance si ∑{i≥0}x_iP(X=x_i) converge absolument ; alors E(X)=∑{i≥0}x_iP(X=x_i)=∫_R x dP_X(x).
• Intégrale de Riemann : Pour une fonction bornée sur [a,b], l’intégrale de Riemann inférieure est le supremum des intégrales des fonctions en escalier qui lui sont inférieures et l’intégrale supérieure est l’infimum de celles qui lui sont supérieures ; la fonction est intégrable si ces deux valeurs coïncident.

★ À maîtriser

• Pour toute fonction positive f sur Ω et tout point a, l’intégrale de f par rapport à la masse de Dirac δ_a vaut f(a) ; la même formule vaut pour toute fonction complexe, qui est alors intégrable.

📐 Formule - Pour toute fonction positive f sur un ensemble Ω muni de la mesure de comptage, $\int_\Omega f\,d\mu_c=\sum_{x\in\Omega}f(x)$.

📌 Une fonction f:N→C est intégrable pour la mesure de comptage si et seulement si la série ∑_{n=0}^∞ f(n) est absolument convergente, et son intégrale est cette somme.

📌 Toute fonction intégrable au sens de Riemann sur un segment est intégrable au sens de Lebesgue et les deux intégrales sont égales, mais l’intégrabilité de Lebesgue s’étend à davantage de fonctions.

• Sur tout intervalle non trivial, 1_Q n’est pas intégrable au sens de Riemann, mais son intégrale de Lebesgue vaut zéro.

📌 Pour f borélienne positive ou localement intégrable et u<v<w dans I, la relation de Chasles donne ∫_u^w f=∫_u^v f+∫_v^w f.

📐 Formule - Si f est continue sur un intervalle I et x₀∈I, la fonction $F(x)=\int_{x_0}^{x}f(t)\,dt$ est de classe C¹ et vérifie $F'(x)=f(x).$

• Toute fonction continue sur un intervalle possède une primitive.

📐 Formule - Pour toute fonction continue f et toute primitive F de f sur I, $\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).$

📐 Formule - Pour u et v de classe C¹ sur I, $\int_a^b u'(t)v(t)\,dt=[u(t)v(t)]_a^b-\int_a^b u(t)v'(t)\,dt.$

Compléments

• Pour une mesure discrète μ=∑{i=0}^∞p_iδ{x_i}, la fonction identité sur R est intégrable si et seulement si ∑_{i=0}^∞p_ix_i converge absolument, et son intégrale vaut cette série.

• Pour une fonction positive borélienne ou intégrable sur un intervalle, la notation ∫_I f(x)dx est utilisée pour l’intégrale par rapport à la mesure de Lebesgue, y compris lorsque I n’est pas fermé ou borné.

📌 Pour une fonction localement intégrable, on définit l’intégrale orientée par $\int_v^u f(x)\,dx=-\int_u^v f(x)\,dx$ lorsque u<v, ce qui étend la relation de Chasles à tout ordre de u, v et w.

📖 10. Intégrales généralisées et critère de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Principe de comparaison : Le principe de comparaison affirme que si f est borélienne sur I et s’il existe une fonction borélienne positive intégrable g telle que |f(t)|≤g(t), éventuellement presque partout, alors f est intégrable sur I.
• Intégrale généralisée : Une intégrale généralisée sur [a,b[ est la limite dans ℂ de $\int_a^\beta f(t)\,dt$ lorsque β→b⁻, pour f localement intégrable; elle est dite convergente si cette limite existe.

★ À maîtriser

• Si f est positive borélienne ou intégrable sur [a,b[, avec b≤∞, alors $\int_a^b f(t)\,dt=\lim_{\beta\to b^-}\int_a^\beta f(t)\,dt$; la limite existe dans [0,∞] dans le cas positif et dans ℂ dans le cas intégrable.

• Si f est localement intégrable sur [a,b[ et |f(t)|=O(g(t)) lorsque t→b⁻, avec g positive et intégrable près de b, alors f est intégrable sur [a,b[.

• Sur [A,∞[, si f est localement intégrable et |f(t)|=o(1/t^α) pour un α>1, alors f est intégrable.

