Flashcards : Vocabulaire et tribus (94 cartes)

Quand un ensemble est-il dénombrable ?

Que devient un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable ?

Quel est le cardinal de $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ ?

Quelle méthode démontre que $\mathbb{R}$ n’est pas dénombrable ?

Quelle propriété définit un espace métrique séparable ?

Quels éléments s’ajoutent à $\mathbb{R}$ dans la droite numérique achevée ?

Quelle est la borne supérieure d’une suite croissante dans $\overline{\mathbb{R}}$ ?

Qu’est-ce qu’un nombre positif selon cette définition ?

Comment définit-on la somme d’une série de nombres positifs ?

Comment définit-on la somme d’une famille positive indexée par un ensemble non vide ?

Comment se distribue la somme d’une famille positive sur l’addition de deux familles ?

Quand peut-on intervertir limite croissante et somme pour des fonctions positives ?

Qu’est-ce que l’image réciproque d’une partie $A$ par une application $f$ ?

Quelle impossibilité concerne l’aire définie sur toutes les parties de $\mathbb{R}^2$ ?

Qu’est-ce qu’une tribu sur un ensemble non vide $\Omega$ ?

Quels ensembles toute tribu contient-elle ?

Comment définit-on un espace mesurable ?

Quelles propriétés caractérisent une mesure sur un espace mesurable ?

Quelle valeur prend la masse de Dirac $\delta_a$ sur un ensemble contenant $a$ ?

Quelle valeur prend la mesure de comptage sur un ensemble infini ?

Quelles propriétés équivalent à l’additivité dénombrable d’une application ?

Comment caractérise-t-on la tribu engendrée par une famille $\mathcal C$ de parties de $\Omega$ ?

Comment la tribu borélienne d’un espace métrique $\Omega$ peut-elle être engendrée ?

Comment caractérise-t-on la mesure de Lebesgue $\lambda_N$ sur $\mathbb R^N$ ?

Que vaut l’aire de Lebesgue de la réunion de deux figures simples presque disjointes ?

Quelle égalité relie les aires de Lebesgue et intuitive d’une figure simple $\Delta$ ?

Quelle est l’aire de Lebesgue d’un rectangle de côtés adjacents $a$ et $b$ ?

Quelle formule donne l’aire de Lebesgue d’un triangle de base $BC$ et de hauteur $AH$ ?

Quand une application entre espaces mesurables est-elle mesurable ?

Quelles images réciproques suffit-il de vérifier pour établir la mesurabilité d’une application ?

Comment calcule-t-on l’intégrale d’une fonction étagée positive sous forme canonique ?

Quelles propriétés possède l’intégrale des fonctions étagées positives ?

Comment définit-on l’intégrale d’une fonction mesurable positive ?

Que vaut l’intégrale de la limite d’une suite croissante de fonctions mesurables positives ?

À quelle limite correspond l’intégrale de $f$ pour une suite croissante d’approximations étagées ?

À quelle limite correspond l’intégrale de $f$ pour toute suite approximante étagée ?

Comment définissent-on les parties positive et négative d’une fonction réelle $f$ ?

Quand une fonction réelle mesurable $f$ est-elle intégrable ?

Quelle condition caractérise l’intégrabilité d’une fonction mesurable complexe ?

Quelle inégalité relie l’intégrale de $f$ à celle de $|f|$ ?

Quelle valeur donne l’intégrale de f par rapport à la masse de Dirac en a ?

Comment s’écrit l’intégrale d’une fonction positive pour la mesure de comptage ?

Quand une fonction f sur ℕ est-elle intégrable pour la mesure de comptage ?

Comment les intégrales de Riemann et de Lebesgue se comparent-elles pour une fonction Riemann-intégrable ?

Quelle est l’intégrale de Lebesgue de l’indicatrice des rationnels sur un intervalle non trivial ?

Quelle limite définit l’intégrale de f sur [a,b[ lorsque b≤∞ ?

Que conclut le principe de comparaison si |f|≤g et g est positive et intégrable ?

Quelle condition de domination près de b assure l’intégrabilité de f sur [a,b[ ?

Pour une fonction borélienne complexe f, quand f est-elle intégrable sur φ(I) ?

