Fiche de révision : Tests du khi² et de Fisher

📋 Plan du Cours

1. Principes généraux du khi²
2. Khi² d’ajustement
3. Khi² d’indépendance
4. Test exact de Fisher

📖 1. Principes généraux du khi²

🔑 Notions clés & Définitions

• Test du khi² : Test d’ajustement ou d’indépendance qui s’applique uniquement à des variables qualitatives étudiées par leurs fréquences.

📝 Points essentiels

📌 La mention d’une moyenne dans l’énoncé signifie que le test du khi² ne peut pas être utilisé.

💡 Astuce mémo

Khi² = fréquences qualitatives ; moyenne = pas de khi²

📖 2. Khi² d’ajustement

🔑 Notions clés & Définitions

• Khi² d’ajustement : Compare une distribution observée dans un échantillon à une distribution théorique afin de déterminer si une proportion observée diffère d’une proportion théorique p0.

★ À maîtriser

• Pour le khi² d’ajustement, H0 affirme que la proportion de malades dans la population est égale à la proportion théorique, soit p = p0.

• Le seuil de signification α correspond au risque maximal accepté pour rejeter H0 et vaut le plus souvent 5 %.

• Le khi² d’ajustement est réalisable seulement si les deux effectifs théoriques sont supérieurs ou égaux à 5.

• Si la valeur calculée du khi² appartient à la région critique, H0 est rejetée au risque α et la différence entre les proportions observée et théorique est significative.

• Dans le tableau du khi² d’ajustement, les effectifs théoriques sont obtenus en multipliant chaque proportion théorique par l’effectif total N.

Compléments

• Pour un risque α = 5 % et 1 degré de liberté, la région critique du khi² d’ajustement est $[3{,}84 ; +\infty[$.

• Avec 45 maçons portugais sur 70 et une proportion théorique de 0,5, les effectifs théoriques sont 35 et 35, puis $\chi^2=\frac{(45-35)^2}{35}+\frac{(25-35)^2}{35}=5{,}7$, donc H0 est rejetée car 5,7 appartient à la région critique [3,84 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Hypothèse, tableau, conditions, région critique, calcul, conclusion

📖 3. Khi² d’indépendance

🔑 Notions clés & Définitions

• Khi² d’indépendance : Étudie l’association éventuelle entre deux variables qualitatives, par exemple une maladie et une exposition.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un tableau comportant deux lignes et deux colonnes, le nombre de degrés de liberté vaut $(2-1)\times(2-1)=1$.

• Pour le khi² d’indépendance, H0 affirme l’indépendance entre les deux variables qualitatives ; par exemple, la proportion de malades est la même chez les exposés et les non-exposés.

• Les effectifs théoriques du tableau d’indépendance représentent les effectifs attendus si H0, c’est-à-dire l’indépendance, était vraie.

• Si le khi² appartient à la région critique, H0 est rejetée et une association significative entre les deux variables est mise en évidence.

• 🔄 Le test du khi² d’indépendance suit sept étapes:

  1. Définir H0
  2. Fixer α et construire le tableau observé
  3. Construire le tableau théorique
  4. Vérifier les conditions et définir le paramètre
  5. Déterminer la région critique
  6. Calculer le paramètre
  7. Conclure

Compléments

📌 Pour un risque α = 5 % et 1 degré de liberté, la région critique du khi² d’indépendance est [3,84 ; +∞[.

• Dans l’exemple des tuteurs, les effectifs observés sont 11, 9, 4 et 26, les effectifs théoriques sont 6, 14, 9 et 21, et le khi² appartient à la région critique car le premier terme vaut $\frac{25}{6}>4>3{,}84$.

💡 Astuce mémo

Association observée → comparaison à l’indépendance théorique

📖 4. Test exact de Fisher

🔑 Notions clés & Définitions

• Test de Fisher : S’applique dans les mêmes conditions que le khi² d’indépendance lorsque les effectifs théoriques sont inférieurs à 5.

📝 Points essentiels

📌 Dans ce cours, il faut savoir choisir le test exact de Fisher lorsque les conditions d’application du khi² d’indépendance ne sont pas vérifiées, sans savoir effectuer son calcul.

💡 Astuce mémo

Effectifs théoriques ≥ 5 : khi² ; effectifs théoriques < 5 : Fisher

📊 Tableaux de synthèse

Choix du test