• Pour f localement intégrable sur [a,b[, l’intégrale généralisée converge si et seulement si $\int_X^Y f(t)\,dt\to0$ lorsque X,Y→b⁻.

• Si f:[a,∞[→ℝ est positive et décroissante, la série $\sum_{k=a}^\infty f(k)$ converge si et seulement si $\int_a^\infty f(t)\,dt<\infty.$

• Si f est de classe C¹ sur [a,∞[, f(t)→0 et $\int_a^\infty |f'(t)|\,dt<\infty$, alors la série ∑f(k) converge si et seulement si l’intégrale $\int_a^\infty f(t)\,dt$ converge.

Compléments

• Pour une fonction positive ou intégrable sur un intervalle ouvert, l’intégrale s’obtient par deux passages à la limite aux deux bornes, dans l’un ou l’autre ordre.

📌 Pour une fonction continue, positive ou intégrable sur un intervalle semi-ouvert, on peut évaluer l’intégrale par une primitive en prenant aux bornes les limites unilatérales de cette primitive, qui existent dans les domaines indiqués par le cas positif ou intégrable.

📐 Formule - Si φ est de classe C¹ et monotone sur ]a,b[, et si f est continue, positive ou intégrable sur l’image de φ, alors $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)\,dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt$ avec les bornes interprétées par limites unilatérales.

• Sur un intervalle borné, toute fonction borélienne bornée est intégrable.

• Les fonctions constantes sont intégrables sur un intervalle non borné seulement lorsque cet intervalle est borné.

• Sur un intervalle ouvert ]a,b[, l’intégrale généralisée existe si les intégrales séparées depuis un point intérieur x₀ vers chacune des deux bornes existent, indépendamment du choix de x₀.

• Si f est intégrable au sens de Lebesgue sur [a,b[, son intégrale est une intégrale ordinaire, bien que la limite des intégrales partielles existe; dans la terminologie riemannienne, elle est absolument convergente.

• Si f est continue, g est de classe C¹, positive et décroissante vers 0, et les intégrales partielles de f sont uniformément bornées, alors l’intégrale de fg converge.

📖 11. Continuité et dérivation sous l’intégrale

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillation sur un intervalle : Différence entre le supremum et l’infimum de f sur un intervalle non trivial J.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour φ de classe C¹, strictement monotone sur un intervalle I=]a,b[, et f borélienne positive sur φ(I), $\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)}f(x)\,dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)\,dt.$

• Pour f borélienne complexe, f est intégrable sur φ(I) si et seulement si (f∘φ)φ' est intégrable sur I; dans ce cas, la formule de changement de variable général reste valable.

• Si des fonctions intégrables fn convergent presque partout vers f et sont dominées presque partout par une même fonction intégrable g, alors f est intégrable, l’intégrale de |fn − f| tend vers 0 et l’intégrale de f est la limite des intégrales de fn.

• Si μ(Ω) est finie, si fn converge presque partout vers f et si |fn| est presque partout majoré par une constante M indépendante de n, alors f est intégrable et l’intégrale de f est la limite des intégrales de fn.

• Si des fonctions mesurables uk vérifient la condition $\sum_{k=0}^{\infty}\int_\Omega |u_k|\,d\mu<\infty$, leur série converge absolument presque partout vers une fonction intégrable et l’intégrale de la somme est la somme des intégrales.

• Une fonction bornée sur [a,b] est intégrable au sens de Riemann si et seulement si son ensemble de points de discontinuité est négligeable.

• Si F(x,t) est intégrable en t pour chaque x, continue en x au point a pour presque tout t, et dominée sur chaque compact K de l’espace des paramètres par une fonction intégrable gK indépendante de x, alors x ↦ ∫Ω F(x,t)dμ(t) est continue en a.

• Si F(x,t) est intégrable en t pour chaque x, dérivable en x pour chaque t et si sa dérivée partielle par rapport à x est dominée sur tout compact par une fonction intégrable indépendante de x, alors f(x)=∫ΩF(x,t)dμ(t) est dérivable et $f'(x)=\int_\Omega\frac{\partial F}{\partial x}(x,t)\,d\mu(t)$.

