Fiche de révision : Des nombres aux mesures

📋 Plan du Cours

1. Le comptage par marques
2. Les jetons et l’arithmétique sumérienne
3. Les nombres et mesures égyptiens
4. Les étalons de mesure égyptiens
5. Pythagore et l’harmonie des nombres
6. Archimède et les mathématiques abstraites
7. Les nombres dans le monde romain
8. Les grands nombres indiens
9. Les chiffres indiens et le zéro
10. La diffusion vers le monde islamique
11. Fibonacci et la résistance européenne
12. Intérêt composé et chiffres indiens
13. Leibniz et le système binaire
14. Colossus et le calcul électronique
15. Les usages modernes des nombres

📖 1. Le comptage par marques

★ À maîtriser

• Les preuves solidesaire montrent que des humains utilisaient un pour compter il y a environ 20 000 ans.

• L’os d’Ishango, trouvé au Congo, porte 60 marques sur chacun de deux bords et des marques réparties en groupes de nombres égaux au dos, signes d’un comptage organisé.

• En représentant chaque unité par une marque sur un os, les humains ont pu compter jusqu’à n’importe quel nombre d’unités.

Compléments

• Le documentaire présente un comme un nombre qui a pris différentes formes, notamment celle d’un coin et celle d’un cône.

• Le documentaire souligne que le zéro n’a pas existé pendant la majeure partie de l’histoire humaine.

• Des marques sur des os datant de 150 000 ans pourraient représenter des unités comptées, mais les experts cités ne peuvent pas le confirmer.

• Selon le documentaire, d’autres mammifères peuvent compter jusqu’à trois ou quatre, mais pas au-delà.

💡 Astuce mémo

Une marque pour un → compter sans limite de nombres.

📖 2. Les jetons et l’arithmétique sumérienne

★ À maîtriser

• Dans la région de Sumer, au Moyen-Orient, les habitants ont remplacé les marques sur les os par des jetons représentant un.

📌 Les marques sur un os permettent d’ajouter des unités, tandis que les jetons rendent également possible la soustraction.

• Les Sumeriens vivant dans des villes avaient besoin d’arithmétique pour organiser le stockage et la distribution du grain, évaluer les richesses, calculer les profits et les pertes, et percevoir les impôts.

• Pour conserver les calculs, les Sumériens plaçaient des cônes dans des enveloppes d’argile, imprimaient sur l’extérieur autant de marques qu’il y avait de cônes à l’intérieur, puis ont fini par inscrire directement les marques sur une tablette d’argile.

Compléments

• Les habitants d’une communauté aborigène du centre de l’Australieaire ont vécu sans système numérique ni arithmétique parce que leur mode de vie traditionnel ne les exigeait pas.

• Les nombres ont constitué la première forme d’écriture selon le récit du documentaire.

• La formation des spécialistes sumériens des nombres, commencée dès l’enfance, a produit une élite puissante et bien rémunérée.

💡 Astuce mémo

Jetons dans l’enveloppe → empreintes dehors → tablette d’argile.

📖 3. Les nombres et mesures égyptiens

🔑 Notions clés & Définitions

• Coudée : Unité de mesure égyptienne fondée sur la longueur du bras d’un homme, du coude au bout des doigts, à laquelle s’ajoute la largeur de sa paume.

★ À maîtriser

• Les Égyptiens représentaient mille par un lotus, dix mille par un doigt et un million par le dieu Heh agenouillé, les bras levés.

Compléments

• Dans le système égyptien présenté, un était représenté par une ligne simple et non ornée, tandis que dix était représenté par une entrave à bétail.

• Les Égyptiens ont défini leur unité de mesure afin de pouvoir mesurer avec précision et construire des bâtiments.

💡 Astuce mémo

Un bras, du coude au bout des doigts, prolongé par une paume.

📖 4. Les étalons de mesure égyptiens

★ À maîtriser

• Les Égyptiens protégeaient les étalons officiels de la coudée dans les temples et en faisaient des copies distribuées dans l’Empire.

• La coudée servait à mesurer avec précision les grands projets de construction égyptiens.

Compléments

• La diffusion de copies des bâtons de coudée permettait d’utiliser la même unité de mesure dans les différents chantiers de l’Empire égyptien.

• Le texte présente le passage du comptage à la mesure comme une transformation du rôle de l’unité « un ».

📖 5. Pythagore et l’harmonie des nombres

★ À maîtriser

• Pythagore considérait que les nombres entiers étaient des collections d’unités et que les choses étaient constituées de nombres.