Que conclut le théorème de convergence dominée sur l’intégrale de f ?

Que tend vers zéro sous les hypothèses du théorème de convergence dominée ?

Sous quelle condition sur μ(Ω) la convergence dominée par une constante assure-t-elle l’intégrabilité de f ?

Que garantit la sommabilité des intégrales des valeurs absolues de uk ?

Quelle est la transformée de Fourier de $g(t)=e^{-t^2/2}$ ?

Vers quoi tend $\mathcal Lf(\lambda)$ lorsque $\lambda\to0^+$ sous les hypothèses données ?

Quelle est la valeur de $\int_0^{\infty}\frac{\sin t}{t}\,dt$ ?

Quelle mesure de Lebesgue donne l’intégrale de $f$ sur $\Omega$ ?

Quel nom porte la propriété de réunion dénombrable des ouverts dans un espace séparable ?

Quelle propriété de permutation vérifie la somme d’une famille positive ?

Comment intervertir les deux sommes d’une famille double positive ?

Comment les rotations rationnelles du disque unité privé de son centre créent-elles la contradiction ?

Quel axiome permet de choisir un représentant dans chaque classe d’équivalence ?

Qui a montré qu’une aire finiment additive sur toutes les parties du plan peut exister ?

Qui a établi l’impossibilité d’un volume sur toutes les parties de $\mathbb{R}^3$ sous certaines propriétés ?

Quelle forme définit une mesure discrète sur $\Omega$ ?

Quand toute mesure sur $\mathcal P(\Omega)$ est-elle discrète ?

Quelle condition caractérise une distribution de probabilité $P_X$ ?

Pourquoi tout ensemble dénombrable d’un espace métrique est-il borélien ?

Comment s’écrivent les boréliens d’un sous-espace métrique $E\subseteq\Omega$ ?

Quel est le statut borélien d’un produit fini d’ensembles boréliens d’espaces métriques ?

Quelle famille d’intervalles engendre la tribu borélienne de $\mathbb R$ ?

Quelle propriété des pavés caractérise la tribu borélienne de $\mathbb R^N$ ?

Comment calcule-t-on l’aire intuitive d’une figure simple ?

Quelle aire l’exercice propose-t-il d’établir pour le disque ouvert de rayon $R$ ?

Comment exprimer l’intégrale de $\varphi$ sur $E$ comme une intégrale sur $\Omega$ ?

Comment varie l’intégrale de fonctions mesurables positives lorsqu’elles sont ordonnées ?

Comment définit-on l’intégrale d’une fonction complexe intégrable $f$ ?

Quelles fonctions complexes sont intégrables sur un espace de mesure fini ?

Quelle structure algébrique forment les fonctions intégrables ?

Quelle condition caractérise l’intégrabilité de l’identité pour une mesure discrète ?

Quand une variable aléatoire discrète X admet-elle une espérance ?

Comment calcule-t-on l’intégrale d’une fonction sur un intervalle ouvert ?

Comment évaluer l’intégrale d’une fonction continue sur un intervalle semi-ouvert à l’aide d’une primitive ?

Quelle formule de changement de variable vaut pour φ de classe C¹ et monotone ?

Quelle propriété d’intégrabilité ont les fonctions boréliennes bornées sur un intervalle borné ?

Quand une fonction constante est-elle intégrable sur un intervalle ?

Quelles fonctions positives la preuve standard du théorème de convergence dominée donne-t-elle au lemme de Fatou ?

Quand une série double complexe peut-elle être sommée dans n’importe quel ordre ?

La fonction gaussienne $g(t)=e^{-t^2/2}$ est-elle intégrable sur quel ensemble ?

Quelle équation différentielle résout la transformée de Fourier gaussienne ?

À quel théorème des séries entières est analogue le passage à la limite de la transformée de Laplace ?

Comment définit-on le sous-graphe $\mathrm{SG}(f,\Omega)$ d’une fonction borélienne positive ?

Quel résultat Gödel a-t-il établi en 1938 concernant l’axiome du choix et la cohérence ?

Comment définit-on l’intégrale inférieure de Riemann d’une fonction bornée sur $[a,b]$ ?