Compléments

• La preuve standard du théorème de convergence dominée applique le lemme de Fatou aux fonctions positives hn = 2g − |fn − f| afin de montrer que l’intégrale de |fn − f| tend vers 0.

📌 Si fn(i) tend vers f(i) pour tout i de ℕ et si |fn(i)| ≤ g(i) avec $\sum_{i=0}^{\infty}g(i)<\infty$, alors la série de f converge absolument et sa somme est la limite des sommes des séries de fn.

📌 Une série double complexe peut être sommée dans l’un ou l’autre ordre sans changer sa somme lorsque la somme double des modules de ses termes est finie.

• Un point t est un point de continuité de f si et seulement si l’oscillation de f sur les intervalles contenant t tend vers 0 lorsque leur longueur tend vers 0.

• Pour établir qu’une fonction bornée est Riemann-intégrable lorsque ses discontinuités sont négligeables, on l’encadre par des fonctions en escalier inférieure et supérieure dont les intégrales se rapprochent, puis on applique le théorème de convergence bornée à leur différence.

📌 Si F est continue sur le produit d’un espace métrique X et d’un segment compact [a,b], alors x ↦ ∫aᵇ F(x,t)dt est continue sur X.

• La transformée de Fourier d’une fonction borélienne intégrable f sur ℝ, définie par $\widehat f(x)=\int_{\mathbb R}f(t)e^{-ixt}\,dt$, est continue sur ℝ.

📖 12. Intégration géométrique et théorème de Fubini

🔑 Notions clés & Définitions

• Sous-graphe : Le sous-graphe d’une fonction borélienne positive $f$ sur $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$ est l’ensemble $\mathrm{SG}(f,\Omega)=\{(x,\tau):x\in\Omega,\ 0\leq\tau<f(x)\}$, qui est borélien dans $\mathbb{R}^{N+1}$.
• Coupe : Pour $\Omega\subseteq\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$, la coupe à l’abscisse $x\in\mathbb{R}^p$ est $\Omega_x=\{y\in\mathbb{R}^q:(x,y)\in\Omega\}$ et la coupe à l’ordonnée $y\in\mathbb{R}^q$ est $\Omega_y=\{x\in\mathbb{R}^p:(x,y)\in\Omega\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La transformée de Fourier de $g(t)=e^{-t^2/2}$ vérifie $\widehat g(x)=\sqrt{2\pi}\,e^{-x^2/2}$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

📐 Formule - Si $f$ admet une transformée de Laplace et si l’intégrale généralisée $\int_0^{\infty}f(t)\,dt$ converge, alors $\lim_{\lambda\to0^+}\mathcal Lf(\lambda)=\int_0^{\infty}f(t)\,dt$.

📐 Formule - L’intégrale généralisée $\int_0^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt$ vaut $\frac{\pi}{2}$.

📐 Formule - Pour toute fonction borélienne positive $f$ sur un borélien $\Omega\subseteq\mathbb{R}^N$, on a $\int_\Omega f\,d\lambda_N=\lambda_{N+1}(\mathrm{SG}(f,\Omega))$.

📐 Formule - Pour tout borélien $\Omega\subseteq\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$, le principe de Cavalieri donne $\lambda_{p+q}(\Omega)=\int_{\mathbb{R}^p}\lambda_q(\Omega_x)\,dx=\int_{\mathbb{R}^q}\lambda_p(\Omega_y)\,dy$.

📌 Le théorème de Fubini permet de permuter les intégrales pour une fonction borélienne positive, ou pour une fonction borélienne intégrable sur le domaine considéré.

📐 Formule - Si $f$ est borélienne positive ou intégrable sur $\Omega\subseteq\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^q$, alors $\int_\Omega f=\int_{\mathbb{R}^p}\left(\int_{\Omega_x}f(x,y)\,dy\right)dx=\int_{\mathbb{R}^q}\left(\int_{\Omega_y}f(x,y)\,dx\right)dy$.