📌 Pour Pythagore, les sons harmonieux correspondaient à des rapports de nombres entiers, comme le rapport de poids de 1 à 2, contrairement au rapport d’environ 1 à 1,264 associé à une combinaison sonore discordante.

• Pythagore soutenait que tout, y compris la musique, était constitué de nombres et que les mathématiques formaient la base de l’univers.

Compléments

• Pythagore est présenté comme le premier à avoir conçu les nombres impairs et pairs.

• Pythagore associait le nombre trois à un triangle, le nombre quatre à un carré et la somme $1+2+3+4=10$ à un triangle magique.

• L’expression « musique des sphères » est présentée comme la formule forgée par Pythagore pour exprimer le lien entre les nombres, l’harmonie musicale et le cosmos.

📖 6. Archimède et les mathématiques abstraites

★ À maîtriser

• Pythagore cherchait à exprimer les trois côtés d’un triangle rectangle à l’aide d’un nombre exact d’unités, mais il n’y parvenait pas.

• Les travaux mathématiques d’Archimède sont présentés comme ayant ensuite aidé les cartographes à représenter le globe sur une carte plane.

Compléments

• Archimède est présenté comme un grand mathématicien de l’Antiquité qui explorait des problèmes numériques abstraits, notamment le calcul du nombre de grains de sable nécessaires pour remplir l’univers.

• Archimède étudia la différence de surface entre une sphère et un cylindre et considérait la formule qu’il en tira comme un accomplissement majeur.

• En 212 av. J.-C., les Romains envahirent Syracuse alors qu’Archimède était absorbé par un calcul.

📖 7. Les nombres dans le monde romain

★ À maîtriser

• Les Romains utilisaient une organisation numérique décimale pour structurer leur armée : dix hommes formaient une section et dix sections, soit cent hommes, formaient une centurie.

📌 Après une défaite humiliante d’une légion, la décimation consistait à tuer un soldat sur dix, indépendamment de sa culpabilité individuelle.

📌 Les Romains utilisaient leurs chiffres pour enregistrer des résultats, tandis que les calculs se faisaient sur un boulier ou une planche à calculer.

Compléments

• Deux centuries formaient un manipule, soit un groupe de 200 soldats, et le mot « manipule » signifie littéralement « poignée ».

• Le système romain écrivait les nombres avec des symboles comme V pour cinq, X pour dix et C pour cent, jusqu’à un symbole pour un million.

• La diffusion de la puissance romaine répandit le système de numération romain en Europe, de l’Espagne à la Turquie, et ces chiffres persistèrent après la chute de l’Empire.

📖 8. Les grands nombres indiens

★ À maîtriser

• Pour exprimer la durée extrêmement longue du chemin vers le nirvana, les Indiens ont élaboré des nombres considérables.

Compléments

• Le texte situe vers 500 apr. J.-C. l’existence d’un cousin indien du nombre « un », associé à une atmosphère plus abstraite.

• Les Indiens sont présentés comme moins préoccupés par l’organisation militaire que par le renoncement au monde et la recherche de l’illumination.

📖 9. Les chiffres indiens et le zéro

★ À maîtriser

• Une inscription indienne ancienne atteste l’usage du zéro et mentionne un jardin de 187 par 270 hastas destiné à fournir des fleurs à un temple.

📌 Le zéro seul ne représente rien, mais associé aux autres chiffres, il contribue à un système décimal qui permet d’écrire des nombres extrêmement grands ou petits.

Compléments

• Les chiffres aujourd’hui appelés arabes sont apparus en Inde vers 500 apr. J.-C.

• Les Indiens ont créé un symbole différent pour chacun des nombres de un à neuf.

• Les scientifiques indiens ont établi que la Terre tourne sur son axe et se déplace autour du Soleil.

• Les scientifiques indiens ont calculé le diamètre du globe avec une erreur inférieure à 1 % par rapport à sa valeur réelle.

💡 Astuce mémo

Seul, le zéro ne vaut rien ; associé à un chiffre, il transforme les nombres.

📖 10. La diffusion vers le monde islamique

★ À maîtriser

• Les règles coraniques d’héritage accordent une part aux hommes et une part aux femmes, déterminées selon le nombre et le lien de parenté des autres héritiers.

• Les savants musulmans ont adopté les chiffres indiens, et Al-Khwarizmi est présenté comme le plus célèbre de ces savants.

