Fiche de révision : Fonction d’utilité et utilité marginale

📋 Plan du Cours

1. Paniers de biens et utilité
2. Ordinalité et transformations de l’utilité
3. Monotonicité et utilité marginale

📖 1. Paniers de biens et utilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Panier de biens : Collection de biens ou services qu’un individu s’apprête à consommer, par exemple un panier à deux biens noté $x=(x_1,x_2)\in\mathbb{R}^2$.
• Fonction d’utilité : Associe à chaque panier de n biens une valeur numérique d’autant plus élevée que le panier est apprécié par le consommateur considéré.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Dans le cas général, un panier de n biens s’écrit $x=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\in\mathbb{R}^n$, avec des quantités consommées positives ou nulles, soit $x_i\geq 0$ pour tout $i=1{,}2,\ldots,n$.

• Pour la fonction d’utilité $u(x_1,x_2)=x_1^{1/2}x_2$, le panier $(9{,}4)$ procure une utilité égale à 12.

💡 Astuce mémo

Un panier à deux cases : x₁ pour les poivrons, x₂ pour les courgettes.

📖 2. Ordinalité et transformations de l’utilité

★ À maîtriser

📌 L’utilité est un concept ordinal et non cardinal : seule la comparaison des utilités de deux paniers a un sens pour un même consommateur.

• Avec $u(x_1,x_2)=x_1^{1/2}x_2$, le panier $(9{,}4)$ est préféré au panier $(25{,}2)$, car leurs utilités sont respectivement 12 et 10.

📌 Une fonction d’utilité est définie à une transformation strictement croissante près, car une telle transformation conserve le classement des paniers.

Compléments

📌 Les fonctions d’utilité de deux consommateurs peuvent classer les mêmes paniers en sens opposés, car leurs préférences peuvent être différentes.

• Pour $u=x_1^{1/2}x_2$, la transformation croissante $v=u^2$ donne $v=x_1x_2^2$ et conserve la préférence pour $(9{,}4)$, puisque $v(9{,}4)=144>100=v(25{,}2)$.

💡 Astuce mémo

L’utilité compare les paniers d’un même consommateur, mais ne mesure pas une satisfaction universelle entre consommateurs.

📖 3. Monotonicité et utilité marginale

🔑 Notions clés & Définitions

• Utilité marginale : Surcroît de satisfaction engendré par la consommation d’une unité supplémentaire, ou d’une quantité infinitésimale supplémentaire, de ce bien.

★ À maîtriser

📌 Sous l’hypothèse de non-saturation, l’utilité augmente lorsque la quantité d’un bien augmente tandis que les quantités des autres biens restent constantes.

📐 Formule — La non-saturation se traduit par des dérivées partielles positives pour chaque bien : $\frac{\partial u(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}\geq 0$ pour tout $i=1{,}2,\ldots,n$.

📐 Formule — L’utilité marginale du bien i est égale à la dérivée partielle de l’utilité par rapport à sa quantité : $Um_i=\frac{\partial u(x_1,\ldots,x_n)}{\partial x_i}$.

Compléments

📐 Formule — Pour $u(x_1,x_2)=x_1^{1/2}x_2$, les utilités marginales sont $Um_1=\frac{1}{2}x_1^{-1/2}x_2$ et $Um_2=x_1^{1/2}$.

💡 Astuce mémo

Plus d’un bien, toutes choses égales par ailleurs → utilité marginale positive.

📊 Tableaux de synthèse

Utilité ordinale et transformations