Compléments

• La fonction gaussienne $g(t)=e^{-t^2/2}$ est intégrable sur $\mathbb{R}$.

• La démonstration de la transformée de Fourier gaussienne dérive la transformée sous l’intégrale, effectue une intégration par parties, résout l’équation différentielle $y'(x)=-xy(x)$, puis détermine la constante avec l’intégrale gaussienne.

• La proposition de passage à la limite de la transformée de Laplace est l’analogue continu du théorème d’Abel pour les séries entières.

📐 Formule - L’aire d’un disque de rayon $R>0$ est $\pi R^2$.

• Si $f$ est intégrable sur $\Omega$, alors ses sections sont intégrables pour presque tout paramètre et les intégrales itérées sont intégrables et égales à l’intégrale sur $\Omega$.

📐 Formule - Le volume d’une boule euclidienne de rayon $R$ dans $\mathbb{R}^3$ est $\frac{4}{3}\pi R^3$.

💡 Astuce mémo

Visualiser l’intégrale comme le volume sous un graphe, ou comme la somme des aires de ses coupes.

📖 13. Changements de variables et volumes

🔑 Notions clés & Définitions

• Difféomorphisme : Un difféomorphisme entre deux ouverts de $\mathbb{R}^N$ est une bijection de classe $C^1$ dont la réciproque est également de classe $C^1$.
• Déterminant jacobien : Le déterminant jacobien $J_\Phi(u)$ est le déterminant de la matrice jacobienne de l’application de classe $C^1$ $\Phi$ au point $u$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour une fonction de classe $C^1$ strictement monotone $\varphi:I\to\mathbb{R}$ et une fonction borélienne positive ou intégrable $f$, on a $\int_{\varphi(I)}f(x)\,dx=\int_I f(\varphi(u))|\varphi'(u)|\,du$.

📐 Formule - Pour un difféomorphisme $\Phi:\Omega\to\Omega'$ et une fonction borélienne positive ou intégrable $f$ sur $\Phi(A)$, la formule de changement de variables est $\int_{\Phi(A)}f(x)\,dx=\int_A f(\Phi(u))|J_\Phi(u)|\,du$.

📐 Formule - Pour un difféomorphisme $\Phi$ et un borélien $A$, le volume de l’image vérifie $\lambda_N(\Phi(A))=\int_A|J_\Phi(u)|\,du$.

📐 Formule - En coordonnées polaires de centre $(x_0,y_0)$, on a $x=x_0+r\cos\theta$, $y=y_0+r\sin\theta$ et $dx\,dy=r\,dr\,d\theta$.

📐 Formule - Un difféomorphisme affine $\Phi:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$ multiplie les volumes par le facteur constant $|\det(\Phi)|$, donc $\lambda_N(\Phi(A))=|\det(\Phi)|\lambda_N(A)$.

Compléments

• En coordonnées polaires de centre l’origine, on a $r^2=x^2+y^2$.

📐 Formule - L’intégrale de Gauss vérifie $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-t^2/2}\,dt=\sqrt{2\pi}$.

📌 Une application affine $\Phi(u)=a+L(u)$ est un difféomorphisme si et seulement si son application linéaire associée $L$ est inversible.

• L’aire d’un parallélogramme engendré par les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$ est $|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD})|$.

💡 Astuce mémo

Changer les variables, transformer le domaine, multiplier par le jacobien.

📖 14. Aires elliptiques et invariance de mesure

🔑 Notions clés & Définitions

• Isométrie euclidienne : Une isométrie euclidienne Φ de ℝⁿ préserve les distances, c’est-à-dire que ‖Φ(v)−Φ(u)‖₂=‖v−u‖₂ pour tous u et v de ℝⁿ.
• Semi-norme Lp : Pour 1≤p<∞, la semi-norme d’une fonction mesurable f est ‖f‖ₚ=(∫Ω|f|ᵖdμ)¹ᐟᵖ, et Lᵖ est l’ensemble des fonctions pour lesquelles cette quantité est finie.
• Norme L∞ : La norme ‖f‖∞ est la plus petite constante C telle que |f|≤C presque partout ; L∞ est l’ensemble des fonctions mesurables essentiellement bornées.

