QCM : Vocabulaire et tribus (70 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un ensemble fini non vide peut-il être dénombrable au sens où ses éléments peuvent être énumérés comme les termes d’une suite ?

Oui, seulement s’il existe une bijection avec ℕ
Non, car une énumération doit être sans répétition
Non, car une suite comporte une infinité de termes distincts
Oui, en répétant certains éléments dans la suite

Oui, en répétant certains éléments dans la suite

Explication

Une énumération peut répéter des éléments, ce qui permet à un ensemble fini d’être dénombrable. L’idée que dénombrable signifie infini confond cette notion avec une bijection avec ℕ ; l’absence de répétition et la bijection avec ℕ imposeraient également l’infinitude.

2. Une famille dénombrable d’ensembles dénombrables est réunie pour former un ensemble U. Quelle propriété s’applique à U ?

U est dénombrable seulement si les ensembles sont disjoints
U est en bijection avec ℕ
U est dénombrable
U est dénombrable seulement si la famille est finie

U est dénombrable

Explication

Toute réunion dénombrable d’ensembles dénombrables est dénombrable, sans condition de disjonction. La restriction aux réunions finies oublie le résultat général, le produit est une autre opération, et une famille finie n’est pas nécessaire.

3. Pour établir que ℝ n’est pas dénombrable, quelle construction garantit qu’une suite binaire échappe à toute liste proposée ?

Comparer chaque suite à la première sur une coordonnée fixe
Ranger les rationnels en ordre croissant pour couvrir les réels
Construire une suite qui diffère de la n-ième suite à la coordonnée n
Construire une suite périodique à partir d’une suite déjà listée

Construire une suite qui diffère de la n-ième suite à la coordonnée n

Explication

La diagonale de Cantor construit une suite qui diffère de chaque suite listée à sa coordonnée correspondante, donc elle ne figure pas dans la liste. L’énumération des rationnels ne couvre pas ℝ ; une répétition périodique ou une coordonnée fixe ne garantit pas l’écart à chaque terme.

4. Sur une droite ordonnée, on ajoute deux éléments aux réels de façon que l’un soit inférieur à tout réel et l’autre supérieur à tout réel. Quel ensemble obtient-on ?

La droite numérique achevée, avec −∞ et +∞
La droite réelle avec deux éléments non comparables aux réels
La droite réelle ℝ, sans éléments supplémentaires
La droite réelle augmentée de +∞ seulement

La droite numérique achevée, avec −∞ et +∞

Explication

La droite numérique achevée est ℝ auquel on ajoute −∞ et +∞, avec −∞ inférieur à tout réel et +∞ supérieur à tout réel. ℝ seul n’inclut pas ces éléments ; ajouter une seule borne ou les laisser non comparables ne donne pas l’ordre défini.

5. Dans une convention où les nombres positifs sont les éléments de [0,+∞], comment faut-il classer 0 et +∞ ?

Seul zéro est positif
Tous deux sont positifs
Ni zéro ni +∞ ne sont positifs
Seul +∞ est positif

Tous deux sont positifs

Explication

La convention définit les nombres positifs comme les éléments de [0,+∞], qui comprend ses deux extrémités. Exclure zéro relève de l’usage strict du terme, tandis que limiter l’ensemble aux réels ou inclure des nombres négatifs contredit cette définition.

6. Deux familles positives sont indexées par le même ensemble I. Si l’on additionne leurs termes indice par indice, à quelle expression la somme obtenue est-elle égale ?

À la somme des deux sommes séparées
À la somme des deux sommes, si elles sont finies
À la différence des deux sommes séparées
Au produit des deux sommes séparées

À la somme des deux sommes séparées

Explication

L’additivité donne ∑i∈I(xi+yi)=∑i∈Ixi+∑i∈Iyi\sum_{i\in I}(x_i+y_i)=\sum_{i\in I}x_i+\sum_{i\in I}y_i pour des familles positives sur le même ensemble d’indices. Le produit et la différence ne correspondent pas à cette règle ; elle reste valable même si une somme vaut +∞.

7. Une suite de fonctions positives sur I est croissante et converge en chaque point vers f. Que peut-on conclure des sommes ?

La somme de f est la limite des sommes des fonctions de la suite
La limite des sommes est la différence des sommes des fonctions
La somme de f est le supremum des limites des sommes partielles
La somme de f égale la limite des sommes, même sans croissance

La somme de f est la limite des sommes des fonctions de la suite

Explication

Pour une suite croissante de fonctions positives, le théorème de convergence monotone permet d’intervertir limite ponctuelle et somme. L’interversion sans croissance n’est pas garantie ; le supremum des fonctions ou une différence ne formule pas ce résultat.

8. Une application f envoie Ω vers Ω′, sans être bijective, et A est une partie de Ω′. Quel ensemble décrit f⁻¹(A) ?

Les images f(x) des x de Ω appartenant à A
Les x de Ω tels que f(x) appartient à A
Les éléments de A qui sont aussi dans Ω
Les x de Ω′ tels que f(x) appartient à A

Les x de Ω tels que f(x) appartient à A

Explication

L’image réciproque rassemble les éléments du domaine Ω dont l’image par f appartient à A ; la bijectivité n’est pas requise. L’image directe part d’éléments du domaine, tandis que les autres propositions confondent domaine et codomaine.

9. On cherche à attribuer une aire à toutes les parties du plan en conservant la nullité de l’aire de l’ensemble vide, l’additivité dénombrable, l’invariance par translations et rotations, ainsi qu’une aire finie strictement positive pour tout rectangle non trivial. Quelle conclusion s’impose ?

Une telle application existe si les rotations sont admises
Une telle application existe si l’aire des rectangles est nulle
Une telle application d’aire n’existe pas
Une telle application existe si l’aire du plan est infinie

Une telle application d’aire n’existe pas

Explication

Ces propriétés sont incompatibles lorsqu’on exige que l’aire soit définie sur toutes les parties du plan. Limiter l’additivité aux réunions finies ou modifier l’aire des rectangles ne correspond pas aux propriétés imposées.

10. Une famille non vide de parties d’un ensemble non vide est une tribu si elle satisfait quelles conditions ?

Elle est stable par complémentation et par réunions dénombrables
Elle est stable par réunions dénombrables sans condition de complémentation
Elle est stable par complémentation et par réunions finies
Elle est stable par intersections et par réunions dénombrables

Elle est stable par complémentation et par réunions dénombrables

Explication

Une tribu est une famille non vide stable par complémentation et par réunions dénombrables. Les réunions finies seules ne suffisent pas, et la stabilité par intersections ne remplace pas la condition de complémentation.