Compléments

• Sous le calife al-Mansour, Bagdad disposait de tribunaux et de juges chargés d’appliquer la loi du prophète.

• Le calcul des parts d’héritage prévues par le Coran exigeait de maîtriser les fractions et les rapports.

• Les savants musulmans ont utilisé les nouveaux chiffres pour développer notamment les équations quadratiques et l’algèbre.

📖 11. Fibonacci et la résistance européenne

★ À maîtriser

• En 1202, Fibonacci a écrit le Livre du calcul, un ouvrage consacré au calcul et aux chiffres indiens.

• En Europe, les chiffres romains restaient familiers, tandis que les chiffres indiens suscitaient la méfiance de nombreux habitants.

Compléments

• Fibonacci a découvert les chiffres indiens dans le port de Bijaya, en Afrique du Nord, où ils étaient utilisés par des marchands musulmans.

• Une partie du Livre du calcul de Fibonacci montrait aux marchands l’utilité des chiffres indiens pour calculer leurs profits.

• Dans les villes italiennes médiévales, les changeurs utilisaient des tables de comptage assimilées à des abaques, avec des jetons plutôt que des boules.

• Un auteur médiéval a qualifié le zéro de signe qui crée confusion et difficultés.

📖 12. Intérêt composé et chiffres indiens

★ À maîtriser

• Pour un prêt de 10 livres à 0,5 % d’intérêt mensuel, l’abaque donne 10 livres et 60 pence après un an, tandis que le calcul à intérêt composé donne 10 livres et 61,677664035 pence.

• Le calcul des intérêts, notamment composés, devint nécessaire aux hommes d’affaires et les chiffres indiens surpassèrent les chiffres romains pour ce type de calcul.

Compléments

• Le zéro était si suspect qu’il a donné le mot « cipher », qui signifie un code secret.

• L’usure désigne le fait de faire payer des intérêts sur un prêt, pratique que l’Église catholique condamnait comme un péché.

• Avec la Réforme, les Églises protestantes se montrèrent plus favorables aux affaires et les objections chrétiennes de longue date au capitalisme semblèrent disparaître.

• Les chiffres indiens facilitèrent le calcul de la latitude pour les navigateurs européens, qui purent traverser l’océan sans garder la terre en vue.

💡 Astuce mémo

L’abaque arrondit ; les chiffres indiens calculent précisément.

📖 13. Leibniz et le système binaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Système binaire : Le système binaire représente les nombres avec les seuls chiffres zéro et un.

★ À maîtriser

• Leibniz cherchait à éliminer l’erreur humaine en inventant une machine mécanique à calculer.

Compléments

• Leibniz construisit une machine à calculer utilisant les chiffres de zéro à neuf, puis conçut un système ne reposant que sur zéro et un.

• En binaire, les colonnes représentent respectivement le nombre de :

  • uns
  • deux
  • quatre
  • huit

• Le nombre neuf s’écrit 1001 en binaire, car il correspond à huit plus un.

• Leibniz imaginait une machine binaire mécanique où des boules métalliques tomberaient dans des cases, mais cette machine ne fut jamais construite.

💡 Astuce mémo

Des colonnes d’œufs représentent 1, 2, 4 et 8.

📖 14. Colossus et le calcul électronique

★ À maîtriser

• Colossus fut le premier ordinateur binaire fonctionnel et réalisa le projet de Leibniz sous forme électronique.

• Colossus effectuait rapidement des millions de calculs grâce à la représentation électronique du binaire par des courants électriques allumés ou éteints.

Compléments

• Colossus fut installé à Bletchley Park, le centre britannique de décryptage pendant la Seconde Guerre mondiale.

• Les calculs de Colossus aidèrent les Alliés à déchiffrer les messages allemands et auraient pu raccourcir la guerre de deux ans.

💡 Astuce mémo

Courant allumé ou éteint → calcul binaire électronique.

📖 15. Les usages modernes des nombres

★ À maîtriser

• Le binaire est utilisé par les ordinateurs pour effectuer efficacement des additions et suivre des nombres très longs.

Compléments

• Les ordinateurs prennent en charge des calculs comme :

  • les calculs astronomiques
  • les mesures
  • les divisions de propriétés
  • les pourcentages
  • les taux de change
  • les intérêts composés

• Les données numériques des usages courants comprennent :

  • les relevés bancaires
  • les dossiers médicaux
  • les codes-barres