★ À maîtriser

• Pour l’ellipse pleine de demi-axes a et b, le changement linéaire (u,v) ↦ (au,bv) envoie le disque unité sur l’ellipse et son déterminant vaut ab ; l’aire de l’ellipse est donc πab.

• Toute isométrie euclidienne est affine : elle s’écrit Φ(u)=a+Mu, où M est une matrice orthogonale et où det(M)=±1.

📌 Pour tout borélien A de ℝⁿ et toute isométrie euclidienne Φ, la mesure de Lebesgue est invariante : λⁿ(Φ(A))=λⁿ(A).

📌 Pour un difféomorphisme Φ entre ouverts de ℝⁿ, la formule de changement de variables équivaut à λⁿ(Φ(A))=∫_A |JΦ(u)|du pour tout borélien A de son domaine, et il suffit de vérifier cette égalité localement au voisinage de chaque point.

• Localement, tout difféomorphisme de ℝⁿ⁺¹ se décompose en une permutation de coordonnées suivie de deux difféomorphismes, l’un préservant les n premières coordonnées et l’autre la dernière.

📌 Si la formule de changement de variables est vraie pour deux difféomorphismes composables, elle est vraie pour leur composée, car les jacobiens se multiplient selon la règle de chaîne.

• La formule de changement de variables se démontre par récurrence sur la dimension : le cas de dimension 1 vient de la formule unidimensionnelle, puis le cas suivant se ramène aux tranches par Cavalieri, à l’hypothèse de récurrence et à Fubini.

• L’inégalité de Minkowski affirme que ‖f+g‖ₚ≤‖f‖ₚ+‖g‖ₚ pour 1≤p≤∞.

• Pour tout 1≤p≤∞, l’espace normé Lᵖ est complet et constitue donc un espace de Banach.

• L² est un espace de Hilbert de produit scalaire ⟨f,g⟩=∫Ω f\overline{g},dμ.

📐 Formule - Pour f,g∈L², l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne $\left|\int_\Omega f\overline{g}\,d\mu\right|\leq \|f\|_2\|g\|_2.$

📌 Si 1≤p<∞, si fₙ converge presque partout vers f et si |fₙ|≤g presque partout pour tout n, avec g∈Lᵖ, alors f∈Lᵖ et fₙ converge vers f en norme Lᵖ.

Compléments

• Les translations, les rotations et les symétries orthogonales sont des isométries euclidiennes.

💡 Astuce mémo

Les isométries conservent la mesure ; un changement d’échelle la multiplie par son déterminant.

📖 15. Normes Lp et inégalité de Hölder

🔑 Notions clés & Définitions

• Exposant conjugué : L’exposant conjugué q de p dans [1,∞] est l’unique exposant tel que $\frac1p+\frac1q=1$ ; ainsi, les couples (1,∞) et (2,2) sont conjugués.
• Fonction étagée : Une fonction étagée sur Ω est une fonction complexe qui s’écrit comme une somme finie $\varphi=\sum_{i=1}^N\alpha_i1_{A_i}$, où les A_i sont mesurables.
• Support compact : Une fonction sur Ω est à support compact s’il existe un compact K contenu dans Ω en dehors duquel elle est nulle.

★ À maîtriser

📌 Si une suite de fonctions mesurables converge presque partout vers f, alors, pour tout p dans [1,∞], $\|f\|_p\leq\liminf_{n\to\infty}\|f_n\|_p$ par le lemme de Fatou pour p fini et par la définition de la norme L∞ pour p=∞.

📐 Formule - Pour des fonctions mesurables f et g et des exposants conjugués p et q, l’inégalité de Hölder donne $\|fg\|_1\leq\|f\|_p\|g\|_q$.

📌 Si la mesure de Ω est finie et 1≤p₁≤p₂≤∞, alors L^{p₂}(Ω) est inclus dans L^{p₁}(Ω).

📐 Formule - Pour une fonction borélienne Φ≥0 et h(x)=∫_J Φ(x,t)dt, l’inégalité intégrale de Minkowski donne $\|h\|_p\leq\int_J\|\Phi_t\|_p\,dt$ pour p∈[1,∞].