11. Une famille de parties est une tribu sur un ensemble non vide Ω\Omega. Quels ensembles doit-elle contenir ?

L’ensemble vide et un sous-ensemble propre de Ω\Omega
L’ensemble total Ω\Omega et ses sous-ensembles propres
L’ensemble vide, sans obligation concernant Ω\Omega
L’ensemble vide et Ω\Omega

L’ensemble vide et $$\Omega$$

Explication

La stabilité par complémentation et le fait que la tribu soit non vide entraînent qu’elle contient l’ensemble vide et l’ensemble total. La présence de sous-ensembles propres n’est pas garantie.

12. Une chercheuse décrit un cadre de mesure en donnant un ensemble non vide Ω\Omega et une famille B\mathcal B de ses parties. Quelle condition permet de qualifier ce cadre d’espace mesurable ?

B\mathcal B est une famille finie de parties de Ω\Omega
B\mathcal B contient chaque singleton de Ω\Omega
B\mathcal B est la famille des ouverts de Ω\Omega
B\mathcal B est une tribu de parties de Ω\Omega

$$\mathcal B$$ est une tribu de parties de $$\Omega$$

Explication

Un espace mesurable est le couple formé d’un ensemble non vide et d’une tribu de ses parties. Une famille finie ou la famille des ouverts ne répond pas nécessairement à cette définition.

13. Sur P(Ω)\mathcal P(\Omega), une masse de Dirac est fixée au point aa. Quelle valeur attribue-t-elle à un ensemble AA qui contient aa ?

+∞+\infty si AA est infini
∣A∣|A| si AA est fini
00
11

$$1$$

Explication

La masse de Dirac au point fixé vaut 11 pour tout ensemble qui contient ce point, indépendamment de la taille de l’ensemble. La mesure de comptage, elle, dépend du cardinal.

14. Un ensemble infini AA est mesuré par la mesure de comptage sur P(Ω)\mathcal P(\Omega). Quelle valeur obtient-on ?

Le cardinal fini de AA
11
00
+∞+\infty

$$+\infty$$

Explication

La mesure de comptage vaut +∞+\infty sur tout ensemble infini et son cardinal sur un ensemble fini. La valeur 00 ou 11 caractérise plutôt la masse de Dirac selon que l’ensemble contient le point fixé.

15. Une suite croissante d’ensembles mesurables BnB_n est observée, et leur réunion est BB. Quelle relation exprime la continuité par en dessous d’une mesure μ\mu ?

μ(B)=lim⁡n→∞μ(⋂k=0nBk)\mu(B)=\lim_{n\to\infty}\mu(\bigcap_{k=0}^{n}B_k)
μ(B)=lim⁡n→∞μ(Bn)\mu(B)=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)
μ(B)=μ(B0)\mu(B)=\mu(B_0)
μ(B)=∑n=0∞μ(Bn)\mu(B)=\sum_{n=0}^{\infty}\mu(B_n)

$$\mu(B)=\lim_{n\to\infty}\mu(B_n)$$

Explication

Pour une suite croissante, la mesure de la réunion est la limite des mesures des termes de la suite. La somme concerne l’additivité pour des ensembles disjoints, et une intersection ne décrit pas cette propriété.

16. Parmi les tribus de parties de Ω qui contiennent une famille C, laquelle est σ(C) ?

La famille C elle-même, quelle que soit sa structure
La plus petite tribu contenant C
La plus grande tribu de parties de Ω
Une tribu incluse dans toute tribu de parties de Ω

La plus petite tribu contenant C

Explication

σ(C) est la plus petite tribu de parties de Ω qui contient C. La tribu de toutes les parties est généralement plus grande, une tribu incluse dans toutes serait trop petite, et C n’est pas nécessairement une tribu.

17. Dans un espace métrique Ω, comment peut-on engendrer la tribu borélienne ?

En engendrant une tribu par les ouverts de Ω
En engendrant une tribu par les parties dénombrables de Ω
En engendrant une tribu simultanément par les ouverts et les fermés
En prenant la famille des seuls ouverts de Ω

En engendrant une tribu par les ouverts de Ω

Explication

La tribu borélienne est la tribu engendrée par les ouverts de l’espace métrique; les fermés l’engendrent également. Les seuls ouverts ne forment généralement pas une tribu, et la dénombrabilité n’est pas le critère de génération.

18. Un borélien A de ℝᴺ est déplacé par un vecteur u; que devient sa mesure de Lebesgue ?

Elle reste égale à λ_N(A) seulement si u est nul
Elle est multipliée par la longueur de u
Elle reste égale à λ_N(A)
Elle devient nulle, quelle que soit la mesure initiale

Elle reste égale à λ_N(A)

Explication

La mesure de Lebesgue est invariante par translation : λ_N(A+u)=λ_N(A) pour tout borélien A et tout vecteur u. Une translation ne produit pas une dilatation, et l’invariance ne se limite pas au vecteur nul.

19. Pour deux boréliens A et B de mesures respectives 3 et 5, quelle est la mesure de A×B dans l’espace produit ?

8
24
2
15

15

Explication

La mesure produit vérifie λp+q(A×B)=λp(A)λq(B)λ_{p+q}(A×B)=λ_p(A)λ_q(B); ici, 3×5=15. La somme donne 8, la différence donne 2, et 24 ne résulte pas de la formule du produit.

20. Deux figures simples presque disjointes ont une intersection formée d’un nombre fini de segments et de points; comment calculer l’aire de leur réunion ?

Soustraire une aire positive des frontières à leur somme
Ajouter deux fois l’aire de leur intersection à leur somme
Attribuer une aire nulle à la réunion
Additionner les aires des deux figures

Additionner les aires des deux figures

Explication

L’intersection, constituée d’un nombre fini de segments ou de points, est de mesure nulle; l’aire de la réunion est donc la somme des aires. Soustraire ou compter deux fois l’intersection lui attribue à tort une aire positive, tandis que sa nullité ne rend pas la réunion nulle.

21. Un triangle a une base de longueur 10 et la hauteur correspondante de longueur 6; quelle est son aire de Lebesgue ?

30
La base multipliée par la hauteur, soit 60
La moitié du produit de la base par le côté oblique
60

30

Explication

L’aire d’un triangle vaut la moitié du produit de la base par la hauteur correspondante : (10×6)/2=30. Oublier le facteur un demi donne 60; un côté oblique ne remplace pas la hauteur, et la formule du rectangle donne également 60.

22. Pour une application f entre deux espaces munis de tribus, quelle condition définit sa mesurabilité ?

L’image réciproque de tout élément de la tribu d’arrivée est un ouvert de départ
L’image réciproque de tout élément de la tribu d’arrivée appartient à la tribu d’arrivée
L’image réciproque de tout élément de la tribu d’arrivée appartient à la tribu de départ
L’image directe de tout élément de la tribu de départ appartient à la tribu d’arrivée

L’image réciproque de tout élément de la tribu d’arrivée appartient à la tribu de départ

Explication

La mesurabilité exige que pour chaque ensemble de la tribu d’arrivée, son image réciproque appartienne à la tribu de départ. La condition porte sur les images réciproques, pas les images directes; elle exige une appartenance à la tribu, pas nécessairement l’ouverture ni l’appartenance à la tribu d’arrivée.

