Fiche de révision : Conversion des taux d’intérêt

📋 Plan du Cours

1. Principe de conversion des taux
2. Taux proportionnels et conversions
3. Capitalisation avec taux proportionnel
4. Taux équivalents et conversions
5. Capitalisation avec taux équivalent
6. Méthode de calcul et applications

📖 1. Principe de conversion des taux

🔑 Notions clés & Définitions

• Conversion de taux : Consiste à déterminer le taux d’intérêt correspondant à une sous-période à partir du taux d’une période de référence, généralement l’année.

📝 Points essentiels

• Les sous-périodes considérées sont:
  • le semestre
  • le trimestre
  • le mois
  • la quinzaine
  • le jour

💡 Astuce mémo

Sous-période plus courte → taux périodique adapté

📖 2. Taux proportionnels et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux proportionnels : Deux taux d’intérêt sont proportionnels lorsque leurs valeurs sont proportionnelles aux durées des périodes auxquelles ils se rapportent.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour convertir un taux annuel proportionnel en taux de sous-période, on divise le taux annuel par le nombre de sous-périodes contenues dans une année : $i_p = \frac{i_{an}}{m}$.

• Selon la sous-période, une année contient:
  • 2 semestres
  • 4 trimestres
  • 6 bimestres
  • 12 mois
  • 24 quinzaines

💡 Astuce mémo

Année → semestre → mois → quinzaine

📖 3. Capitalisation avec taux proportionnel

★ À maîtriser

📐 Formule — À intérêts simples, la valeur accumulée se calcule avec $K' = K(1+n i)$, où $K$ est le capital initial, $n$ le nombre de périodes et $i$ le taux par période.

📐 Formule — À intérêts composés, la valeur accumulée se calcule avec $K' = K(1+i)^n$.

📌 À intérêts simples, un taux proportionnel permet d’obtenir sur une même durée le même montant d’intérêts que le taux de la période de référence, tandis qu’à intérêts composés cette propriété n’est plus vérifiée.

Compléments

• Avec un capital de 2 568,00 €, un taux annuel de 6,3 % et une durée de 3 ans, la capitalisation simple donne 3 053,35 € tandis que la capitalisation composée donne 3 084,57 €.

💡 Astuce mémo

Simple : même intérêt ; composé : valeur différente

📖 4. Taux équivalents et conversions

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux équivalents : Deux taux d’intérêt sont équivalents lorsqu’ils conduisent, pour un même capital et une même durée, à la même valeur accumulée à intérêts composés.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour convertir un taux annuel en taux équivalent de sous-période, on applique $i_p=(1+i_{an})^{1/m}-1$, où $m$ est le nombre de sous-périodes par an.

Compléments

• Pour un taux annuel de 6,8 %, le taux trimestriel équivalent est $i_{trim}=(1+0{,}068)^{1/4}-1=0{,}01658293$, soit 1,658 % avec quatre chiffres significatifs.

• Pour un taux annuel de 6,8 %, le taux bimensuel équivalent est $i_{bm}=(1+0{,}068)^{1/24}-1=0{,}00274491$, soit 0,2745 % avec quatre chiffres significatifs.

💡 Astuce mémo

Proportionnel divise le taux ; équivalent conserve la valeur accumulée

📖 5. Capitalisation avec taux équivalent

★ À maîtriser

📌 À intérêts composés, un taux équivalent permet d’obtenir sur une même durée le même montant d’intérêts et la même valeur accumulée que le taux de la période de référence.

Compléments

• Avec un capital de 2 424,00 €, un taux annuel de 6,8 % et une durée de 2 ans, la capitalisation composée au taux annuel ou au taux trimestriel équivalent donne 2 764,87 €.

💡 Astuce mémo

Composé : même valeur ; simple : valeur différente

📖 6. Méthode de calcul et applications

★ À maîtriser

• 🔄 La résolution suit trois étapes:
  1. Convertir le taux dans la période choisie
  2. Déterminer le nombre de périodes correspondant à la durée
  3. Appliquer la formule des intérêts simples ou composés

Compléments

• Pour 2 ans exprimés en quinzaines, le nombre de périodes est 48, car une année compte 24 quinzaines.

• Avec un capital de 2 568,00 €, un taux bimensuel proportionnel de 0,2625 % et 48 quinzaines, la capitalisation simple sur 2 ans donne 2 891,57 €.

💡 Astuce mémo

Convertir → compter les périodes → capitaliser

📊 Tableaux de synthèse

Taux proportionnels et équivalents