📌 Les fonctions étagées appartenant à L^p sont denses dans L^p pour tout p∈[1,∞].

📌 Si Ω est un ouvert de ℝ^N et p<∞, les fonctions continues à support compact C₀₀(Ω) sont denses dans L^p(Ω).

Compléments

• Pour p=q=2, l’inégalité de Hölder est l’inégalité de Cauchy-Schwarz.

📐 Formule - Si la mesure de Ω vaut 1 et 1≤p₁≤p₂≤∞, alors $\|f\|_{p_1}\leq\|f\|_{p_2}$.

📐 Formule - Pour 1<p<∞, l’opérateur de Hardy $Tf(x)=\frac1x\int_0^x f(t)\,dt$ vérifie $\|Tf\|_p\leq q\|f\|_p$, où q est l’exposant conjugué de p.

• Pour 1≤p<∞, une fonction étagée appartient à L^p si et seulement si l’ensemble où elle est non nulle est de mesure finie.

• Toute fonction continue à support compact sur un ouvert de ℝ^N appartient à L^p pour tout p∈[1,∞].

📖 16. Convolution et régularisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Convolution : Pour des fonctions boréliennes f et g sur ℝ, leur convolution est définie au point x lorsque l’intégrale converge absolument, et vaut $(f*g)(x)=\int_{\mathbb R}f(x-t)g(t)\,dt$ .
• Suite de Dirac : Une suite (kₙ) de fonctions de L¹(R) est une suite de Dirac si ∫R kₙ(t) dt = 1 pour tout n, si ses normes L¹ sont uniformément bornées et si, pour tout δ > 0, ∫|t|≥δ |kₙ(t)| dt tend vers 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si f∈L^p(ℝ) et g∈L^q(ℝ) pour des exposants conjugués, alors f*g est partout définie, continue et bornée, et $\|f*g\|_\infty\leq\|f\|_p\|g\|_q$.

📐 Formule - Si f∈L¹(ℝ) et g∈L^p(ℝ), avec 1≤p<∞, alors f*g est définie presque partout, appartient à L^p et $\|f*g\|_p\leq\|f\|_1\|g\|_p$.

• Si f est localement intégrable et g est de classe C^N à support compact, la convolution f*g est de classe C^N et ses dérivées s’obtiennent en dérivant g : $(f*g)^{(k)}=f*g^{(k)}$ pour k=1,…,N.

• Pour une suite de Dirac (kₙ), si f est bornée et continue en x₀, alors kₙ ∗ f(x₀) tend vers f(x₀) ; si f est bornée et uniformément continue, la convergence kₙ ∗ f → f est uniforme ; si f ∈ Lᵖ(R), avec 1 ≤ p < ∞, la convergence a lieu en norme Lᵖ.

• Pour tout 1 ≤ p < ∞, les fonctions de classe C∞ à support compact sont denses dans Lᵖ(R).

Compléments

📌 Lorsque la convolution de deux fonctions est définie en un point, elle est commutative en ce point : (fg)(x)=(gf)(x).

• Pour 0<a≤b, la convolution des indicatrices des intervalles [−a,a] et [−b,b] est une fonction trapézoïdale, qui devient triangulaire lorsque a=b.

• Pour tout intervalle ouvert borné non trivial I = ]a,b[, il existe une fonction χ de classe C⁸, positive sur I et nulle en dehors de I, que l’on peut construire par χ(t) = θ(t−a)θ(b−t), où θ(t) vaut 0 si t ≤ 0 et e^(−1/t) si t > 0.

• Si k ∈ L¹(R), ∫R k(t) dt = 1 et λₙ > 0 tend vers l’infini, alors kₙ(t) = λₙk(λₙt) définit une suite de Dirac.