23. La tribu d’arrivée est engendrée par une famille G; quelle vérification suffit pour établir qu’une application est mesurable ?

Vérifier que l’image directe de chaque élément de G est mesurable
Vérifier les images réciproques de toutes les parties de l’espace de départ
Vérifier que l’image réciproque de chaque élément de G est mesurable
Vérifier seulement l’image réciproque de l’union des éléments de G

Vérifier que l’image réciproque de chaque élément de G est mesurable

Explication

Il suffit de vérifier les images réciproques d’une famille qui engendre la tribu d’arrivée; leur mesurabilité permet d’établir celle de l’application. Les images directes ne sont pas le critère, vérifier toutes les parties de départ n’est pas la vérification par générateurs, et l’union seule ne suffit pas.

24. Une fonction étagée positive prend les valeurs 22 sur un ensemble de mesure 33 et 55 sur un ensemble disjoint de mesure 11. Quelle est son intégrale ?

1111
88
66
1313

$$11$$

Explication

L’intégrale canonique est la somme des valeurs multipliées par les mesures de leurs ensembles : 2×3+5×1=112\times3+5\times1=11. 66 oublie la contribution de la valeur 55, 88 additionne les mesures et valeurs sans pondération correcte, et 1313 échange les mesures associées aux valeurs.

25. Comment définit-on l’intégrale d’une fonction mesurable positive à partir des fonctions étagées positives ?

Comme le supremum des intégrales des fonctions étagées positives qui la minorent
Comme la limite des intégrales de fonctions mesurables qui la minorent
Comme le supremum des intégrales des fonctions étagées positives qui la majorent
Comme l’infimum des intégrales des fonctions étagées positives qui la minorent

Comme le supremum des intégrales des fonctions étagées positives qui la minorent

Explication

L’intégrale est définie comme le supremum des intégrales des fonctions étagées positives inférieures ou égales à la fonction. L’infimum inverse le choix de borne, les fonctions qui la majorent inversent la relation de minoration, et des approximations mesurables quelconques ne correspondent pas à cette définition.

26. Une suite de fonctions mesurables positives augmente point par point vers une fonction ff. Quelle relation permet de calculer l’intégrale de ff ?

∫Ωf dμ=lim⁡n→∞fn\int_\Omega f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}f_n
∫Ωf dμ=∫Ωf1 dμ\int_\Omega f\,d\mu=\int_\Omega f_1\,d\mu
∫Ωf dμ=lim⁡n→∞∫Ωfn dμ\int_\Omega f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu
∫Ωf dμ=sup⁡nfn\int_\Omega f\,d\mu=\sup_n f_n

$$\int_\Omega f\,d\mu=\lim_{n\to\infty}\int_\Omega f_n\,d\mu$$

Explication

Pour une suite croissante de fonctions mesurables positives convergeant vers ff, le théorème de convergence monotone identifie l’intégrale de ff à la limite des intégrales. Le supremum des fonctions et la limite des fonctions sont des expressions portant sur les valeurs, pas sur leurs intégrales; l’intégrale initiale ne suffit pas en général.

27. Une fonction mesurable positive est approchée point par point par une suite croissante de fonctions étagées positives. Que donne la limite des intégrales de ces approximations ?

L’intégrale d’une fonction étagée qui majore la limite
La valeur ponctuelle limite des fonctions étagées
L’intégrale de la première fonction étagée de la suite
L’intégrale de la fonction mesurable positive

L’intégrale de la fonction mesurable positive

Explication

Toute suite croissante de fonctions étagées positives convergeant vers la fonction fournit, par convergence monotone, une limite des intégrales égale à l’intégrale de cette fonction. La première approximation ne détermine pas l’intégrale limite, et ni les valeurs ponctuelles ni une majoration étagée ne remplacent cette relation.

28. Pour une fonction réelle prenant la valeur −4-4 en un point, quelles sont en ce point ses parties positive et négative ?

f+=0f^+=0 et f−=−4f^-= -4
f+=0f^+=0 et f−=4f^-=4
f+=4f^+=4 et f−=−4f^-=-4
f+=4f^+=4 et f−=0f^-=0

$$f^+=0$$ et $$f^-=4$$

Explication

Par définition, f+=max⁡(f,0)f^+=\max(f,0) et f−=max⁡(−f,0)f^-=\max(-f,0) : pour f=−4f=-4, elles valent respectivement 00 et 44. L’inversion des parties positive et négative donne la mauvaise décomposition, tandis qu’une partie négative négative contredit sa définition comme maximum avec zéro.

29. Quand une fonction réelle mesurable est-elle intégrable, et comment son intégrale est-elle définie ?

Lorsque les intégrales de ses parties positive et négative sont finies, avec leur différence pour intégrale
Lorsque l’intégrale de sa valeur absolue est finie, avec cette intégrale pour intégrale
Lorsque les intégrales de ses parties positive et négative sont finies, avec leur somme pour intégrale
Lorsque l’intégrale de sa partie positive est finie, avec la partie négative soustraite sans condition

Lorsque les intégrales de ses parties positive et négative sont finies, avec leur différence pour intégrale

Explication

Une fonction réelle est intégrable lorsque les intégrales de ses deux parties sont finies, et son intégrale est ∫f+ dμ−∫f− dμ\int f^+\,d\mu-\int f^-\,d\mu. L’intégrale de la valeur absolue mesure leur somme, la seule partie positive ne garantit pas la finitude de la partie négative, et leur somme n’est pas l’intégrale signée.

30. Quel critère caractérise l’intégrabilité d’une fonction mesurable à valeurs complexes ?

L’intégrale de sa valeur absolue est finie
L’intégrale du carré de sa valeur absolue est finie
Les intégrales de ses parties réelle et imaginaire sont positives
L’intégrale de sa seule partie réelle est finie

L’intégrale de sa valeur absolue est finie

Explication

Une fonction complexe mesurable est intégrable si et seulement si l’intégrale de son module est finie. La finitude des deux parties réelle et imaginaire est une autre formulation de la définition, mais leur positivité ne constitue pas un critère; le carré du module impose une condition différente.

31. Deux fonctions réelles intégrables vérifient f≤gf\le g, tandis qu’une autre fonction intégrable est complexe. Quelle conclusion regroupe correctement les propriétés applicables ?