📖 17. Transformation et séries de Fourier

🔑 Notions clés & Définitions

• Transformée de Fourier : Pour f ∈ L¹(R), sa transformée de Fourier est la fonction définie par $\widehat f(x)=\int_{\mathbb R} f(t)e^{-ixt}\,dt$ ; elle est continue et bornée, et $\|\widehat f\|_\infty\leq\|f\|_1$.
• Coefficients de Fourier : Pour une fonction 2π-périodique f ∈ L¹₂π, ses coefficients de Fourier sont $c_k(f)=\int_{-\pi}^{\pi}f(t)e^{-ikt}\,\frac{dt}{2\pi}$ pour k ∈ Z.
• Espace de Schwartz : L’espace de Schwartz S(R) est l’ensemble des fonctions de classe C∞ dont la fonction et toutes les dérivées sont à décroissance rapide, c’est-à-dire que tᵏu(t) tend vers 0 aux deux infinis pour tout entier k ≥ 0.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour f,g ∈ L¹(R), la transformée de Fourier transforme leur convolution en produit : $\widehat{f\ast g}(x)=\widehat f(x)\widehat g(x)$.

• Pour toute f ∈ L¹(R), sa transformée de Fourier tend vers 0 lorsque x tend vers +∞ ou −∞, selon le lemme de Riemann-Lebesgue.

📐 Formule - Si f et sa transformée de Fourier appartiennent à L¹(R), alors $f(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{itx}\,dx$ pour presque tout t ; si f est en outre continue, l’égalité vaut pour tout t.

📐 Formule - Pour f ∈ L¹(R) ∩ L²(R), la transformée de Fourier appartient à L²(R) et vérifie la formule de Plancherel $\int_{\mathbb R}|\widehat f(x)|^2\,dx=2\pi\int_{\mathbb R}|f(t)|^2\,dt$.

• Si f ∈ L¹₂π et si (cₖ(f)) appartient à ℓ¹(Z), alors f(t)=∑ₖ∈Z cₖ(f)e^(ikt) presque partout ; si f est continue, l’égalité vaut partout.

• Pour f ∈ L²₂π, les coefficients de Fourier appartiennent à ℓ²(Z) et vérifient la formule de Parseval $\sum_{k\in\mathbb Z}|c_k(f)|^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f(t)|^2\,\frac{dt}{2\pi}$.

Compléments

📐 Formule - Si f est de classe Cᴺ et si f,f′,…,f⁽ᴺ⁾ appartiennent à L¹(R), alors, pour 0 ≤ k ≤ N, $\widehat{f^{(k)}}(x)=(ix)^k\widehat f(x)$.

• Si f est de classe C² à support compact, alors sa transformée de Fourier appartient à L¹(R).

📐 Formule - Pour f ∈ L¹(R) et λ > 0, si fλ(t)=f(λt), alors $\widehat{f_\lambda}(x)=\frac{1}{\lambda}\widehat f\!\left(\frac{x}{\lambda}\right)$.

• La transformation de Fourier est injective sur L¹(R) à égalité presque partout près : deux fonctions de L¹ ayant la même transformée sont égales presque partout.

📐 Formule - Pour f,g ∈ L¹(R), la formule d’échange est $\int_{\mathbb R} f(t)\widehat g^{\,\vee}(t)\,dt=\int_{\mathbb R}\widehat f(x)g(x)\,dx$, où $\widehat g^{\,\vee}(t)=\int_{\mathbb R}g(x)e^{itx}\,dx$.

• Dans L¹(R) ∩ L²(R), les fonctions de classe C² à support compact sont denses simultanément pour les normes L¹ et L².

• Pour les fonctions 2π-périodiques, la convolution est définie par $f\ast g(x)=\int_{-\pi}^{\pi}f(x-t)g(t)\,\frac{dt}{2\pi}$ et ses coefficients vérifient $c_k(f\ast g)=c_k(f)c_k(g)$.

💡 Astuce mémo

Sur R, Fourier associe une fonction à une fonction ; sur le cercle, elle associe une fonction à une suite de coefficients.

📖 18. Classes monotones et unicité

🔑 Notions clés & Définitions

• Classe monotone : Une famille M de parties de Ω est une classe monotone si elle contient Ω, est stable par différences propres A′\A lorsque A ⊆ A′ sont dans M, et est stable par unions dénombrables croissantes.
• Mesurabilité de Carathéodory : Un ensemble A est mesurable au sens de Carathéodory pour une mesure extérieure μ* si, pour tout ensemble E, μ*(E)=μ*(E∩A)+μ*(E∖A).
• Tribu produit : La tribu produit B₁ ⊗ ⋯ ⊗ Bₙ sur Ω₁ × ⋯ × Ωₙ est la tribu engendrée par les pavés mesurables A₁ × ⋯ × Aₙ, où chaque Aⱼ appartient à Bⱼ.
• Semi-anneau : Un semi-anneau de parties d’un ensemble non vide Ω contient ∅, est stable par intersections finies et, pour C,C′ dans cette famille, C′∖C est une réunion finie d’éléments de la famille deux à deux disjoints.

★ À maîtriser

• Si C est stable par intersections finies, toute classe monotone contenant C contient la tribu σ(C) engendrée par C.

• Soient μ₁ et μ₂ deux mesures sur (Ω,B), et C une famille stable par intersections finies telle que σ(C)=B ; s’il existe une suite (Eₖ) de C dont la réunion est Ω et si μ₁(C)=μ₂(C)<∞ pour tout C ∈ C, alors μ₁=μ₂.

• Dans un espace métrique, si une mesure borélienne μ est finie sur les ouverts d’une suite dénombrable qui recouvre Ω, alors tout borélien A de mesure finie est encadré par un fermé F et un ouvert U tels que F ⊆ A ⊆ U et μ(U∖F) < ε pour tout ε > 0.

• Si α est une fonction positive ou infinie sur un semi-anneau C, vérifie α(∅)=0, l’additivité finie sur les unions disjointes appartenant à C et α(C) ≤ ∑ₖ α(Cₖ) chaque fois que C ⊆ ⋃ₖ Cₖ, alors α se prolonge en une mesure μ sur σ(C), donnée par l’infimum des sommes ∑ₖ α(Cₖ) des recouvrements de l’ensemble considéré par des éléments de C.

• Pour tout ensemble A de ℝᴺ, les propriétés suivantes sont équivalentes : A est mesurable au sens de Lebesgue ; il existe des boréliens B′ ⊆ A ⊆ B avec λᴺ(B∖B′)=0 ; il existe un borélien B contenant A tel que B∖A soit négligeable ; ou il existe un borélien à tel que AΔà soit négligeable.

• Pour deux mesures σ-finies μ₁ et μ₂, il existe une unique mesure μ₁⊗μ₂ sur la tribu produit telle que (μ₁⊗μ₂)(A₁×A₂)=μ₁(A₁)μ₂(A₂) pour tout rectangle mesurable.

📐 Formule - Pour tout ensemble mesurable A de Ω₁×Ω₂, le principe de Cavalieri donne $(\mu_1\otimes\mu_2)(A)=\int_{\Omega_1}\mu_2(A_x)\,d\mu_1(x)=\int_{\Omega_2}\mu_1(A^y)\,d\mu_2(y).$

📌 Pour une fonction mesurable positive sur Ω₁×Ω₂, les deux intégrales itérées, dans l’un ou l’autre ordre, sont égales à son intégrale pour μ₁⊗μ₂ ; la même égalité vaut pour une fonction complexe intégrable.

Compléments

• Toute classe monotone est stable par complémentation.

• Si μ₁ et μ₂ sont deux mesures finies sur (Ω,B) de même masse totale, alors la famille des ensembles mesurables A tels que μ₁(A)=μ₂(A) est une classe monotone.

• Un ensemble Z est négligeable pour la mesure de Lebesgue si et seulement si sa mesure extérieure de Lebesgue λ*(Z) est nulle ; en particulier, tout ensemble négligeable est mesurable au sens de Lebesgue.

• Pour des espaces métriques séparables Ω₁,…,Ωₙ, la tribu produit de leurs tribus boréliennes est la tribu borélienne de leur produit ; en particulier, B(ℝᵖ) ⊗ B(ℝᑫ)=B(ℝᵖ⁺ᑫ).

📊 Tableaux de synthèse

Riemann et Lebesgue