∫f dμ≤∫g dμ\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu et, pour la fonction complexe, ∣∫h dμ∣≤∫∣h∣ dμ\left|\int h\,d\mu\right|\le\int|h|\,d\mu
∫f dμ≤∫g dμ\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu et, pour la fonction complexe, ∣∫h dμ∣=∫∣h∣ dμ\left|\int h\,d\mu\right|=\int|h|\,d\mu
∫f dμ≥∫g dμ\int f\,d\mu\ge\int g\,d\mu et, pour la fonction complexe, ∣∫h dμ∣≤∫∣h∣ dμ\left|\int h\,d\mu\right|\le\int|h|\,d\mu
∫f dμ≤∫g dμ\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu et, pour la fonction complexe, ∣∫h dμ∣≥∫∣h∣ dμ\left|\int h\,d\mu\right|\ge\int|h|\,d\mu

$$\int f\,d\mu\le\int g\,d\mu$$ et, pour la fonction complexe, $$\left|\int h\,d\mu\right|\le\int|h|\,d\mu$$

Explication

La croissance respecte l’ordre entre fonctions réelles intégrables, tandis que l’inégalité triangulaire intégrale donne ∣∫h dμ∣≤∫∣h∣ dμ\left|\int h\,d\mu\right|\le\int|h|\,d\mu, y compris pour une fonction complexe. Inverser l’ordre contredit la croissance, inverser l’inégalité du module change son sens, et l’égalité n’est pas garantie.

32. Une mesure est la masse de Dirac au point 3 et une fonction complexe vérifie f(3)=2−i. Quelle est son intégrale par rapport à cette mesure ?

La somme de toutes les valeurs de f
2−i
√5
f(0)

2−i

Explication

La masse de Dirac en 3 évalue la fonction au point 3, y compris lorsque f est complexe. √5 correspond à la valeur absolue, f(0) à une évaluation au mauvais point, et la somme à la mesure de comptage.

33. Sur l’ensemble Ω={p,q,r}, muni de la mesure de comptage, une fonction positive prend les valeurs f(p)=2, f(q)=5 et f(r)=1. Quelle est son intégrale ?

5
8/3
8
2

8

Explication

Avec la mesure de comptage, l’intégrale d’une fonction positive est la somme de ses valeurs : 2+5+1=8. Le maximum, la moyenne et la valeur en un seul point relèvent d’autres opérations.

34. Pour qu’une fonction f de ℕ dans ℂ soit intégrable pour la mesure de comptage, quelle condition sa série de valeurs doit-elle satisfaire ?

La série des valeurs de f doit converger absolument
Les valeurs de f doivent être toutes positives
La série des valeurs de f doit converger simplement
Les valeurs de f doivent tendre vers une limite non nulle

La série des valeurs de f doit converger absolument

Explication

L’intégrabilité pour la mesure de comptage équivaut à la convergence absolue de la série des valeurs, et l’intégrale est alors cette somme. La convergence simple ne suffit pas, la positivité n’est pas requise et une limite non nulle empêche généralement la convergence de la série.

35. Sur un intervalle non trivial, quelle conclusion s’applique à la fonction indicatrice des rationnels, qui vaut 1 sur ℚ et 0 ailleurs ?

Elle est intégrable au sens de Riemann et son intégrale vaut zéro
Elle n’est pas intégrable au sens de Riemann, mais son intégrale de Lebesgue vaut zéro
Elle est intégrable au sens de Riemann et son intégrale vaut la longueur de l’intervalle
Elle n’est pas intégrable au sens de Riemann et son intégrale de Lebesgue vaut la longueur de l’intervalle

Elle n’est pas intégrable au sens de Riemann, mais son intégrale de Lebesgue vaut zéro

Explication

La fonction indicatrice des rationnels n’est pas intégrable au sens de Riemann sur un intervalle non trivial, tandis que son intégrale de Lebesgue est nulle. La confusion entre les deux notions d’intégrabilité conduit à lui attribuer à tort une intégrale de Riemann.

36. Une fonction borélienne positive est définie sur [2,∞[. Comment exprimer son intégrale sur cet intervalle à l’aide d’intégrales sur des segments bornés ?

Comme la limite de ∫_β^∞ f(t) dt lorsque β tend vers 2
Comme la limite de ∫₂^β f(t) dt lorsque β tend vers l’infini
Comme la limite de ∫₂^β f(t) dt, nécessairement finie
Comme l’intégrale ∫₂^3 f(t) dt, sans passage à la limite

Comme la limite de ∫₂^β f(t) dt lorsque β tend vers l’infini

Explication

Pour une fonction positive, l’intégrale sur [2,∞[ est la limite des intégrales ∫₂^β f lorsque β tend vers l’infini; cette limite existe dans [0,∞], donc peut être infinie. Faire varier la borne inférieure ou imposer une limite finie ne correspond pas à cette formule.

37. Sur un intervalle I, une fonction borélienne f vérifie |f(t)|≤g(t) presque partout, où g est positive, borélienne et intégrable. Quelle conclusion s’impose ?

f est continue sur I
f est positive sur I
f est intégrable sur I
f est intégrable seulement si l’inégalité vaut en tout point

f est intégrable sur I

Explication

Le principe de comparaison garantit l’intégrabilité de f dès que sa valeur absolue est dominée presque partout par une fonction positive intégrable. La domination n’implique pas que f soit positive ou continue, et l’inégalité n’a pas à valoir en tout point.

38. Sur [4,∞[, une fonction f est localement intégrable et vérifie f(t)=o(1/t3/2)f(t)=o(1/t^{3/2}) lorsque t tend vers l’infini. Quelle conclusion peut-on tirer ?

f est intégrable seulement si f(t)=O(1/t)
aucune conclusion ne découle de cette décroissance
f n’est pas intégrable puisque l’exposant dépasse un
f est intégrable sur [4,∞[

f est intégrable sur [4,∞[

Explication

La règle s’applique car f est localement intégrable et décroît en petit o de 1/t^α avec α=3/2>1; elle est donc intégrable sur [4,∞[. Un exposant supérieur à un favorise la convergence, et la règle exige bien la décroissance en petit o ainsi que l’intégrabilité locale.

39. Une fonction f est localement intégrable sur [1,∞[. Quel test équivalent permet de décider si son intégrale généralisée converge ?

Vérifier que ∫₁^Y f(t) dt tend vers zéro lorsque Y tend vers l’infini
Vérifier que f(t) tend vers zéro lorsque X et Y tendent vers l’infini
Vérifier que ∫_X^Y f(t) dt tend vers une valeur positive lorsque X et Y tendent vers l’infini
Vérifier que ∫_X^Y f(t) dt tend vers zéro lorsque X et Y tendent vers l’infini

Vérifier que ∫_X^Y f(t) dt tend vers zéro lorsque X et Y tendent vers l’infini

Explication

Le critère de Cauchy pour une intégrale généralisée exige que l’intégrale sur toute queue [X,Y] tende vers zéro lorsque les deux bornes tendent vers la borne impropre. Étudier seulement les intégrales depuis 1 ou la limite de f(t) ne constitue pas ce critère.

40. Une fonction borélienne complexe ff est définie sur l’image d’une transformation φ\varphi de classe C1C^1 et strictement monotone. Quel critère permet de conclure que ff est intégrable sur cette image ?

L’intégrabilité de f∘φf\circ\varphi sans facteur dérivé
La positivité de f sur l’image de φ
L’intégrabilité de (f∘φ)φ′(f\circ\varphi)\varphi' sur l’intervalle de départ
La continuité de f sur toute l’image de φ

L’intégrabilité de $$(f\circ\varphi)\varphi'$$ sur l’intervalle de départ

Explication

Pour une fonction borélienne complexe, l’intégrabilité de ff sur l’image équivaut à celle de (f∘φ)φ′(f\circ\varphi)\varphi' sur l’intervalle de départ, et la formule de changement de variable s’applique alors. La positivité n’est pas requise, le facteur dérivé ne peut être omis et la continuité n’est pas le critère.

41. Sur un espace mesuré, une suite de fonctions intégrables converge presque partout vers ff, et chaque terme est dominé en valeur absolue par une même fonction intégrable. Quelle conclusion suit du théorème de convergence dominée ?

les intégrales convergent seulement si la convergence est uniforme
f est intégrable, la convergence a lieu dans L¹ et les intégrales convergent
une borne constante suffit même si l’espace est de mesure infinie
f est intégrable, mais la convergence dans L¹ n’est pas assurée

f est intégrable, la convergence a lieu dans L¹ et les intégrales convergent

Explication

La domination par une fonction intégrable entraîne l’intégrabilité de la limite, la convergence de l’intégrale de ∣fn−f∣|f_n-f| vers zéro et la convergence des intégrales. La convergence presque partout n’est pas une convergence uniforme, et une simple borne constante n’est pas la domination intégrable requise en général.

42. Sur un espace mesuré de mesure finie, une suite converge presque partout vers ff et ses termes sont bornés en valeur absolue par une constante indépendante de l’indice. Quel résultat peut-on appliquer ?

La convergence monotone, qui découle de la bornitude des termes
La convergence bornée, qui donne l’intégrabilité de f et la convergence des intégrales
La convergence uniforme, qui découle de la convergence presque partout et de la borne
La convergence dominée, avec une dominante intégrable nécessairement fournie par la constante

La convergence bornée, qui donne l’intégrabilité de f et la convergence des intégrales

Explication

Sur un espace de mesure finie, une borne constante commune et la convergence presque partout permettent d’appliquer la convergence bornée : la limite est intégrable et les intégrales convergent. La mesure finie est essentielle à ce résultat; la convergence presque partout ne signifie pas convergence uniforme.

43. Une fonction gaussienne est définie par g(t)=e−t2/2g(t)=e^{-t^2/2}. Quelle expression donne sa transformée de Fourier avec la convention utilisée ici ?

2π ex2/2\sqrt{2\pi}\,e^{x^2/2}
e−x2/2e^{-x^2/2}
2π\sqrt{2\pi}
2π e−x2/2\sqrt{2\pi}\,e^{-x^2/2}

$$\sqrt{2\pi}\,e^{-x^2/2}$$

Explication

Avec la convention considérée, la transformée de Fourier de cette gaussienne vaut 2πe−x2/2\sqrt{2\pi}e^{-x^2/2}. L’expression sans facteur omet la normalisation, l’exposant positif change le signe, et une constante ne restitue pas la dépendance en xx.

44. Une fonction ff admet une transformée de Laplace et son intégrale généralisée sur [0,∞[[0,\infty[ converge. Vers quelle quantité tend Lf(λ)\mathcal Lf(\lambda) lorsque λ\lambda tend vers zéro par valeurs positives ?

∫0∞f(t) dt\int_0^{\infty}f(t)\,dt
∫0∞Lf(t) dt\int_0^{\infty}\mathcal Lf(t)\,dt
Lf(1)\mathcal Lf(1)
f(0)f(0)

$$\int_0^{\infty}f(t)\,dt$$

Explication

Lorsque l’intégrale impropre de ff converge, la limite de sa transformée de Laplace en λ→0+\lambda\to0^+ est cette intégrale. La valeur en un paramètre fixé, l’intégrale de la transformée et la valeur ponctuelle f(0)f(0) sont des quantités différentes.

45. Pour une fonction borélienne positive ff sur un borélien Ω⊆RN\Omega\subseteq\mathbb R^N, quel objet géométrique a pour mesure N+1N+1-dimensionnelle l’intégrale de ff sur Ω\Omega ?

Le domaine Ω\Omega mesuré en dimension N
Le graphe de ff au-dessus de Ω\Omega
Le sous-graphe de ff au-dessus de Ω\Omega
Le produit de Ω\Omega par un intervalle de hauteur fixe

Le sous-graphe de $$f$$ au-dessus de $$\Omega$$

Explication

Pour une fonction positive, son intégrale est égale à la mesure de son sous-graphe dans l’espace de dimension N+1N+1. Le graphe n’est pas la région comprise sous la fonction, et la mesure de Ω\Omega seule ou d’un produit de hauteur fixe ne représente pas cette intégrale en général.

46. On souhaite permuter les intégrales d’une fonction borélienne sur un domaine produit. Dans quel cas le théorème de Fubini autorise cette permutation ?

Lorsque la fonction est intégrable et positive à la fois
Lorsque le domaine est de mesure finie, quelle que soit la fonction
Lorsque la fonction est positive ou intégrable sur le domaine considéré
Lorsque la fonction est borélienne, même sans positivité ni intégrabilité

Lorsque la fonction est positive ou intégrable sur le domaine considéré

Explication

Le théorème de Fubini permet de permuter les intégrales pour une fonction borélienne positive ou pour une fonction borélienne intégrable sur le domaine. La seule mesurabilité ne suffit pas, et une fonction intégrable n’a pas à être positive.

47. On pose φ(t)=3−t\varphi(t)=3-t sur [0,2][0,2] et l’on veut réécrire l’intégrale de f(x)=x2f(x)=x^2 sur l’image de cet intervalle. Quelle intégrale sur l’intervalle de départ obtient-on ?

−∫02(3−t)2 dt-\int_0^2 (3-t)^2\,dt
∫02(3−t)2 dt\int_0^2 (3-t)^2\,dt
∫02(3−t)2(3−t) dt\int_0^2 (3-t)^2(3-t)\,dt
∫02t2 dt\int_0^2 t^2\,dt

$$\int_0^2 (3-t)^2\,dt$$

Explication

Le changement de variable multiplie l’intégrande par ∣φ′(t)∣|\varphi'(t)|, ici égal à 11, d’où l’intégrale indiquée. Le signe négatif oublie la valeur absolue, le facteur 3−t3-t confond la dérivée et la fonction, et t2t^2 ne compose pas l’intégrande avec φ\varphi.

48. Un difféomorphisme Φ\Phi envoie un domaine AA sur Φ(A)\Phi(A) et son jacobien vaut −4-4 sur AA. Quel facteur doit multiplier f(Φ(u))f(\Phi(u)) dans l’intégrale sur AA ?

−4-4
14\frac{1}{4}
11
44

$$4$$

Explication

La formule de changement de variables utilise ∣JΦ(u)∣|J_\Phi(u)|, donc le facteur est 44. Le facteur −4-4 conserve à tort le signe, 14\frac{1}{4} inverse le facteur, et 11 l’omet.

49. Un difféomorphisme envoie un domaine borélien AA sur une image dont le jacobien a pour valeur absolue 22 en tout point de AA. Comment exprimer le volume de cette image ?

2 λN(A)2\,\lambda_N(A)
12 λN(A)\frac{1}{2}\,\lambda_N(A)
−2 λN(A)-2\,\lambda_N(A)
4 λN(A)4\,\lambda_N(A)

$$2\,\lambda_N(A)$$

Explication

Le volume de l’image est l’intégrale de ∣JΦ∣|J_\Phi| sur AA; lorsque cette valeur est constante et égale à 22, le volume est 2λN(A)2\lambda_N(A). Le signe négatif néglige la valeur absolue, le carré ajoute un facteur injustifié et la division inverse le rapport des volumes.

50. Pour intégrer sur un disque centré en (2,−1)(2,-1), on utilise x=2+rcos⁡θx=2+r\cos\theta et y=−1+rsin⁡θy=-1+r\sin\theta. Quel élément d’aire faut-il employer ?

r dr dθr\,dr\,d\theta
r2 dr dθr^2\,dr\,d\theta
1r dr dθ\frac{1}{r}\,dr\,d\theta
dr dθdr\,d\theta

$$r\,dr\,d\theta$$

Explication

En coordonnées polaires, le jacobien du changement de variables vaut rr, donc l’élément d’aire est r dr dθr\,dr\,d\theta. L’élément sans facteur radial l’omet, tandis que r2r^2 et 1/r1/r emploient des facteurs jacobiens erronés.

51. Une ellipse pleine a pour demi-axes 55 et 22. Quelle est son aire ?

7π7\pi
10π10\pi
100π100\pi
2π2\pi

$$10\pi$$

Explication

Le changement linéaire qui transforme le disque unité en ellipse multiplie son aire par le déterminant abab; l’aire vaut donc πab=10π\pi ab=10\pi. 2π2\pi confond l’aire du disque unité avec son périmètre, 7π7\pi additionne les axes et 100π100\pi élève le facteur de dilatation au carré.

52. Quelle propriété caractérise une isométrie euclidienne Φ\Phi sur Rn\mathbb{R}^n ?

λn(Φ(A))=λn(A)\lambda^n(\Phi(A))=\lambda^n(A) pour tout borélien AA
∥Φ(v)−Φ(u)∥1=∥v−u∥1\|\Phi(v)-\Phi(u)\|_1=\|v-u\|_1 pour tous u,vu,v
∥Φ(v)−Φ(u)∥2=∥v−u∥2\|\Phi(v)-\Phi(u)\|_2=\|v-u\|_2 pour tous u,vu,v
⟨Φ(v),Φ(u)⟩=⟨v,u⟩\langle\Phi(v),\Phi(u)\rangle=\langle v,u\rangle pour tous u,vu,v

$$\|\Phi(v)-\Phi(u)\|_2=\|v-u\|_2$$ pour tous $$u,v$$

Explication

Une isométrie euclidienne est définie par la conservation de la distance mesurée avec la norme euclidienne. L’invariance des aires est une conséquence distincte, la conservation du produit scalaire n’est pas la définition demandée, et la norme ∥⋅∥1\|\cdot\|_1 n’est pas la norme euclidienne.

53. Une isométrie euclidienne Φ\Phi de Rn\mathbb{R}^n s’écrit sous forme affine. Quelle propriété sa partie linéaire MM possède-t-elle ?

MM est une translation et det⁡(M)=0\det(M)=0
MM est orthogonale et det⁡(M)=1\det(M)=1
MM est orthogonale et det⁡(M)=±1\det(M)=\pm1
MM est une dilatation et det⁡(M)>1\det(M)>1

$$M$$ est orthogonale et $$\det(M)=\pm1$$

Explication

Une isométrie euclidienne est affine, de la forme Φ(u)=a+Mu\Phi(u)=a+Mu, avec MM orthogonale et det⁡(M)=±1\det(M)=\pm1. Exiger un déterminant positif exclut les symétries, une dilatation n’est pas orthogonale et une translation ne peut pas être la partie linéaire.

54. Une rotation envoie un ensemble borélien AA de Rn\mathbb{R}^n sur BB. Quelle relation relie leurs mesures de Lebesgue ?

λn(B)=λn(A)\lambda^n(B)=\lambda^n(A)
λn(B)=−λn(A)\lambda^n(B)=-\lambda^n(A)
λn(B)=(λn(A))2\lambda^n(B)=\bigl(\lambda^n(A)\bigr)^2
λn(B)=2λn(A)\lambda^n(B)=2\lambda^n(A)

$$\lambda^n(B)=\lambda^n(A)$$

Explication

Une rotation est une isométrie euclidienne, et la mesure de Lebesgue est invariante par isométrie. Le facteur deux correspondrait à une dilatation, le signe négatif ne peut pas changer une mesure, et l’égalité avec le carré ne découle pas de la conservation des distances.

55. Quel est l’exposant conjugué de p=1p=1 ?

q=2q=2
q=0q=0
q=1q=1
q=∞q=\infty

$$q=\infty$$

Explication

Les exposants conjugués vérifient 1p+1q=1\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1 ; lorsque p=1p=1, il faut donc q=∞q=\infty. Prendre q=1q=1 confond avec le cas p=∞p=\infty, prendre q=2q=2 reprend le couple associé à p=2p=2, et q=0q=0 n’est pas un exposant conjugué admissible.

56. On sait que ∥f∥3=2\|f\|_3=2 et ∥g∥3/2=5\|g\|_{3/2}=5. Quelle borne de Hölder obtient-on pour ∥fg∥1\|fg\|_1 ?

∥fg∥1≤4\|fg\|_1\leq 4
∥fg∥1≤7\|fg\|_1\leq 7
∥fg∥1≤10\|fg\|_1\leq 10
∥fg∥1≤107\|fg\|_1\leq \frac{10}{7}

$$\|fg\|_1\leq 10$$

Explication

Les exposants 33 et 32\frac{3}{2} sont conjugués, donc Hölder donne ∥fg∥1≤∥f∥3∥g∥3/2=2×5=10\|fg\|_1\leq\|f\|_3\|g\|_{3/2}=2\times5=10. La valeur 7 vient de l’addition, 107\frac{10}{7} d’une division injustifiée, et 4 de l’emploi erroné de ∥f∥3\|f\|_3 deux fois.

57. Sur un espace Ω\Omega de mesure finie, une fonction appartient à L5(Ω)L^5(\Omega). Parmi les inclusions suivantes, laquelle garantit aussi son appartenance ?

L6(Ω)L^6(\Omega)
Aucune inclusion ne découle de la mesure finie
L2(Ω)L^2(\Omega)
L5(Ω)L^5(\Omega) uniquement par égalité des exposants

$$L^2(\Omega)$$

Explication

Sur un espace de mesure finie, si p1≤p2p_1\leq p_2, alors Lp2(Ω)⊆Lp1(Ω)L^{p_2}(\Omega)\subseteq L^{p_1}(\Omega) ; ainsi L5(Ω)⊆L2(Ω)L^5(\Omega)\subseteq L^2(\Omega). Choisir L6L^6 inverse l’ordre, l’égalité des exposants n’est pas nécessaire, et la mesure finie permet bien cette inclusion.

58. Une suite de fonctions mesurables converge presque partout vers ff et vérifie lim inf⁡n→∞∥fn∥4=3\liminf_{n\to\infty}\|f_n\|_4=3. Quelle conclusion s’impose ?

∥f∥4=3\|f\|_4=3
∥f∥4≥3\|f\|_4\geq 3
∥f∥4≤3\|f\|_4\leq 3
∥f∥4≤9\|f\|_4\leq 9

$$\|f\|_4\leq 3$$

Explication

La convergence presque partout entraîne ∥f∥p≤lim inf⁡n→∞∥fn∥p\|f\|_p\leq\liminf_{n\to\infty}\|f_n\|_p, donc ici ∥f∥4≤3\|f\|_4\leq3. L’inégalité inversée contredit cette semi-continuité, l’égalité n’est pas garantie et 9 provient d’un carré injustifié.

59. Pour calculer la convolution de deux fonctions boréliennes ff et gg en un point xx, quelle intégrale définit sa valeur lorsqu’elle converge absolument ?

∫Rf(x+t)g(t) dt\int_{\mathbb R} f(x+t)g(t)\,dt
∫Rf(t)g(x−t) dt\int_{\mathbb R} f(t)g(x-t)\,dt
∫Rf(x−t)g(t) dt\int_{\mathbb R} f(x-t)g(t)\,dt
∫Rf(t)g(t) dt\int_{\mathbb R} f(t)g(t)\,dt

$$\int_{\mathbb R} f(x-t)g(t)\,dt$$

Explication

La convolution est définie par (f∗g)(x)=∫Rf(x−t)g(t) dt (f*g)(x)=\int_{\mathbb R}f(x-t)g(t)\,dt lorsque cette intégrale converge absolument. La variante avec x+tx+t change le décalage, tandis que les deux autres expressions ne donnent pas la définition sous cette forme.

60. Si f∈L1(R)f\in L^1(\mathbb R) avec ∥f∥1=3\|f\|_1=3 et g∈L2(R)g\in L^2(\mathbb R) avec ∥g∥2=4\|g\|_2=4, quelle conclusion garantit le théorème de convolution ?

f∗g∈L∞(R)f*g\in L^\infty(\mathbb R) et ∥f∗g∥∞≤12\|f*g\|_\infty\leq12
f∗g∈L2(R)f*g\in L^2(\mathbb R) et ∥f∗g∥2≤12\|f*g\|_2\leq12
f∗g∈L2(R)f*g\in L^2(\mathbb R) et ∥f∗g∥2≤7\|f*g\|_2\leq7
f∗g∈L2(R)f*g\in L^2(\mathbb R) et ∥f∗g∥2≤43\|f*g\|_2\leq\frac{4}{3}

$$f*g\in L^2(\mathbb R)$$ et $$\|f*g\|_2\leq12$$

Explication

Pour f∈L1f\in L^1 et g∈Lpg\in L^p, la convolution appartient à LpL^p et ∥f∗g∥p≤∥f∥1∥g∥p\|f*g\|_p\leq\|f\|_1\|g\|_p ; ici, p=2p=2 et la borne vaut 3×4=123\times4=12. La somme 7 n’est pas la borne de Young, 4/34/3 inverse le produit, et la conclusion porte sur L2L^2 plutôt que L∞L^\infty.

61. Une fonction ff est localement intégrable et gg est de classe C3C^3 à support compact. Quelle formule donne la dérivée troisième de leur convolution ?

(f∗g)(3)=f(3)∗g(3)(f*g)^{(3)}=f^{(3)}*g^{(3)}
(f∗g)(3)=g(3)(f*g)^{(3)}=g^{(3)}
(f∗g)(3)=f∗g(3)(f*g)^{(3)}=f*g^{(3)}
(f∗g)(3)=f(3)∗g(f*g)^{(3)}=f^{(3)}*g

$$(f*g)^{(3)}=f*g^{(3)}$$

Explication

Lorsque ff est localement intégrable et g∈CNg\in C^N à support compact, la convolution est de classe CNC^N et ses dérivées s’obtiennent en dérivant gg : (f∗g)(k)=f∗g(k) (f*g)^{(k)}=f*g^{(k)}. La formule avec f(3)f^{(3)} dérive le mauvais facteur, celle qui dérive les deux ajoute une opération non prescrite, et g(3)g^{(3)} omet la convolution avec ff.

62. Une suite de Dirac (kn) (k_n) est appliquée à une fonction bornée, uniformément continue ff. Quel mode de convergence obtient-on pour kn∗fk_n*f vers ff ?

La convergence a lieu seulement au point fixé x0x_0
La convergence est garantie presque partout, mais pas uniformément
La convergence a lieu en norme LpL^p pour tout pp
La convergence est uniforme sur R\mathbb R

La convergence est uniforme sur $$\mathbb R$$

Explication

Pour une suite de Dirac, la convolution converge uniformément vers toute fonction bornée et uniformément continue. La convergence en un point correspond à une hypothèse plus faible de continuité en ce point, tandis que la convergence en norme LpL^p exige que f∈Lpf\in L^p avec 1≤p<∞1\leq p<\infty ; la convergence presque partout seule est une conclusion insuffisante ici.

63. Pour une fonction intégrable dont la norme L1L^1 vaut 33, quelle borne supérieure la définition de la transformée de Fourier donne-t-elle pour sa norme uniforme ?

32π3\sqrt{2\pi}
13\frac{1}{3}
33
32π\frac{3}{2\pi}

$$3$$

Explication

Pour toute fonction intégrable, la transformée est bornée et vérifie ∣f^∣∞≤∣f∣1\\|\widehat f\\|_\infty\leq\\|f\\|_1 ; ici la borne vaut donc 33. Le facteur 2π2\pi relève d’autres formules, la norme quadratique concerne Plancherel, et 1/31/3 inverse la relation.

64. Si deux fonctions intégrables ff et gg ont pour transformées respectives FF et GG, quelle est la transformée de leur convolution ?

F(x)+G(x)F(x)+G(x)
F(x)G(x)F(x)G(x)
12πF(x)G(x)\frac{1}{2\pi}F(x)G(x)
f^(x)+g^(x)\widehat f(x)+\widehat g(x)

$$F(x)G(x)$$

Explication

La transformée de Fourier convertit la convolution en produit : f∗g^(x)=F(x)G(x)\widehat{f\ast g}(x)=F(x)G(x). Le facteur 1/(2π)1/(2\pi) intervient dans la formule d’inversion, tandis que somme et produit dans la variable initiale ne décrivent pas cette règle.

65. Que prédit le lemme de Riemann-Lebesgue pour la transformée de Fourier d’une fonction intégrable lorsque la fréquence tend vers l’infini dans l’un ou l’autre sens ?

Elle devient non bornée dans les deux sens.
Elle reste constante dans les deux sens.
Elle tend vers sa valeur en zéro dans les deux sens.
Elle tend vers zéro dans les deux sens.

Elle tend vers zéro dans les deux sens.

Explication

Le lemme de Riemann-Lebesgue affirme que la transformée tend vers zéro lorsque la fréquence tend vers +∞+\infty ou −∞-\infty. La continuité et la bornitude sont des propriétés distinctes et ne remplacent pas cette limite.

66. Une fonction ff est continue et intégrable, et sa transformée de Fourier est intégrable. Quelle formule permet de retrouver f(t)f(t) pour tout réel tt ?

12π∫Rf^(x)eitx,dx\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{itx}\\,dx
2π∫R∣f^(x)∣2,dx2\pi\int_{\mathbb R}|\widehat f(x)|^2\\,dx
12π∫Rf^(x)e−itx,dx\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{-itx}\\,dx
∫Rf^(x)eitx,dx\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{itx}\\,dx

$$\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{itx}\\,dx$$

Explication

Sous les hypothèses données, la formule d’inversion restitue la fonction par f(t)=12π∫Rf^(x)eitx,dxf(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb R}\widehat f(x)e^{itx}\\,dx, et la continuité rend l’égalité valable en tout point. L’absence du facteur ou le signe négatif modifie la formule, tandis que l’intégrale du carré relève de Plancherel.

67. Une famille de parties de Ω\Omega contient Ω\Omega, est stable par différences A′∖AA'\setminus A lorsque A⊆A′A\subseteq A', et par réunions dénombrables croissantes. Comment la qualifie-t-on ?

Une tribu
Une classe monotone
Un semi-anneau
Une classe stable par intersections finies

Une classe monotone

Explication

Ces trois propriétés définissent une classe monotone : présence de Ω\Omega, stabilité par différences propres et stabilité par réunions dénombrables croissantes. Une tribu possède d’autres conditions de stabilité, et les deux dernières réponses ne reprennent qu’une partie des propriétés.

68. Une famille CC de parties de Ω\Omega est stable par intersections finies. Une classe monotone MM contient CC. Quel ensemble MM doit-elle alors contenir ?

La tribu σ(C)\sigma(C) engendrée par CC
La tribu MM, supposée déjà constituée
La famille initiale CC seulement
L’ensemble de toutes les parties de Ω\Omega

La tribu $$\sigma(C)$$ engendrée par $$C$$

Explication

Le théorème des classes monotones garantit que toute classe monotone contenant une famille stable par intersections finies contient la tribu σ(C)\sigma(C) qu’elle engendre. Il n’exige pas que MM soit déjà une tribu et ne conclut pas qu’elle contient nécessairement toutes les parties de Ω\Omega.

69. Deux mesures μ1\mu_1 et μ2\mu_2 coïncident sur une famille CC stable par intersections finies qui engendre BB. Une suite d’éléments de CC recouvre Ω\Omega, et les deux mesures y prennent des valeurs égales et finies sur chaque élément de CC. Quelle conclusion suit ?

μ1=μ2\mu_1=\mu_2 seulement sur CC
La conclusion exige les réunions dénombrables dans CC
μ1=μ2\mu_1=\mu_2 sur BB
L’égalité vaut si les deux mesures sont finies sur Ω\Omega

$$\mu_1=\mu_2$$ sur $$B$$

Explication

Le critère d’unicité assure l’égalité des deux mesures sur BB lorsque la famille génératrice est stable par intersections finies, qu’elle recouvre Ω\Omega par une suite de ses éléments et que les mesures y coïncident avec des valeurs finies. L’égalité ne se limite donc pas à CC, et la finitude globale ou la stabilité par réunions dénombrables ne sont pas les hypothèses requises.

70. Pour vérifier si un ensemble AA est mesurable au sens de Carathéodory relativement à une mesure extérieure μ∗\mu^*, quelle égalité faut-il obtenir pour tout ensemble EE ?

μ∗(E)=μ∗(E∪A)+μ∗(E∖A)\mu^*(E)=\mu^*(E\cup A)+\mu^*(E\setminus A)
μ∗(E)≤μ∗(E∩A)+μ∗(E∖A)\mu^*(E)\leq\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)
μ∗(E)=μ∗(E∩A)+μ∗(E∖A)\mu^*(E)=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)
μ∗(E)=μ∗(A)+μ∗(E)\mu^*(E)=\mu^*(A)+\mu^*(E)

$$\mu^*(E)=\mu^*(E\cap A)+\mu^*(E\setminus A)$$

Explication

Le critère de Carathéodory exige que, pour tout EE, sa mesure extérieure se décompose exactement entre sa partie dans AA et sa partie hors de AA. Remplacer l’intersection par une union ou l’égalité par une inégalité ne donne pas ce critère.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 94 flashcards sur Vocabulaire et tribus.

Quand un ensemble est-il dénombrable ?

Lorsqu’il est vide ou que ses éléments peuvent être énumérés comme les termes d’une suite.

Que devient un sous-ensemble d’un ensemble dénombrable ?

Il est dénombrable.

Quel est le cardinal de N×N\mathbb{N} \times \mathbb{N} ?

Cet ensemble est dénombrable.

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